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(1)Hitoshi Kalo. Bestätigung und Beweisführung des. Fermatschen Theorems Studienausgabe Inhaltsverzeichnis. Tabelle. Korrektur. 2 c = (u + bi)(a - bi). a. 2. 2 2 +b =c. f(x). f(x) f(x). =. X2. + 2. +. ((a. bi). + (a - bi))X + 2. 5. 2. = (±a )X + (±a )X + (±b. = (±b. f(x) =. 2. )iX. 2. (±<i'. f(x) = (±b. ,2. 3. +(±b. 2. )iX. 2. 2. {(a. )iX + 2. + biXa -. (±b. 2. +(±a )X + (±a. )i 2. ). bi)). =0 =0. )X t +(±a‘ 2 )X 2 +(±b' 2 )iX + (ih“)i = 0 2. 2. )iX + (±h' )iX. 2. +(±a ,2 )X H±a‘ 2 ) = 0. OKON VERLAG GERMANY. PRITTLICIIINC. =0.

(2) ISBN 3-00-00 1439-X 1. Auflage. Alle Rechte,auch andere Übersetzung vorbebalten.Kein Teil des. darf. in. irgendeiner. vervielfältigt. Form ohne. Werkes. schriftliche Erlaubnis reproduziert. werden. Okon Verlag Kirchbergstrasse 4 d. 86931 Prittriching 08206/7102. oder.

(3) INHALTSVERZEICHNIS. 1.. 2.. Vorwort I.Teil. Zusammenfassung Fehlende Definition des Fermatschen Theorem. Fehlende Nullstelle beim Satz von Moivre im Gauss’schen komplexen Zahlensystem. Diophantscher Satz Etremwert einer Funktion bei Fermat. Shema des Fermatschen Theorems Bild 1. Hälfte Bild 2.Hälfte Bild Vereinigung Potenzexponent größer als 2 Potenzexponent kleiner als 2 Fermatscher Satz 4n+l Eindeutigkeit des Fermatschen Theorems 1. Bildliche Darstellung des Fermatschen Satzes (3 2 +4 2 =5 2 ) 2. Tabelle I. 3 dimensionale Kantenlänge von Würfeln in der 12 Periode Tabelle II. negative Ganzzahlen in der Gleichung a+b und modulo 12 Bildliche Darstellung des Fermatschen Satzes (Kubus) Bildliche Darstellung des Fermatschen Satzes (Biquadrat). Bildliche Darstellung des Konstante aus. +^ 2. Bildliche Darstellung der fermatschen Satzes tf". Bild. a 2 +b 2 =c 2 Differenzierung im Cartetischen. Bild. Zum Zum Bild. 4n+l. +b~ 2 #c~ 2. 2. Bild. und Polarkoordinatensystem. im Cartetischen und Polarkoordinatensystem Bild Differenzierung im Cartetischen und Polarkoordinatensystem Maximum und Minimum Bild Differenzierung. X - 4* + 13 = 0 f(x) = X -6X + 13 = 0 2. f(x) =. 2. f(x) =. -X. 2. X. - 6* + 13 = 0. +. 4X -\i = 0. Bild. f(x) =. 2. 2 f(x) = -X. Zum. Bild. +6X-\l = 0 Maximum und Minimum. \. Addition der Geschwindigkeit der Einsteinische Relativitätstheorie (Lorenz Transformation). Kreisgleichung,Satz von Moivre.

(4) 1.. 17. 2. Bestätigung des Fennatschcn Theorems Negativ Ganzzahlig. .. Hyperbolisch Hyperbolische Stereometrie Konstante 1 der Fermatschen Vermutung. 18.. 19.. 20. .. l.Tangente, Normale, Subnormale und Subtangente Grundlage zur Beweisführung *. Lnx =. 1. — dx. |. x. T. 2. 21. .. 23.. _ | _dr _ c r. c. dLnx _ 1 x dx. a. 2. +b. 2. d(p. Beweisbarkeit der Fermatschen Vermutung Quadratische Gleichung. 25.. Grundlegerung zur Bestimmung einer Primzahl Teilbarkeit durch Primfaktor Analyse. 26.. Summe. 24.. 27.. 31. der Zahlen die in der Primzahlverteilung Erklärung der Kongruenz in umgekehrter Folge Grundlage des Gegenargmentes = 3 2 +4- 2 +. kommen. (VF ^0-(V?-V^/). 33. 34.. Die triviale Nullstelle, Die nicht triviale Nullstelle X n und deren Differentialquotienten Regeln. Die Definition der Gauss'schen Zahlenkongruenz. Begründung des modulo 35.. 36.. 38.. 12. Binomischer Satz Die Goldbach Vermutung und Primzahlverteilung 3 Dimensionalität der Zahlentripel Beweisführung Quadrierung der Primzahl. 39.. Satz 3.Produktregel und Potenzregel. 40.. Satz. 5.. Gegenargment. A-. Lnl' 2. (I)-. + Ln2. <— >*. <-)". Ln2. + Lnl. 11. - Ln2. 12. 12. Lni n) x. r. m. Lnl^. ". +. Lnl. Z/i2 12. „. ". <, 2. >. <™r =0 12. in. modulo 12.

(5) 41.. Zu. 43.. Tabelle. 44. 43.. Tabelle R=5 Primzahlverteilung. 46.. Homogene. Bild Integralkurve. R=1. lineare Differential Gleichung 2.. Ordnung. — -c-R dr. 47. 48. 49. 51.. d(p. Differentialquotient, Fakltät, Koeffizienten der quadratischen Gleichungen.. Produkt und Potenzregel Beweisführung des Fermatschen Theorems durch kubische Gleichungen l.Tabelle 2. Tabelle. 3.Tabelle 52.. 53. 55. 13.. ±a ±a ±a 2. ±b ±b ±a 2. ±a ±a. ±b 2. ±b ±b ±b 2. ,. ,. ,. ±b ±b ±b 2. ±a ±a. ±b 2. ±b ±b ±a 2. ±a ±a ±a. :. der kubischen Gleichung Kubische Gleichungen und 2 vershiedene Werte der Subnormalen Behandlung vom Quadrat der 2 Zahlen a 2 und b 2 Nullstelle. Erklärung der reellen und komplexen Wurzeln Probe der Berechnung am Beispiel mit der Tabelle ungerader Exponenten II.Teil. 3.. Primzahlverteilung Regelreihe sämtlicher Basiszahlen für ungerade Potenzexponenten Zahlenwert und Wert der Verteilung. 4.. Primzahlverteilung. 9.. Ungerade Exponenten. 14.. Bild. 1. Definition. 1. 15.. Bild. 1. Definition. 6 bis 9. Bild 2. Definition. 1. 1. .. 2.. 16.. bis 4. Gleichugen zweiten Grades. bis 4. Ableitung der Integralkurve aus p und q. in. der Diophantschen Gleichung. Definition 5 bis 6. 17.. Trigonometrische Werte aus p und q Eine Quadrierung von zwei R Werten aus komplexen Wurzeln. ist. konstant. 2 p +q ;. Definition 6. 18.. 19.. Erklärung der negativen Ganzzahl durch Diophantsche Gleichung Feststellung der Nullwinkel Stelle durch R=1 Entstehung der Rechtwinkligkeit Bild 4 Bild 3. 3 Ganzzahligkeit und Nullstelle. 20. .. 21 .. 22. .. 23.. Prüfung der Zahlenwerte Bild 5 (Text) Stereometrie der Fermatschen Bild 5a(Bild) 3 dimensionalen Gestalt von p. Gleichung Masse der Raumdreiecke, a und b. Quader und Raumdreiecke Literatur Verzeichnis. Vermutung und q der Diophantschen.

(6) —. —. —.

(7) INHALTSVERZEICHNIS 1.. 2.. X. Vorwort I.Teil. Zusammenfassung Fehlende Definition des Fermatschen Theorem. Fehlende Nullstelle beim Satz von Moivre im Causs'schen komplexen Zahlensystem. Diophantscher Satz. Etremwert einer Funktion bei Fermat. des Fermatschen Theorems. Shema Bild. Hälfte Bild. 1.. Bild Vereinigung. 2. Hälfte. Potenzexponent größer als 2 Potenzexponent kleiner als 2 Fermatscher Satz 4n+l Eindeutigkeit des Fermatschen. Theorems. Bildliche Darstellung des Fermatschen Satzes (3 2 +4 2 =5 2 ). 1.. Tabelle. 3 dimensionale Kantenlänge von Würfeln in der 12 Periode negative Ganzzahlen in der Gleichung a+b und modulo 12. I.. 2.. 1 abelle. II.. Bildliche Darstellung des Fermatschen Satzes (Kubus) Bildliche Darstellung des Fermatschen Satzes (Biquadrat). 2. Bildliche Darstellung des Konstante aus a + ^ Bildliche Darstellung des Fermatschen Satzes 4n+l 2. a. Bild. +b. 2. a +b 2. Bild. 2 *c =c. 2. 2. Bild Differenzierung im Cartetischen und Polarkoordinatensystem. Zum. Bild Differenzierung. im Cartetischen und. Polarkoordinatensystem. Zum Bild Differenzierung im Cartetischen und Polarkoordinatensystem Maximum und Minimum. Bild. X -4X + 13 = 0 /( x) = X -6X + \3 = 0 2. f(x) =. 2. J\x) =. -X. 2. + 4X -. 13. =0. Bild. f(.x). —. J\x) =. Zum. X. 2. — bX +13 = 0. -X +6X - 13 = 0. Bild. 2. Maximum und Minimum. Addition der Geschwindigkeit der Einsteinische Relativitätstheorie (Lorenz Transformation).

