Julius-Maximilians-Universit¨ at W¨ urzburg Institut f¨ ur Mathematik
Prof. Dr. H. Pabel
Christian Lageman, Martin Lamprecht, Ralf Winkler
W¨urzburg, den 17. Mai 2006
4. ¨ Ubung zur Analysis II
Sommersemester 2006 16.) (4 Punkte)Berechnen Sie
a.) lim
x→0xsinx b.) lim
x→0(cosx)x12. 17.) (4 Punkte)
a.) Zeigen Sie f¨ur |x|<1:
√ 1
1−x =
∞
X
k=0
1 22k
2k k
xk.
b.) Berechnen Sie
x→0lim
e−x2−1 +xsinx
√1−x2+12x2−1. 18.) (2 Punkte)Es sei die Funktionenfolgefk: → gegeben durch
fk(x) = x 1 +kx2 . Berechnen Sie
x7→ lim
k→∞fk(x) 0
undx7→ lim
k→∞fk0(x). Ist dies ein Widerspruch zur Vorlesung?
19.) (4 Punkte)
a.) Zeigen Sie: F¨ur|x|<1 ist x2
1·2 − x3
2·3 + x4
3·4 − x5
4·5±. . . = (1 +x) ln(1 +x)− x . b.) Berechnen Sie den Konvergenzradius der Reihe
∞
X
k=1
k2(k+ 1) + 1
k xk
sowie ihren Reihenwert.
20.) (6 Punkte)Durchf0(x) := 1+x12 und die Rekursionsvorschrift
∀k∈ 0 fk+1(x) := 1 − cos(fk(x))
sei eine Folge von Funktionenfk: → definiert. Man zeige, dass die Reihe s(x) :=
∞
X
k=0
fk(x)
auf ganz gleichm¨aßig konvergiert und die Funktion sdifferenzierbar ist.
Hinweis:Man zeige zun¨achst f¨ur 0< u≤1 die Ungleichung 1−cosu ≤ C umit einem C <1.
Abgabe der schriftlichen L¨osungen bis sp¨atestens Mittwoch, den 24. Mai 2006, 11:00 Uhr, in die richtigen Briefk¨asten neben der Mathe/Info-Teilbibliothek.
