Julius-Maximilians-Universit¨ at W¨ urzburg Institut f¨ ur Mathematik

Julius-Maximilians-Universit¨ at W¨ urzburg Institut f¨ ur Mathematik

Prof. Dr. H. Pabel

Christian Lageman, Martin Lamprecht, Ralf Winkler

W¨urzburg, den 29. Mai 2006

3. ¨ Ubung zur Analysis II

Sommersemester 2006 L¨osungshinweise

11.) Es ist

coshiz = 1

2(e^iz + e^−iz) = 1 2

"∞

X

k=0

(iz)^k k! +

∞

X

k=0

(−iz)^k k!

#

= 1

2

"∞

X

k=0

i^kz^k k! +

∞

X

k=0

(−1)^ki^kz^k k!

#

=

∞

X

k=0

i^2kz^2k

(2k)! = cosz und ebenso

sinhiz = 1

2(e^iz −e^−iz) = 1 2

"∞

X

k=0

i^kz^k k! −

∞

X

k=0

(−1)^ki^kz^k k!

#

=

∞

X

k=0

i^2k+1z^2k+1

(2k+ 1)! = i·sinz bzw. sinz = ¹isinh(iz). Damit erhalten wir

tanz = sinz cosz = 1

i

sinh(iz)

cosh(iz) = −itanh(iz)^{Aufg. 7}=

∞

X

k=1

−i

(2k)!B₂k2^2k(2^2k−1) (iz)^2k−1

=

∞

X

k=1

(−1)^k+1

(2k)! B_2k2^2k(2^2k−1)z^2k−1 = . . . = z +1

3z³ + 2

15z⁵ +. . .