(8) Krcisglcichung,Satz von Moivrc 1.. 2.. Bestätigung des Fcrrnatschcn Theorems Negativ Ganzzahlig Hyperbolisch. Hyperbolische Stereometrie Konstante 1 der Fcrrnatschcn Vermutung 1. Tangente, Normale, Subnormalc und Subtangente Grundlage zur Beweisführung. dLnx. 1. dx. x. Beweisbarkeit der Fcrrnatschcn Vermutung Quadratische Gleichung. Gnindlcgemng zur Bestimmung einer Primzahl Teilbarkeit durch Primfaktor Analyse. Summe. der Zahlen die in der Primzahlvcrtcilung Erklärung der Kongruenz in umgekehrter Folge Grundlage des Gcgcnargmcntcs 7 - jî) = 3 2 + 4 2 (yfi + yfÄî ) •( Die triviale Nullstel!c,Dic nicht triviale. X. kommen. Niillstcllc. 9. und deren Diffcrcntialquoticntcn Regeln Die Definition der Gauss’schcn Zahlcnkongnicnz Begründung des modulo 12 Binomischer Satz Die Goldbach Vermutung und Primzahlvcrtcilung in modulo 12 3 Dimcnsionalität der Zalilcntripcl. Beweisführung Quadricning der Primzahl Satz 3.Produktrcgcl und Potcnzregel.

(9) 40. .. Salz 5. Gegenargnient <* 12. Ln2 l. Ln2. '. i*t 12. + Ln2 + Ln2. (. ™V = 0 12. ^. 1. 2> '. - Ln2. Ln2^ ~X. Y. <12 ^". Z.//2. *. +. Ln2. Lirf' 2. =. 1. 12. 41.. Zu. 43.. Tabelle. R=1. 44.. Tabelle 3.. R=5. Bild Integralkurve. 43.. 4. Primzahlverteilung. 46.. 5.. Homogene. lineare Differenlial Gleichung 2.. Ordnung. dr. ^ =C R -. 47. 48.. Differentialquotient, Fakltät, Koeffizienten der quadratischen Gleichungen.. 49.. Produkt und Potenzregel. 51.. ±a ±a. Tabelle. Tab. 2. ±a 2. ±a. f(x) = ±a. 2. d'"b. Ö.Tabelle. Rj.. ’. !. 2. .e. Tabelle. f(x) =. ±b ±b. ±a ±a. 1. Tabelle. 2/1'abelle. 3. b. l. ". ±a ±a. ±b ±b. ±b 2. ±b. ±b. X. 3. 2. +±a. ±b 2. ±b. a. b.. a 3. +. r-x + r-x + r- = 0 u b 2. b. _a. •. ~b‘. 2. ±b. +b 2 X+b 2 =. + R-—X 2 + R-—X+ R-— = 0 a. ±b. ±t>*. = R‘". b. ±a ±a. ,,. .. 2. ±b ±b. 2. 2. X. .. ,. 0. ±b ±b. 2. 2. ±u. 2. ±a. 2. ±a ±a ±a. 2. ±a. 2.

(10) 52.. 53. 55. 13.. der kubischen Gleichung Kubische Gleichungen und 2 vershv ’cne Werte der Subnormalen 2 Behandlung vom Quadrat der 2 Zahlen a 2 und b Erklärung der reellen und komplexen Wurzeln Probe der Berechnung am Beispiel mit der Tabelle ungerader Exponenten. Nullslcllc. II.Tcil. 3.. Primzahlvcrtcilung Rcgclrcihc sämtlicher Basiszahlcn fiir ungerade Potcnzcxponcntcn Zahlcmvcrt und Wert der Verteilung. 4.. Primzahlvcrtcilung. 9.. Ungerade Exponenten. 1.. 2.. bis 4. 14.. Bild. 1. Definition. 1. 15.. Bild. 1. Definition. 6 bis 9. 16.. Definition. Bild 2. 1. GIcichugcn zweiten Grades. bis 4. Ableitung der Integra lkurve aus p und q. in. der Diophantschcn Gleichung. Definition 5 bis 6. 17.. Trigonometrische Werte aus p und q Eine Quadrierung von zwei R Werten aus komplexen Wurzeln. konstant. ist. 2 p +q 2. Definition 18.. 19.. 6.. Erklärung der negativen Ganzzahl durch Diophantschc Gleichung Feststellung der Nullwinkcl Stelle durch R=1 Entstehung der Rechtwinkligkeit Bild 4. Bild 3. 3 Ganzzahligkcit. und. Nullstcllc. 20.. Prüfung der Zahlcnwerte. 21.. Bild 5 (Text) Stereometrie der Fcrmatschcn Bild 5a(Bi!d) 3 dimensionalen Gestalt von p. 22. 23.. Vermutung. .. -. und q der Diophantschcn. Gleichung Masse der Raumdrcicckc,a und b Quader und Raumdreiecke Literaturverzeichnis. \.

(11) Vorwort. Diese vorliegende Studienauspabe. ist. eine. Zusammenfassung der Ergebnisse. meiner Forschung über das Permatsche Problem. Die. erste. Frage die sich mir. beim Fermatschen Problem stellte, war :“Woher kommt es, dass sich aus quadratischen Gleichungen komplexe Wurzeln ergeben?”(..und dies bisher in keiner mir bekannten Publikation über dieses Thema, erwähnt wurde.) Letztendlich habe ich auf diese Fragestellung folgende Antwort gefunden:. Die hinter der imaginären Einheit verborgenen reziproken Verhältnisse von Subnormale und Subtangente werden erst durch das Fermatsche Theorem bei Anwendung von zwei Quadratzahlen. a. 2. + b2 =. Ist z.B.:. (. a. +. als Koeffizienteiner. bi. ) (. a. -. bi. ±. a= 0 und b=. 1. i. bei a 2. + b2. gilt:. (0. 2. kubischen Gleichung sichtbar.. + \H). ,. dann. ist. .. 2 2 (0 -l i). die Quadratwurzel. von. i. =. i. 41 = VV-i. =1. Somit hatte ich den Zugang des Fermatsche Problems zum komplexen Zahlensystem gefunden. Viele Ergebnissse in dieser Ausgabe haben keinen fremden Quelltext, sondern basieren auf der selbst entwickelten Grundlage, die. dem. Leser nicht nur beim Fermatschen Theorem dienlich sein kann..

(12) Die Gleichung positiver und negativer Ganzzahlen der Exponenten einer Integralkurve ist einfach, gestattet jedoch eine vielfältige Anwendbarkeit unter anderem auch die reziproken Verhältnisse (hypcrbolisch)eines rechtwinkligen Dreiecks zu erkennen und wie sich daraus eine Primzahlvertcilung ergibt.. man das Fcrmatschc Theorem als Ganzes betrachten. Die eindes Fcrmatschen Theorems ist bereits in der ZusammenBestätigung deutige zu erkennen, die auch Primzahlen behandelt, sowie die Studie dieser fassung Nichtteilbarkeit ganzer Zahlen mit Primexponenten grösser als 2, durch die Somit kann. Summe. zweier Zahlen mit den selben Exponenten. Hierzu finden Sie Tabel-. len, die. Aufschluss geben.. Zwei Quadratzahlen die als Koeffizient einer Gleichung dritten Grades dienen, waren mir 16 Monate nicht zugänglich, bis ich nach langen Überlegungen und Berechnungen eine einfache Regel fand. Flächen, Bogenlängen und Berechnungen von Intcgraljairven habe ich wegen des grossen Umfanges nicht detailliert beschrieben, um vom eigentlichen Fcrmatschen Problem nicht ab zu lenken. Auch möchte ich hier bemerken, dass sich hinter den Primzahlexponenten damentalen Satz der. 1 und Musik. 11,. sowie 5 und 7 ein. Zusammenhang zum. fun-. verbirgt.. Bei einem Gespräch A.Einstein's mit A.Moszkowsky äusserte sich Einstein “ ( Geüber Fermat mit den Worten: “ Der gewaltige Mathematiker Fermat spräche mit Einstein, 1922, Berlin, Seite 105) Eines haben uic Einstcinsche. und Fcrmatschc Theorie gemeinsam:. die Konstante.. 2 2 2 Bei der Fcrmatschen Gleichung c / a + b = konstant 1 unabhängig davon wie gross a oder b ist. Bei der Einstcinschcn Theorie kann die Konstante c. durch Addition der Geschwindigkeiten nie grössser als c scin.Bei der Gleic 2 ist c kein numerischer Wert, sondern eine Konstante, die chung E =. m. zwischen Energie und Masse. als. Energieform. Was. Ln. e. aber verbirgt sich hinter. miteinander multipliziert. che Grösse oder eine. 1. =. 1. m=E. /. c. 2 .. wenn hyperbolische wenn Ln 1 = 0 ist? Ist. oder. ergeben oder. Summe. steht:. von unendlichen Grössen. Verhältnisse 1. eine endli-. ?. Eine Antwort enthält diese Studie bei den Gleichungen dritten Grades.:. a > /. 2. +b. '. 2. *. c. '2. Bei Gleichungen dritten Grades können die Koeffizienten aus zwei Zahlen niemals grösser oder kleiner als zwei sein um bei Radiusvektor eins die rezi-. proken Verhältnisse von Subnormalc und Subtangente. Exponent. fest. zu. stellen..

