Kapitel 7 Differentialgleichungen

Kapitel 7

Differentialgleichungen

7.1 Uberblick¨

Viele Naturgesetze sind in Form von Differentialgleichungen gegeben.

Beispiel 7.1 Betrachte die chemische Reaktion erster Ordnung (z. B. Isomerisierung) A→B

Sein(t) die Dichte der Molek¨uleAzum Zeitpunkttundn(t+∆t) die Dichte zum Zeitpunkt t+∆t. Dann ist n(t)−n(t+∆t) ist die Abnahme der Dichte im Zeitintervall [t, t+∆t].

Aus Experimenten lernt man, dass die Abnahme der Dichte proportional zur vorhandenen Dichte n(t) und zum Zeitschritt ∆t ist, d. h.

n(t)−n(t+∆t) =kn(t)∆t wobei k ∈ ⁺ eine Konstante ist.

⇒ n(t+∆t)−n(t)

∆t =−kn(t) F¨ur ∆t→0 (instantane ¨Anderung von n) erhalten wir

∆tlim→0

n(t+∆t)−n(t)

∆t = dn

dt = ˙n(t) =−kn(t).

Dies ist eine Differentialgleichung (DGL). DGLs sind Gleichungen, die Funktionen und deren Ableitungen verkn¨upfen. Im Unterschied zu bisher behandelten Gleichungen sind die gesuchten Objekte Funktionen, nicht Zahlen. Im obigen Beispiel ist somit die Auf- gabenstellung: Gesucht ist eine Funktion, deren Ableitung die Funktion multipliziert mit der Konstanten −k ergibt.

L¨osung (durch Raten):

n(t) =ce^−kt Probe:

˙

n(t) =−kce^−kt =−kn(t) Beispiel 7.2 Das Newton’sche Gesetz der Physik besagt

Kraft = Masse * Beschleunigung; F =ma Die Beschleunigung ist die zweite Ableitung des Ortes nach der Zeit

a(t) = ¨x(t) = d²x dt²

Die Kraft h¨angt im Allgemeinen vom Ort ab und man erh¨alt mx(t) =¨ F(x(t))

Konkrete Beispiele:

1. Der harmonische Oszillator mit der R¨uckstellkraft: F(x) =−mω²x

¨

x(t) =−ω²x(t)

2. Gravitationskraft aufgrund der konstanten Erdbeschleunigung g: F(x) =−mg

¨

x(t) =−g

Im Unterschied zum ersten Beispiel kommen hier zweite Ableitungen vor.

Verschiedene Typen von DGLs

Definition 7.1

1. Eine Gleichung, in der Ableitungen einer unbekannten Funktion y = y(x) bis zur n–ten Ableitung y⁽ⁿ⁾(x) auftreten, heißt gew¨ohnliche Differentialgleichung n–ter Ordnung. Gew¨ohnlich deshalb, da y(x) nur von einer Variablen abh¨angt. H¨angt y(x1, . . . , xn) von n > 1 Variablen ab, spricht man von partiellen Differentialglei- chungen da dort partielle Ableitungen auftreten.

2. Die DGL

y⁽ⁿ⁾(x) +αn−1y⁽ⁿ⁻¹⁾(x) +. . .+α0y(x) =f(x) (7.1) heißtlineareDGL n-ter Ordnung, day(x) und alle seine Ableitung linear (also nicht y², y^′y...) auftreten.

3. Die DGL aus Gl. (7.1) heisst homogen wenn die Funktion f(x) ≡0 ist. Ansonsten heisst die DGL inhomogen.

4. Sind die Koeffizientenαi,i= 0, . . . , n−1 in Gl. (7.1) konstant, also keine Funktionen von x, so sagt man Gl. (7.1) ist eine DGL mitkonstanten Koeffizienten.

Beispiel 7.3

y^′′(x) +ay^′(x) +x²y(x) =f(x). Diese DGL ist:

• linear, day,y^′ und y^′′ nur linear auftreten. Es gibt also keine Terme wie y²,y^′y,. . .,

• zweiter Ordnung, day^′′= ^d_dx^2y2 die h¨ochste Ableitung ist,

• eine DGL mit nicht konstanten Koeffizienten, da der Faktor vor y(x) eine Funktion von xist (x²).

• Inhomogen, wennf(x)̸= 0.

Ein L¨osungsansatz

Definition 7.2 Eine Funktion y = y(x) heißt eine L¨osung einer Differentialgleichung, wenn sie mit ihren Ableitungen die Differentialgleichung erf¨ullt.

Beispiel 7.4

dy

dx =y^′(x) = 3x² Integriere beide Seiten nach x

!

y^′(x)dx =y(x) +C1 =

!

3x²dx=x³+C2

Test:

y(x) =x³+C ; y^′(x) = 3x² y(x) =x³+C ist also L¨osung der DGL.

Dies ist die allgemeine L¨osung. Sie h¨angt noch von einem Parameter C ab. Man sagt deshalb auch, die allgemeine L¨osung ist nicht eine einzelne Funktion, sondern eine Funk- tionenschar. Der Parameter C wird bestimmt durch die Angabe einer Anfangsbedingung

y(x0) =y0. Dies ergibt dann eine Gleichung zur Bestimmung des ParametersC. Im obigen Fall k¨onnen wir beispielsweise

y(0) = 1 ⇒ C = 1 w¨ahlen. Dies ergibt die spezielleL¨osung

y(x) =x³+ 1

Beispiel 7.5 F¨ur den freien Fall ohne Reibung gilt

¨

x(t) =−g .