(13) Ist. die. = 0, so gilt Krümmungsveränderung. die Konstante. die Kreisgleichung:. des Kreises auch. =. X. 2. +. Y. 2 -. R 2. 0 und somit. 0.. 2. /(x) = R (p. =. -1. tan“. g((. ±° 2± * >- c2 >« ;r/l80 >«’>. ~ (— ±a b. /,-l, -/,!,= oo. Dadurch entstehen vier Drehungen in vier Quadranten, da a oder b, plus oder minus sein kann aber niemals ± 90° oder 0° weil die,$umme der Innenwinkel eines rechtwinkligen Dreiecks nie 0 sein kann. (X 4,. + /?+ A ^ 0. .•. Das Problem der Drehung eines rechtwinkligen Dreiecks unter Berücksichtigung des Fermatschen Theorems, löst sich durch kubische Gleichungen.Dabei ist nicht nur der Drehungsfaktor i oder -1 von Bedeutung, ( den wir alle. dem. Kunstgriff K.F.Gauss verdanken. der zwei Quadratzahlen nach. ). sondern auch die Einsetzung. dem Fermatschen Theorem. Dabei erkennen. wir, dass hinter der imaginären Einheit ein rechtwinkliges Dreieck mit rezi-. proker Subnormale und Subtangente 6.. März 1997. München Hitoshi Kato. fest. zu. stellen. ist..

(14) —.

(15) TEIL. I.

(16) —.

(17) 17. Bestätigung der Fermatschen Vermutung. Der. Kem der Fermatschen Vermutung ist die letzte vollständige Induktion der. Subtangente.Dies ist Quadrierung der Normalen, Tangente, Subnormalen und erkennbar Das Quadrat der in der Differentialgeometrie als Raumproblem und Subnormale auf konstant geht Tangente und. Normalen. Subtangente.Umgekehrt, bei negativem Potenzexponent zur Subtangente und die Tangente zur Subnormalen,. geht die Normale. 2. 2. 2. 2,. a +b = c und a +b Diophantschen Kann die Entstehung der negativen Ganzzahl bei der nicht lösbar. Vermutung Fermatsche Gleichung nicht erklärt werden, ist die siehe. 2. Schema. Negativ Ganzzahlig 1. Negative Ganzzahlen sind als. .. R* 2. und. cos. R*. sin ^definierbar.. .. Negative Ganzzahlen treten als Exponenten auf. 3. N Jedoch. ist. N. ~2. 2. +. .. + T2 = Sn +St =. T. 1. c2. =St+Sn aber nicht gleich C. 2. Hyperbolisch. Die hyperbolische Gestalt (Sn/R) *. (. St/R). =. konstant. 2. 1 a +b =. Tatsächlich. konstant. ist. ist. 1. (N/T). *. (T/N). =. 1. 1. aber nur dann. wenn n -. 2. ist.. Fermat's Vermutung auf der Begründung des natürlichen. Logarithmus' gebaut 1/x :. dLnx _ dx. x. 1. _ _. X. _. Jx. Der reziproke Wert von. 1*. 1/x multipliziert mit 1/x ist. (. Y/X). *. (. X/Y). 1.

(18) 18. Stereometrie Stereometrisch. betrachtet. dimensional. Fläche. dimensional.. (. (. Theorem. Fermat's. ist. (. a 2 +b2 =c 2 ). Kantenlänge eines Würfels. 2. nicht. )sondem durch eine konstante Folge mit. 3. 12,. ). Hyperbolische Stereometrie Stereometrie die auf negative Ganzzahlen Diophantscher Gleichungen basiert, ist. nicht alleine durch. Berechnung. als 3. dimensional zu erkennen.. ( 8 Raumrichtungen Zwei wachsende Krümmungen bilden zwingenderweise Raumdreiecke immer ein Quadrat in Bezug zur Nullstelle.. durch. vier. Kegelschnitte. Nimmt man den Brennpunkte, dann. Schnittpunkt gilt. (. Nullstelle). zweier. Krümmungen. als. folgende Gleichung:. 4 =* 4 a. =.u„d. b. Konstante. Durch negative und. 1. positive. der Fermatschen Vermutung. ä. -. 1. Exponenten unter Anwendung der Produktregel. ensteht eine 3 Ganzzahligkeit.Diese daraus entstehenden Gleichungen sind. physikalisch. als. Produkt der Wellenlänge und Frequenzzahl. als. konstant. 1. nachweisbar. Somit beruht das Gegenargument auf dem selben Prinzip wie auf dem das Fermatsche Theorem beruht.Damit enden alle* Zweifel an der Richtigkeit seines letzten Theorems, das mit beiliegenden Differential - und. Integralrechnungen bewiesen. ist..

(19) 19. Tangente, Normale, Subtangente und Subnormalc. Bogenlänge und Fläche der Intcgralkurvc. Y'. V'. 5. 2. = J Vc + ae. a. C9. 1. 2 Vc +. d(p. -. 2. aVe + 1 j e. 1(^-0. c. 2. F. =. 2c ^. — (Väb — ^ =. 4c. J. 7ca. 4C. (e. 2cp. -e 2ca ). c,p. d(p. =.

(20) 20 Grundlagen zur Beweisführung der Bestätigung der Fermatschen Vermutung Der Hauptsatz der Fermatschen Vermutung ist mit folgender Formel definiert. R = g*e A (((c2/a. 2. +b2 )*(p/180)*( 180/p)* = 1 dann R = e. n))). g=l, n. e. = 2.718281828... Ln e =1. g = beliebiger geometrischer Wert 180 / p = arithmetische Konstante n. dr. R=. dr _ dcp Die Konstante. 1. 180. dpm ** g. e c 1. 2. a +b. aus a A n+bA n/c A n. ist. 2. nur dann konstant wenn n = 2. ist..

(21) 21. Beweisbarkeit der Fcrmatschen Vermutung durch Gegenargument ( der Fcrmatschen Vermutung). Das Gegenargument cnsteht aus Diopliantschcn. Gleichungen von Zahlcnlri-. wenn p kleiner peln.Dicscs Resultat ensteht aus einer negativen Ganzahligkeit, Fermatschc Behauptung ist von grösster Einfachheit und. q ist. Die durch umgekehrt ist der Beweis von grösster Vielfältigkeit. Dadurch kann man prinzipieller ein wenn verlieren, Standpunkt und Überblick Teilforschung den die einfachste Anhaltspunkt nicht genau definiert ist. In dieser Fassung ist daher die einzige dass Meinung, der bin Ich angestrebt. und kürzeste Beweisführung Problem dem an nicht Vermutung Fermatschcn Schwierigkeit des Beweises der einem zu Teilergebnissen von Zusammcnlügung an sich liegt, sondern in der. als. ganzen. Bild.. Grundlage. Summen endlicher Folgen. 2.Quadratzahlen aus Summen ungerader Zahlen. 1. Arithmetische. und Quadratzahlen aus Summen Gleichungen ungerader Zahlen stehen im Zusammenhang mit quadratischen Arithmetische. Summen. endlicher Folgen. gemäss folgender Regeln: Arithmetische. Summen. n(n + l. + 2 + 3 + 4...+a r=a. n(n+ 1) = IP. i=l. ~TT~. 1).

(22) Einschälzungsformel. X. (. n=. pos. Ganzzahlen. ). Zahlenbeispiel:. 79733979 1. 79733979 12628.06.... 0.5. wird. als. Annäherungswert angenommen.. (12628« 12629) 2 Quadratzahlen. 1. + 3 + 5 + 7...+(2a-. f. -n. i. 1). =a. 2. ^2 _ n(n + \)(2n+l). -. 1-2-3. p und q der Diophantschen Gleichungen sind. identisch mit a. und bi des komple-. xen Zahlensystems.Wenn die Summe komplexer Zahlen eine Quadratzahl ergibt, dann ist der Koeffizient des absoluten Gliedes der quadratischen Gleichung identisch mit der. n ten Folge der. Summe. arithmetischer Folgen..

(23) % 23 Quadratische Gleichungen. v.. 2 /(x) = A'. +6X + 10 = 0. -3 + /,-3-/. / (x) = l. X. 2. -. 2X -10 =. 0. + 3/,l-3/. /(x) =. X. 2. +12X + 45 =. 0. — 6 + 3/, -6 - 3/ /(x) = *. ... 3. X -6X + 45 = 0 2. + 6/,3 - 6/. /(x) =. X. 7. + 20A" + 136 = 0. -10 + 6i,-10-6; /(x) =. X. 2. r -12A + 136 = 0. 6 + 10/ ,6-10/. /(x) =. X. 1. + 30X + 325 = 0. — 15 + 10/, — 15 — 10/ 2 /(x) = A'. 1. -20X + 325 = 0. 0 + 1 5/,l 0 — 1 5/. f(x) =. X. — 21 +. 1. 5/,2. /(x) =. r2. 15. 2. + 42A' + 666 = 0 1. — 15/. A -30X + 666. = 0. + 21/, 15-21/. f(x) =. X +56X + 1225 = 0 2. — 28 + 2 1/,— 28 — 2 1/ 2 /(x) = A'. -42X + 1225 =. 0. 21 + 28/ -21-28/. /(x) =. X. -36 + 28/ f{x) =. X. 2. + 72 X + 2080 = 0. -36-28/ 2. - 56A' + 2080 = 0. 28 + 36/,28-36/.

(24) 2. 24. 3. +1=2. 3. +6=. 2. 3. 6+ 10 = 4 =. 4. arithmetische. Summe. 45 =. 9. arithmetische. Summe. 10. 136 = Summe. Die. 2. 16. arithmetische. des Koeffizienten linearer Glieder. ist. Summe Summe. gleich der. zweier. Quadratzahlen.. =8. 4+4=8. =18 30+20 =50. 9+9 =18 25+25 =50. 6+2 12+6. Der Koeffizient des linaren Gliedes ist konstant der doppelte Wert von a des komplexen Zahlensystems und p der Diophantschen Gleichungen. Primzahlen Grundregel zur Bestimmung einer Primzahl. 1. Primzahlen können nur kongruent. .. 1,5,7,11. (. modulo. 12. ). Vorkommen.. (Ausnah-. me. 2. und. 3). 2 12 n. +. .. jede der Kongruenzen 1,5,7,11 ergibt eine Endziffer 1,3,7 oder 9. ,. ein. Kriterium zur Bestimmung von Primzahlen. \. 3.. Die n auf.. te. Quadratzahl einer Primzahl. tritt. nur bei der Kongruenz,. 1. modulo 12.

(25) 25. 4.. Teilbarkeit durch Primzahlfaktor Analyse x. Es entsteht eine periodische Folge deren Basis 12 n und deren Endziffer konstant 0, 2, 4, 6, 8, ist, wodurch man eine Periode von 5 erkennt. kongruent 1. 2 3. 4 5. 6. 7 8 9 10 11. 12. = = = = = = = = = = = =. 1,3,5, 7,. 2,4, 6, 8,0 3, 5, 7, 9,1 4, 6,8, 0,2. 5,7,9, 1,3 6, 8, 0,2,. 7,9, 1,3, 8, 0,2,4, 9, 1,3, 5,7. 0,2, 4, 6,8 1,3,5, 7,. 2,4,5, 8,0. gerade Zahl 2,4,6, 8,0. kongruent. 2. 4, 6, 8, 0,2. kongruent. 4. 6,8, 0,2,. kongruent. 6. 8, 0,2,4,. kongruent. 8. 0,2, 4,6,8. kongruent. 10. 2,4, 6,8,0. kongruent. 12 oder 0. ungerade Zahl 1,3, 5, 7,. kongruent. 1. 3,5, 7, 9,1. kongruent. 3. 5, 7,9,1,. kongruent. 5. 7,9,1, 3,5. kongruent. 7. 9,1, 3,5,7. kongruent. 9. 1,3, 5, 7,. kongruent. 11.

(26) 26. Summe. x. der Zahlen die in der Primzahlverteilung. 0. 2. 4. 6. 8. 49 50. 1P. 13P. 25. 37P. 2. 14. 3. 15. 26 27. 4. 16. 28. 38 39 40. 5P. 17P. 29P. 41P. 53P. 6. 18. 30. 42. 54. 7P. 31P. 43P. 55. 8. 19P 20. 32. 9. 21. 33. 10. 22. 34. 44 45 46. 56 57 58. IIP. 23P. 35. 47P. 59P. 12. 24. 36. 48. 60. zur Printzahlverteilung. 52. kommende Zahlen. 13. 25. 37. 49. 5. 17. 29. 41. 53. 19. 31. 43. 55. 23. 35. 47. 59. 24. 72. 120. 168. 216. 2. 6. 10. 14. 18. 11. (Primquadrat) 7*7. 51. 1. 7. kommen. Summe. (12n...z.B 12*6==72 etc.). Totalsumme 600. Beispiel der Rechnung: 2.. der. 1.. Periode. Endziffer. Addiert. ist. 12*1 also 12. ist 2.. 12 mit. 1. 13 Endziffer ist. 3. 12 mit. 5. 17. 7. 12 mit. 7. 19. 9. 12 mit. 11. 21. 1. ergibt.

(27) 27 Erklärung der Kongruenz in umgekehrter Folge.. Kongruenz. 1. Endziffer. 1,3,5,7,9. Primzahl. 1. 13,37, 49(Primquadrat) 13-12=1 ,. 37-36=1. 49-48=1. Kongruenz. 5. Endziffer. 5,7,9, 1,3. Primzahl. 5,17,29,41,53 5*. >. 0=5. 17-12=5. 29-24=5 41-36=5 53-48=5. Kongruenz 7 Endziffer. 7,9, 1,3,5. Primzahl. 7,19,31,43, 7-. 0=7. 19-12=7. 31-24=7 43-36=7. Kongruenz. 11. Endziffer. I, 3, 5,7,9. Primzahl. II, 23,47,89. 11-. 0=11. 23-12=11. 47-36=11 89-72=11.

(28) 28. Summe der. vorkommenden Zahlen.. in der Primzahlverteilung. 0. 2. 4. 6. 61P. 73P. 85. 97P. 109P. 62. 74. 86. 98. 110. 63. 75. 87. 99. 111. 64 65. 76. 88. 100. 112. 77 78 79P 80. 89P. 101P. 113P. 90. 102. 114. 91. 103P. 115. 92. 104. 116. 81. 93. 105. 117. 82. 94 95 96. 106. 118. 107P. 119(7*17). 108. 120. 66. 67P 68 69 70. 71P. 83P. 72. 84. in der Primzahlverteilung. 8. vorkommende Zahlen. 61. 73. 85. 97. 109. 65. 89. 101. 113. 67. 77 79. 91. 103. 115. 71. 83. 95. 107. 119. 360. 408. 456. 34. 38. Summe 264. 312 von 26. (Vielfaches. 22. 12).. 30. Totalsumme 1800 7 III.. 133. 145. 157. 169. 125 137. 149. 161. 173. 127 139. 151. 163. 175. 143. 155. 167. 179. 600. 648. 696. 121. 131. Summe 504 552. Totalsumme 3000. .. Periode.

(29) 29 Weitere 5*12 Perioden ,die das Vielfache von 600 fortsetzen. x. 600. 600*1. ',2,3,4,. II. 1800. 6,7,8,9,10. III. 3000 4200 5400 6600 7800 9000 10200. 600*3 600*5 600*7 600*9 600*11 600*13 600*15 600*17. 600*19 600*21 600*23. 46,47,48,49,50. I. IV. V VI VII VIII. IX. X. 11400. XI. 12600. XII. ,13800. = 60 12*10=120 12*15=168 12*20 =240 12*25 =300 12*30 =360 12*35 =420 12*40 =480 12*45 =540 12*50 =600 12*55 =660 12*60 =720 12*5. 11,12,13,14,15. 16,17,18,19,20. 21,22,23,24,25. 26,27,28,29,30 31,32,33,34,35. 36,37,38,39,40 41,42,43,44,45. 51,52,53,57,55. 56,57,58,59,60. Endziffer. Il.Pcriode. von 2. Periode 12*5=60 2. von 2. Periode 12*6=72 3. von 2. Periode 12*7=84 4. von 2. Periode 12*8=96 5. von 2. Periode 12*9=108 Addiert man 60 mit Endziffer Verhalten wir 61. 0. 1.. Addiert. man. 5. 65. 7. 67. 11. 71. 72 mit Endziffer 7. 77 79. 11. 83. 5. Addiert. Addiert. man 84. man. 1. mit Endziffer. 1. 5. 89. 7. 90. 11. 95. 7 11. 4 6 8 Endziffer. 1. 7 1. erhalten wir 73. 3. 7 9 3. erhalten wir 85. 108 mit Endziffer 5. 2. 9. 1. erhalten wir 109. 113. 9 3. 115. 119(7*17). 9.