Dies l¨asst sich einfach durch Integration beider Seiten l¨osen:

˙

x(t) =−

!

g dt=−gt+C1 . Nochmalige Integration ergibt

x(t) =

!

(−gt+C1)dt=−gt²

2 +C1t+C2 . Die gesuchte Funktion x(t) ist somit

x(t) =−gt²

2 +C1t+C2 .

Die Konstanten C1 und C2 werden mit Hilfe von Anfangsbedingungen bestimmt. Ange- nommen der Fall startet zum Zeitpunkt t = 0 in einer H¨ohe h mit einer Geschwindigkeit 0, so ergeben sich die Anfangsbedingungen

x(0) =h und x(0) = 0˙ .

Einsetzen in die allgemeine L¨osung liefert sofort C₁ = 0 und C₂ = h und somit erh¨alt man die spezielle L¨osung

x(t) =h−gt² 2 .

Damit l¨asst sich dann auch die Fallzeit t₀ berechnen. Dies ist die Zeit bis die Masse m den Boden (x= 0) erreicht. Man erh¨alt

0 =x(t0) =h− gt²₀

2 ⇒ t0 =

"

2h g

F¨ur die DGL erster Ordnung in Beispiel 7.4 erhalten wir durch Integrationeine, die durch eine Anfangsbedingung (y(x0) = y0) bestimmt wird. In Bespiel 7.5 sahen wir, dass bei einer DGL zweiter Ordnung durch zweifache Integration zwei Konstanten auftreten, die durch zwei Anfangsbedingungen (y(x₀) =y₀ und ˙y(x₀) =v₀) bestimmt werden. F¨ur eine DGL n-ter Ordnung erhalten wir demnach n Konstanten, die durch die Angabe von n Anfangsbedingungen bestimmt werden k¨onnen.

In den Beispielen 7.4 und 7.5 konnten wir die L¨osungen der DGL durch direkte Integration bestimmen.

ABER: Das einfache Verfahren der beidseitigen Integration funktioniert nicht immer.

Betrachten wir die einfach aussehende Differentialgleichung y^′(x) =xy(x).

Integration liefert

!

y^′(x)dx=y(x) =

!

xy(x)dx .

Dies f¨uhrt nicht zur gew¨unschten L¨osung, da man nicht nachy(x) aufl¨osen kann. Deshalb sind ”typenabh¨angige“ L¨osungsverfahren erforderlich, von denen wir im folgenden die Wichtigsten besprechen wollen.

7.2 Lineare DGL erster Ordnung

7.2.1 Trennung der Variablen

Gegeben sei die DGL erster Ordnung

y^′(x) =f(y(x))g(x). Dies l¨asst sich umschreiben zu

y^′(x)

f(y(x)) =g(x) Integration liefert

! y^′(x)

f(y(x))dx=

!

g(x)dx Substituiere

z =y(x)

⇒dz =y^′(x)dx

⇒

! dz f(z) =

!

g(x)dx

Dies l¨aßt sich nun l¨osen, vorausgesetzt man kennt die Stammfunktionen von 1/f(z) und von g(x). Der L¨osungsweg l¨aßt sich auch etwas suggestiver darstellen

y^′ = dy

dx =f(y)g(x)

Bringe alle Terme die y enthalten auf die linke, alle Terme die xenthalten auf die rechte Seite. Dies liefert

dy

f(y) =g(x)dx . Man tut also so, als seien dx und dy

”normale“ Zahlen.

Integration f¨uhrt dann zum gleichen Ergebnis

! dy f(y) =

!

g(x)dx

Dies macht auch den Namen Trennung der Variablenklar.

Beispiel 7.6

y^′(x) =y(x)·x Umformen

dy

y =x dx Integration

⇒ln|y(x)|= 1

2x²+C

⇒|y(x)|=e^12x2+C =e^Ce^12x2

⇒y(x) =±e^Ce^12x2 =ke^12x2

Da die Konstantek sowohl positiv als auch negativ gew¨ahlt werden kann, k¨onnen wir das

± einfach wegfallen lassen. Es steckt nun in der freien Wahl von k.

Die allgemeine L¨osung ist also

y(x) =ke^12x2

Bestimmung von k. F¨ur x=x₀ soll gelten y=y₀. Einsetzen liefert y(x0) =y0 =ke^12x20

⇒k =y₀e^−12x20 und somit

y(x) = y0e^12(x2−x20)

Beispiel 7.7

y^′ = x y Trennung der Variablen

y dy=x dx Integration

!

y dy=

! x dx

⇒ 1

2y²(x) = 1

2x²+C Und somit

y(x) =±√

x²+C Anfangsbedingungen: y(x0) =y0

y²(x0) = y²₀ =x²₀+C ⇒ C =y₀²−x²₀

⇒y(x) =±

#

x²−x²₀+y²₀ Beispiel 7.8 Die ReaktionA→B vom Anfang

˙

n(t) = −kn(t) Trennung der Variablen

dn

n =−k dt Integration

! dn n =−k

! dt

⇒ln|n(t)|=−kt+C

|n(t)|=e^−kt+C

⇒n(t) =Ke^−kt

Da die Konstante K sowohl positiv als auch negativ gew¨ahlt werden kann, k¨onnen wir die Betragsstriche der zweiten Zeile wegfallen lassen.

Mit der Anfangsbedingung n(t0) =N0 (N0 ist die Anfangsdichte) und t0 = 0 folgt N0 =Ke^−k0 =K ⇒ K =N0

⇒n(t) =N₀e^−kt

Dies liefert das bekannte Exponentialgesetz f¨ur Reaktionen erster Ordnung.