(30) 30 I.. 5. 5. S=p\+p5+p7+pl\+ X. I2i+p\+. i=2. i= 2. + i. 5. 5. £. V. \2i+pl+. =2. i. \2i+pS. X. 2. 12i+pll=24+(12(i-i—ü))+(24-4) 2. =2. II.. 9. 9. x. I2i+pl+. i=5. £. *. 12i. X. 9. 12/+/75+. 12z+/?7 +. z=5. z=5. ,. X. + pll = ((12(. Z=5. 4 4+1 9(9 + 1) . )-12( ^ ))4)+120 2 2 ->. III.. 14. 14 1 z'=10. y. MO. 2z. +. /?1. ^. + i. 14 1. 2z. + /?5 +. =10. 12i+pll = ((12(. ]T. 1. 2z. + pl +. i'=10. 14(1. ^ 1. +1) )-12(^ll))-4)+120. 2.

(31) 31. Grundlage des Gegenargumentes V. Die Fermatschen Vermutung a 2 +b2 =c 2. a. a 2 +b 2 =(a+bi)(a-bi). a. 2. 4-. b. 2. +b. ist. nicht direkt umkehrbar. 2. 2. ist. nicht gleiche. 2. ist. VF + VF/ VF - VF/ = (siehe. 0. nicht gleich. 3- 2. +. 4- 2. Graphik '‘Schema negativer Potenzexponent"). Beispiel. 3. 2. =0.1111..... 4'2 *= 2. 3. 0.0625. +4 = 0.17361 2. und. 5' 2. = 0.04. denn: 1. 1. 1. P. 2. +. !. T. /. P. q’ „. „. “ + = (a _v. ^. Z>. n 1. «. = n-2 a. bi. a. bi. ,. 2. ). ”. ——— ^. „-2. a. ,. U ~2. 2. 2. -/>. ^.

(32) 33 Definition. 1. .. rechtwinkliger Dreiecke, in Eine integrale Kurve besteht aus der Summe aller R zur Subnormalen, Verhältnis der Wachstum oder Verminderung im Evolvente und Evolte stehen. Subtangente, Tangentenlänge und Normalenlänge sind hier nicht mit einbezogen.. 2. .. Primzahlenverteilung. mit der Periode 9 verPemr Gustav Lejeune Dirichlet hat als erster Primzahlen 1959) mit 12 .(Der Verfasser setzt ganze teilt; dann Heinrich Tietze (München. Zahlen. als. Exponent.) 3.. Nicht. der. Ausdruck. Dieser. Zeta. triviale Nullstelle. Funktion. von. Bernhard. Riemann. Bezug auf den Koeffizienten der. Definition, definiere ich in. vorkommenden. der. in. quadratischen Gleichungen. “ n= 1. 1. ft. mit allen n ten Exponenten.. auf nicht trivialen Nullstelle bezieht sich ausschliesslich + Jegliche bi. Zahlen a komplexen aller die Feststellung jeglicher Nullstellen Wert = 1 und reziproke Subnormale- und SubtanNullstelle hat den. Meine Definition der. R. gentemvert.. auf einer reellen oder imaginären Achse. Achsen. Nullstelle liegt außerhalb reeller oder imaginärer. triviale Nullstelle liegt. 1.. Die. 2.. Die nicht. triviale. Gleichungen. Feststellung der triviale Nullstelle durch kubische. X +a X +b X+b2= 0 2= f(x)=b X +b X +a X+a 0. f(x)=a. 2. 3. 2. 2. 2. 2. 3. 2. 2. 2. —f— 1 —. a=b R, Subnormale, Subtangenten=-. ’.

(33) 34. X v. Trennt. man. als zwei,. n. und deren. Differentialquoticnten Regeln.. quadratische, lineare. dann. gilt die. und absolute Glieder von höheren Potenzen. Regel: Der Koeffizient des quadratischen Gliedes. ist. Hälfte des letzten Differentialquotienten.. f(x)=(0.5)BXHBX+C=0 somit entstehen zwei konstante Wurzeln:. 1. +. aus 4 Quadranten. i. l+i,-l+i,-l-i,l-i. die. den konstanten Tangenswert. 1. definieren.. Ln 1=0. 4.. Das aus der Fermatschen Vermutung resultierende C 2 / a 2 +b2 hat den konstanten Tangenswert 1, das mit dem obigen Resultat identisch ist. 5.. modulo Die Definition der Gauss 'sehen Zahlenkongruenz. ist:. a = b{n) a kongruent b modulo n Beispiel:. 13. ist. kongruent. 1,. modulo. 12; teilt. man. 13 mit 12,. dann. ist. der Rest. 1. 6 ^ .. Begründung des modulo 12 Jeder Differentialquotient. von. XA n. ,. wobei n grösser. als 3 ist. ,. ist. durch 12. ganzzahlig teilbar.Bei der Auslegung der Fermatschen Vermutung. soll. man. die 3 ganzen Zahlen der Exponenten von der geometrischen Folge trennen.. (Siehe Satz. 4.).. die.

(34) 35 6.a. Binomischer Satz. Z (f)an b\^b°+q)a i. a+b)"=. (. i. r,. -]. bh.... =. erweitert als. N. *. 1 l. An. 1*1 A 0 1*11 A 1. (. N, n = natürliche Zahlen) 1. 11. 1*1 A 2 1*1 A 3. 121. 1*11 A 4 1*1 A 5. 14641. 2*11 A 0 2*1 A 1. 2. 2*1 A 2. 242. 2*1 A 3 2*1 A 4. 2662 281282. 2*1 A 5. 21020102. 1331. 151051 161051 (Zehnerübertra,. 22. 32 102(Zehnerübertragi Periode in modulo 12. 1*11 A n=. 1. und. 1. 2*11 A n= 3*11 A n=. 2 und 10. 4*11 A n= < c II in * 6*11 A n=. 4 und 8. 7*11 A n=. 7 und 5. 8*11 A n= 9*11 A n=. und 4 9 und 3 10 und 2 1 1 und 1 12 und 0. 3. 5. T—. 13*1 A n=. 9. und 7. 6 und 6. 8. 10*ll A n= 11*1 A n= 12*1 A n=. und. X. 1. und. 1. jede weitere Folge wiederholt sich in der Periode 12.

(35) 36. 6b.. Die Goldbach Vermutung und Primzahlverteilung. Kpa”~W+...-K")A". Ist. eine ganze Zahl grösser als 4,. Primzahlen. Dieses. ist. dann ist diese Za Reihen definit. in folgenden. 1. 2. 3. 5. 1. 2. 3. 3. I.. 2. 4. 6. 8. II.. 14. 16. 18. che Zahlen). 20. diese Reihe setzt sich weiter fort nach: 12n. +. 2 Pri. 7.. 3 Dimensionalität der Zahl .1051 (Zehnerübertragung). durch. Alle. die. Diophantschen. Zahlentripel. Dreiecke sind nicht 2 dimensional, sondern 3. D Modell. dimensionale Gestalt und 3. Allgemein gültige Definition.. a^b 2102(Zehnerübertragung). A = a2. B = V((2(aZ>)) 2 -a. 2. 2. £l = ^-Vtf +£. 2. B\- a-b. C=a. 2. -. 2. 2 C\ = —yfa^hb. 2. D = V^ +5 +C 2. lode 12. 2. 2. Dl =. 2. 2. V^ +î +c.

(36) 36. 6b.. Die Goldbach Vermutung und Primzahlverteilung in modulo 12 Ist. eine ganze Zahl grösser als 4,. Primzahlen. Dieses. ist. dann. ist. diese Zahl die. in folgenden Reihen. Summe. 1. 2. 3. 5. 7. 11. 1. 2. 3. 3. 3. 1. I.. 2. 4. 6. 8. 10. 12. II.. 14. 16. 18. 20. 22. 24. diese Reihe setzt sich weiter fort nach: 12n. zweier. definiert:. +. 2 Primzahlreihen. 7.. 3 Dimensionalität der Zahlentripel. Alle. durch. die. Diophantschen. Zahlentripel. entstehenden. rechtwinkligen. Dreiecke sind nicht 2 dimensional, sondern 3 dimensional, (siehe Grafik 3. dimensionale Gestalt und 3. D Modell. Allgemein gültige Definition.. a^b. A=a. 2. Bl-a -b. C = a 2 -b. 2. C\ =. -4är+b. 1. 2. D = V;4 +£ +C 2. 2. 2. £>l. =. V^. 2. +i?l. 2. +Cl. 2. K.

(37) 37 Die Wandlung von p und q der Diophantschen Gleichung zu trigonometrischen Werten. sin. «. cos« tan« cot«. =(p2 -q2 )/(p2 +q2 ) = (2*(pq))/(p2 +q2 ). =(pJ -q2 )/(2*pq) 2 2 =(2*(pq)/(p -q ). Weitere, jedoch seltener gebrauchte trigonometrische Funktionen wie Secans,. Cosecans und weitere, lassen sich von dieser Grundlage ableiten..

(38) 38. Beweisführung Einführung Quadrierung der Primzahl l.Satz. Primzahlen ausser 2 und 3 gilt folgende Regel: Wird eine Primzahl quadriert und anschliessend durch 12 geteilt,entsteht hinter dem Komma immer der Wert ..0833333... Dies entspricht dem Wert 1/12.. Für. 52. 25. alle. /12=20. 0833 3 333 3 33.... 2. A 5 4/12. /12=52. 08333333. A 625712=32552. 08333333... 5 8/12 2 Quadratwurzel der n ten Primzahl. 2.. Entspricht der. Umkehrung. des. 1. .. Satz. Satzes. Zum Beispiel. 7727600 =853 7734449 =857 7737881 =859. 7744769 =863. 727600/12=60634.0833 734449/12=61204.0833 737881/12=61490.0833 744769/12=62064.0833.

(39) 39 Teilt. man umgekehrt,. erhält. man:. 853/12=71.083333... 857/12=71.416666... 859/12=71.583333... 863/12=71.916666.... und zugleich folgende. Verhältnisse:. 1/12=0.0833333.... 5/12=0.4166666.... 7/12=0.5833333... 11/12=0.9166666... die sich auf die Primzahlverteilung 1,5,7,11 zurückfuhren lassen.. Wir sehen das umgekehrte Verhältnis zum Satz 1. 2. Satz teilt sich in 4 Kongruenzen von modulo 12 Satz. l.Satz vereinigt sich (. 1,5,7,. zu 1/12. 1 1 ). 3.. Produktregel und Potenzregel.. Produktregel.:. bei. 2 A (3/12) J werden die Exponenten multipliziert. Denn. V2 =. 1.41421356.... ist. und man. erhält 6. 2 A (6/12). Potenzregel:. bei. +b2 = (wenn Basis 3 ist dann mit sich selbst multipliziert) 9 setzt man für b den Wert 4 ein ensteht die Summe 25 a. 2. +16. 9. =25. (3*3). (4*4).. Satz 4.. Wurzelexponent 12. ist. mit modulo 12 identisch. 2. 3 +4. 2. 5^. = 2n. Wurzel expomentl. \e und somit. 2. ist. \. n2. hier der Fermatsche Satz als Exponente dargestellt..

(40) 41. Zu. Bild Integralkurve. V. dr. R = g-. e. K. d<p 180. tan 6.295288781. II. tan 6.295288781. R =g. —•30 n 180. g- e. —. n. 30 a +b. n. 180. e. Berechnung von ganzen Zahlen der Exponenten.. R=g*eALn2 A (n/12). A fn. '. +m. i. Exponent =±'> R=Radiusvcktor Beispiel:. g=l,n=+4,m=+2 l*e A LN2=2 A 2 (+4/12)= 1.25992 1050 A 1.25992 1050 2=1. 587401052 A logl. 58740 1052/log 2 (1/12)=8=4*2. A R=g*e ALn2 A { (a A 3+b 3)/ 1 2 } a=3 b=4 =2 A (21/12)=3. 363585661.. log3. 36358566 l/log((2. Exponent 2 1. liegt bei. A l/12))=21. 270. °. das. ist. ^. J zugleich -90°, gleich Exponente -3 oder+9.. A R=g*e ALn2 A {(3 A -3+4 -3)/12}=0.29730177... A log 0.29730 177../log 2 (1/12)=-21. Exponent -21. liegt bei. -270° und +90°, gleich wie +3. oder. -9.. Somit:. a. A n+bA n,a=3,b=4. n=2 6+ 8. =+!4=-10 <P=420°=-300°. A c=(a+b) A n=7 2(Produktregel).

(41) fix) =. X. 1. - I.V8793W50.V + 1.000 146328 = 0. dr. in 2. dy. 2it. h = cos 6. 29528878’ /(.«). = X' - Hb + ui) + ib - ai))X + ((o + 6i> (u - */)) = 0. fix) =. J<p. /(x)=. 4/9. - 1.98793 9950. AT. ((^+ cos 0t). - ((cos0 + ~~i) + (cos0-. AT-'. fix) =. l. -((cos(lan. )). 2tr. (-^ -cos 0»)) =. 0. d<p. dip. 4 1.000146328 = 0. + ^-i) + (cos<ian d<p. '^=-)-^-i))X +((^ + cos(tan 2n. </g>. ((0.99396997+0. 11031 78i)+(0. 99396997-0. 11031 78i)}=l .98794... = 000 1 46... {(0.1 1031 78+0.99396997i) • (0. 1 1 03 1 78-0.99396990} 1 f( *)=XM 1 .98794)X+ 1 .000 1 46=0.99397+0. 110316* 7. Ln '(— .. tan. >. = 6.29528878.... 2 71 cos(tan. '(—)) = 0.99396997... 2n. /. dr-. cos(tan. (. *. dtp.

(42) Integral kurve. und Primzahlvcrtcilung.

(43) 42 dr. 71. *™* R = g.e T. R = ge. tan 6.295288781. K 30-n 180. 71. R = ge. tan 6.295288781. n. 30 a \b. n. 180. Z=ganze Zahlen, g=hier. 1.. Z=. (»lo g 2)-f 12. g. Z = (I^l/Ln 2)~ Z = (M^/log2).. 36 ° 30. z=. ^. ILn2). m 30. g. Bei diesen Beispiel ist die Differenz beim positivem Vorzeichen Primzahl 7 bei negativem Vorzeichen Primzahl 5. dr. R-ge dr d(p. — 2k. g=0. 1. iz. V. d<p’. 180. r. 103178..= tan6.295288781...°. R=Radiusvektor. g=l e=2. 718281828... A l*e A LnX (n/12). X. X=2 n=± ganzen Zahlen 2=e A Ln.

(44) 43. 2. (n/U). _ pifeüäy _ Q2[2 )". P=Primzahlverteilung(Primzahl 2 und ten 5. und. 7,. 1. und. 1 1. kommen. 3 sind. Ausnahmen. )Primzahlexponen-. durch die Umkehrung der. demselben Winkelwert.. 0°. 360°. -30°. 330°. -60°. 300°. -90°. 2 A (0/ 1 2)=Nullstelle. 270°. 2 A (-1/12)P A 2 (-2/12) 2 A (-3/12). -120°. 240°. 2 A (-4/12). -150°. 210°. O -210°. 180°. 2 A (-5/12)P 2 A (-6/12). +7P. O. 120°. 2 A (-7/12)P 2 A (-8/12). +5P. -240°. 1. 00. 150°. +11P. -270°. 90°. -300°. 60°. 2 A (-9/12) 2 A (-10/12). -330°. 30°. 2 A (-1 1/12)P. -360°. 0°. 2 A (-12/12)=Nullstelle. -360°. 0°. + 1P. -330°. 30°. 2 A (0/12)=Nullstelle -IIP 2 A (1/12)P. -300°. 60°. 2 A (2/12). -270°. 90°. -240°. 120°. 2 A (3/12) 2 A (4/12). -210°. O 180°. i. 00. O. O. o. 2 A (5/12)P. -7P. 2 A (6/12) 2 A (7/12)P. -5P. -150°. 210°. -120°. 240°. -90°. 270°. 2 A (8/12) 2A. -60°. 300°. 2 A (10/12). -30°. 330°. 2A( 1. 0°. OJ Os. O. o. (9/12). 1/1 2)P. -1P. 2 A ( 1 2/ 1 2)=Nullstelle. ± Winkelvverteauf.

(45) 44. R=5 0°=5 10°=5.097. -10°=4.905. 20°=5.196. -20°=4.81. 30°=5.297. 1P. -40°=4.629. 50°=5.505. -50°=4.541. 60°=5.612. 2. 3. 10°=6.179. 120°=6.300. -7P. -230°=3.211 8. -240°=3.150. -8. -250°=3.090. 260°=8.249. -260°=3.031 9. 280°=8.572. -270°=2.973. -9. -280°=2.916. 290°=8.739. -290°=2.861 10. 310°=9.082. -300°=2.806. -10. -310°=2.753. -320°=2.700. 320°=9.259. .. -210°=3.337 -220°=3.273. 250°=8.091. I. -6. -200°=3.402. 7P. 220°=7.637 230°=7.786. 330°=9.439. -180°=3.536 -190°=3.468. 200°=7.349. 300°=8.009. -5P. -170°=3.604 6. 190°=7.209. 270°=8.409. -150°=3.746 -160°=3.674. 170°=6.936. 240°=7.937. -4. -140°=3.819. 5P. 160°=6.804. 210°=7.492. -120°=3.969 -130°=3.893. 140°=6.547. 180°=7.071. -3. -110°=4.046 4. 130°=6.422 150°=6.674. -90°=4.204. -100°=4.124. 100°6.062 1. -2. -80°=4.286. 80°=5.833. 90°=5.946. -60°=4.454. -1P. -70°=4.370. 70°=5.721. •. -30°=4.719. 40°5.400. IIP. -330°=2.649. 340°=9.622. -340°=2.598. 350°=9.809. -350°=2.549. -IIP.

(46) 45. 360°= 10.000. X. -360°=2.500. 12. 370°= 10. 194. -. 380°=10.393 390°= 10.595. 13P(1). -380°=2.406. 400°=10.801. -420°=2.227 -440°=2.143 -450°=2. 102. 15(3). -470°=2.023 •16(4). 510°=13.348. 17P(5). -480°=1.984. -500°= 1.909 -510°=1.873. -17P(-5). -520°=1.837 -5 30°= 1.802 -540°= 1.768. 18(6). 550°=14.417. -550°= 1.734. 560°=14.697. -560°= 1.701 19P(7). -570°= 1.669. -18(-6). -19P(-7). -580°= 1.637 -590°= 1.606 -600°= 1.575. 20(8). 610°=16.189 620°= 16.497. -20(-8). -610°=1.545. -620°= 1.5 15. 630°=16.818 640°= 17. 145 650°= 17.478. 21(9). 660°= 17.8 18. 22(10). -630°= 1.487. -21 (-9). -640°= 1.458 -650°= 1.430. 670°=18.164. -660°= 1.403. -22(-10). -670°= 1.3 76 -680°=1.350 23P(1. 1). -690°=1.324. -23(-l 1). -700°=1.299. 710°=19.619. 720°=20.000. -16(-4). -490°= 1.946. 520°=13.608. 680°=18.517 690°= 18.877 700°= 19.244. -15(-3). -450°=2.062. 470°=12.359. 590°=15.571 600°= 15.874. -14(-2). -430°=2.185. 480°=12.599 490°= 12.844 500°= 13. 094. 570°=14.983 580°= 15.274. -13P(-1). -410°=2.271 14(2). 460°=12.123. 530°=13.872 540°= 14. 142. -390°=2.360 -400°=2.315. 410°=11.011. 420°=1 1.225 430°=1 1.443 440°= 11.665 450°= 11.892. -12. -370°=2.452. -710°=1.274 24(12). -720°=1.250. -24(-12).

(47) 46 Homogene ln der Literatur. lineare Differential Gleichung 2. Ordnung. überwiegend bi als Konstante der Integralkurve eingeum genaue gc inschte Eregebnissen zu ziehen.. ist. setzt, aber es genügt nicht. ay" + by' +cy = 0 Hier einige konkrete Rechnungs Vorgang. Setzt. man komplexe Zahlen:. um genaue Konstante zu erhalten. (a+bi)+(a+bi)={(Ln2/2 ^)*2}+{(cos. 6.29528878)*2}i=0.2206356...± 1.98794.. .i (a+bi)+(a-bi)=0.2206356.... (0.993969975. ,+Ln2/2. X i)+(0.993969975...-Ln2/2 X i)=l .98794.. ... (Ln2/2Pi) 2 +0.993969975... =0.012 17001 7+0.98797631 = 1.000146328=(Ln2/2 >7'+0.993969975i)*(Ln2/2 ^-0.9939699750 2. (a+bi)*(a-bi). a=Ln2/2 X b=tan A -l(Ln2/2 7T)=6.29528878...° cos 6.29528878...°. =0.993969975... Somit:. f(x)=X 2 -aX+bi=0 a=reelle Zahlen aus Addition der. komplexe Zahlen. (a+bi)+(a+bi). bi=imaginäre Zahlen aus Addition der komplexe Zahlen (a+bi)+(a+bi) Setzt. man. hingegen:. f(x)=X 2 -(0. 22063 56)X+ 1 000 146328=0 .. hat aber komplexe Wurzel. 0.11031. ,.±0.99397i 0.. 1. R=l.. 1031. ,.+0.99397..i)*(0. 11031. ..-0.99397.. ,i)=1.000146328.... Umgekehrt f(x)=X2 -( 1 ,987939950)X+ 1 .000146328=0 f(x)=X 2 -((b+ai)+(b-ai))X+((a+bi)*(a-bi))=0. R=1 (Wenn b=4 a=3 f(x)=X2 -8X+25=0 Wurzel. 0.99397+0.1 103 18i. ist. 4±3i). (f(x)=X 2 -((4+3i)+(4-3i))X+((3+4i)*(3-4i))=0 und. f(x)=X 2 -((3+4i)+(3-4i))X+((3+4i)*(3-4i))=0 3+4i.3-4i. 4+3i,4-3i. Somit R=1 und auf R. kommt Subnormale. als. c*R(=Konstante *R=bi*R).

(48) 47. dr. X. dcp. c=Konstante Sn=0. 110318... St= 1/0.1 103 18. =9.064720284.... N= 1.0060666... T=9.1 19712376... ie bei Fermatsche Theorem Nimmt man N und T wie. als. Quadrat der beiden. Katheten in die Gleichung der dritten. f(x)=N 2 X. Wurzel f(x)=T. 2. J. Grad. ein.. +N2 X2 +T2 X+T2 =0. ist. St ,±9.06472.. i. X +T X +N X+N2= 0. Wurzel. 2. 3. ist. 2. 2. Sn, ±0.1 103. 18.... verbunden mit Grund der verslnedene Werten sind insofern derIntcgralkurve,R Evolte. und Evolvente.. Weitere Berechnung: Der Wert 0. 1 103 PSOO+li zu erhalten: X) nochemmal mit 2 multipliziert man Koeffizient (Ln2/2 ,(Ln2/2. ^ *2=0.024340034.975 =1.0 2. ... 2. 12- -addiert dann mit 0.993969 16345=0 f(x)=X2 +0.024340034X+ 1.0123 ±li. hat komplexe Wurzel 0.110317800. Zusammenhang zwischen. .. Gleichung Koeffiziente der Quadratischen. Fcrmatschen. Theorem. Beispiel:. p=2 q=l oder p= 1 q=2. a=p2 -q2 = b=2pq = 2 c=p2 +q =. i. (3+4i)*(3-4i)=25 (3+4i)*(3+4i)=-7+24i (4+3i)*(4-3i)=25 (4+3i)*(4+3i)=7+24i. (3+4i)+(3-4i)=6 (4+3i)+(4-3i)=8. -5.... und.

(49) 49 Satz. 7.. \. Durch das aus Satz. 3 definierten. Produkt -und n otenzregel wird jetzt p und q der. Diophantschcn Gleichungen zum. Koeffizienten der quadratischen. Gleichungen umgcwandelt: Bei diesem Beispiel. ist. p = 4 und q =. A4 B C. D. 2. 3. (Produktregel). 4 2 (Potenzregel) 3 3. 2. (Produktregel). 2. (Potenzregel). A+C(Produkt ^Produkt) B+D(Potenz +Potenz) C+D(Produkt +Potenz) A+B(Produkt+Potenz). =8 = 16 =6 =9 = 14 =25 = 15 =24. Vorzeichen \ orhergegangenen 8 Werte mit negativen und positiven können nur auf 8 Verteilungen kommen. Die. f(x)=X 2 +AX+B.

(50) 50 Satz. 8.. Mit gleichen Vorzeichen wird eine entgegengesetzte Zahlenanordnung erstellt.. f(x)=X 2 +AX+B=0. Symmetrische Struktur Quadrant I = + +. = -+ Quadrant III = Quadrant IV = + Quadrant. Beim folgenden. A2. 2. Beispiel. (Produktregel). 1. B2 C 3r. (Potenzregel). D3. 2. (Potenzregel). A+C B+D C+D A+B. ist. (Produktregel). p = 2 und q =. II. —. 3. =4 =4 =6 =9. (Produkt +Produkt) (Potenz +Potenz). (Produkt +Potenz). (Produkt+Potenz). Diese Regel hat eine einzige. =1 =1 =1 =8. Ausnahme. :. die Primzahl. 1,. denn. 1. 2. =1 .Bei. dieser wird nicht die Produktregel angewandt, sondern eine Addition.. A=l+1=2 B=l 2 =l 01 + 1=2. D=l 2 =l Weil f(x)=X 2 +lX+l=0=f(x)=2X 2 +2X+2=0 die komplexe Wurzel von -0.5+0.866025i hat.. Durch diese Ausnahmeregel wandelt sich das Ergebnis f(x)=X 2 -2X+2=0 1+li und 1-1 i Oder f(x)=X 2 +{(l+li)+(l-li)}X+{(l + li)(l-li)}=0. zu:.

(51) 51. Beweisführung des Fcrmatschcn Theorems durch kubische Gleichungen 1.. i. Koeffizienten von kubischen Gleichungen, Subnormalc. und Subtangentc der. Integralkurve. man. Setzt. 2 Zahlen, a. und b aus der Fcrmatschcn Gleichung als Koeffizient b=p2 -q 2 wobei die. eine kubische Gleichung mit der Definition a=2(pq),. Zahlen p und q nicht gleich. sind,. p aber kleiner. als. q. in. ,. sein kann, ergibt sich. die Formel:. ± 2pqX +(p -q )X ± 2pqX± (p f(x)= ± aX ± bX ± aX+-b=0 3. f(x)=. 2. 2. 2. 2. -q 2 )=0. 2. 3. DieVorzeichen für a und b beschränken sich auf folgende 8 Möglichkeiten: m,. +b +b +b +b -b -b -b. +a +a -a -a -a. a. +a +a. +b -b +b -b +b +b +b -b. +a -. a. -. a. +a +a. -b. -. a. -. a. +a. um. SubnormaiC und/oder Subtangenten-. längen bei R=l( Nullstcllc. festzustellen.. ). Reziprokes Verhältnis:. — (P2_ q )XJ ± (2pq)X ±(p2 -q2 )X±(2pq)=0 f(x)= ±bX ±aX 2 ±bX±a==0. f(x)=. 2. :. :. 2. 3. ;. Vorzeichen bleiben, Werte werden aber vertauscht. +b +b -b -b -b -b +b +b. +a +a +a +a -. a. -. a. -. a. -. a. +b -b -b +b +b -b -b +b. +a -. a. +a -. a. +a +a +a -. a. um. Subnormale und/oder Subtangenten-. längen bei R=1. (. Nullstelle. ). festzustcllen.

(52) Beweisführung des Fermatschen Theorems durch kubische Gleichungen l.Tabelle Beispiel. a=3. b=4. *. -. I. I. +a,. +b,. +a,. +b,. -1.33333. i. I. II. +a,. +b,. -a.. +b,. -2.10785. 0.387257+-0.694686i. +b. +b,. -a,. -b,. -1.33333. 1. +a.. -b.. 0.610059. -0.971696+-1.1 1418i. +a,. +b, +b,. -a,. -b,. 2.10785 1.33333 0.610059. -0.387257+-0.694686i. -a.. +a,. -b,. -1. 1.33333. 1. -1.33333. 1. -1. -0.971696+-1.1 14181. I. III. +a,. I. IV. +a.. II. I. -a,. II. II. -a.. II. III. -a,. +b. +b. +b,. II. IV. -a,. +b,. III. I. -a,. -b,. +a,. III. II. -a,. -b,. -a,. +b, +b,. III. III. IV IV IV IV. *. i. -i. -1. -i. 0.971696+-1.1 1418i. III. -a.. -b,. -a,. -b,. 0.610059 -1.33333. IV. -a,. -b,. +a,. -b,. 2.10785. 0.387257+-0.694686i. 0.971 696+- 1.1 14 18i. i. -i. I. +a,. -b,. +a.. +b,. -0.610059. II. +a,. -b,. -a,. +b,. 1. 1.33333. III. +a,. -b,. -a,. -b,. 2.10785. -0.387257+-0.694686i. IV. +a,. -b.. +a,. -b,. 1.333333. i. -i. I. I. +b,. +a,. +b,. +a,. -0.75. i. -i. I. II. +b,. +a,. -b,. +a.. -1.63919. 0.444594+-0.509785i. 1. I. III. +b,. +a,. -b.. -a,. -1. 1. I. IV. +b.. +a,. +b,. -a,. 0.474418. -0.612209+-1.09822i. II. I. -b,. +a.. +b.. +a,. 1.63919. -0.444594+-0.509785i. II. II. -b,. +a,. -b.. +a.. 0.75. i. II. III. -b,. +a,. -b,. -a,. -0.474418. 0.612209+-1.09822i. II. IV. -b,. +a,. +b,. -a,. -1. 1. 0.75. III. I. -b,. -a,. +b.. +a.. -1. 1. -0.75. III. II. -b,. -a,. -b.. +a,. 0.474416. -0.612209+-1.09822i. III. III. -b,. -a,. -b.. -a,. -0.75. i. III. IV. -b,. -a,. +b.. -a,. -1.63919. 0.444594+0.509785i. I. +b.. -a.. +b,. +a.. -0.474418. 0.612209+-1.09822i. II. +b,. -a,. -b,. +a,. -1. 1. III. +b,. -a,. -b,. -a.. 1.63919. -0.444594+-0.509785i. IV. +b,. -a.. +b.. -a.. 0.75. i. IV IV IV IV. -0.75. -i. -i. 0.75. -i.

(53) Beweisführung des Fermatschen Theorems durch kubische Gleichungen 2.TabelIe. I. I. +a,. +b,. +a,. +b,. -1.33333. i. -i. II. II. -b,. +a,. -b,. +a,. 0.75. i. -i. R=1. steht. auf imaginärer Achse III. I. IV. II. R=1. steht. auf. +a,. +b,. -a,. -b,. -1.33333i. 1. -b,. +a,. +b,. -a,. -1. 1. 0.75i. -i. Achse. reeller. II. II. -a,. +b,. -a,. +b,. 1.33333. j. III. III. -b,. -a,. -b,. -a.. -0.75. i. R=1. steht. auf imaginärer Achse. II. IV. -a,. +b,. +a,. -b,. 1.33333i. 1. III. I. -b,. -a,. +b,. +a.. -1. 1. -0.75i. R=1. steht. auf. * -a,. III. I. IV. II. R=1. steht. Achse. reeller. auf. +b,. reeller. -b,. +a,. +b,. -1.33333i. 1. -1. -a,. -b,. +a,. -1. 1. 0.75i. Achse. III. III. -a,. -b,. -a,. -b,. -1.33333. i. -i. IV. IV. +b,. -a,. +b,. -a,. 0.75. i. -i. R=1. steht. auf imaginärer Achse. IV. II. +a,. -b,. -a,. +b,. -1. 1.3333i. 1. III. I. -b,. -a,. +b,. +a,. -1. 1. -0.75i. R=1. steht. auf reeller Achse. IV. IV. +a,. -b,. +a,. -b,. 1.333333. i. I. I. +b,. +a,. +b,. +a». -0.75. i. R=1. steht. auf imaginärer Achse. -i.

(54) Beweisführung des Fermatschen Theorems durch kubische Gleichungen 3.Tabelle. I. I. +a 2. II. II. -b 2 ,. R=I. steht. III. I. IV steht. +a 2. ,. -b 2 .. 2. II. II. -a. III. -b 2 .. steht. +a 2. ,. -b 2. +b 2. ,. +a 2. -1 1. 1.333333i. -1. 333333. 0.75i. -0.75i. ,. -b 2 ,. -1.33333. 1.333333. -li. ,. -a 2 ,. -0.75. li. 0.75. 1.333333i. -1.333333i. 0.75i. -0.75i. -b 2 ,. +b 2 -a 2 ,. +b 2 +a 2 .. -b 2 ,. -1.3333. 1.333333. li. +a 2. ,. -li. 0.75. -0.75. -a 2 ,. +b 2 .. -1.33333. 1.333333. -li. -a 2 ,. +b 2 +a 2. ,. -b 2. ,. -0.75. li. 0.75. ,. 1. -1. auf reeller Achse: -a 2 ,. +a 2. -b 2 ,. -b 2 ,. ,. ,. auf imaginärer Achse.. III. I. -a 2 ,. IV. II. +b 2. .. ,. steht auf imaginärer Achse.. III. III. -a 2 ,. IV R=1. IV. +b 2. steht. auf. ,. 2. -b 2 ,. -b 2 ,. -1. +a 2 .. -a 2 ,. I. -a 2 ,. -b 2 ,. +b 2. -b 2 ,. +a 2. +a 2. -a. ,. -b 2 ,. 1.333333i. -1.333333i. 0.75i. -0.75i. reeller Achse.. IV. II. +a 2. III. I. -b 2 ,. ,. .. ,. -1.33333 i. j. ,. 1.3333. li. 0.75. -0.75. 1.333333i. -1. 333333. 0.75i. -0.75i. steht auf imaginärer Achse.. IV. IV. I. I. R=1. ,. ,. -a 2 ,. I. R=1. +a 2. -b 2 ,. IV. R=1. +b 2. +a 2 .. .. II. steht. ,. -a 2 ,. III. R=1. +b 2. ,. auf imaginärer Achse. III. R=I. ,. +b 2. auf reeller Achse.. II. R=1. +a 2. ,. steht. +a 2. +b. ,. 2 ,. auf reeller Achse.. -a 2 ,. +b 2. 2. 2. +b. .. +a. ,. -b 2 ,. 1. ,. +a 2. -1. ,.

(55) Beweisführung des Fcrmatschen Theorems durch kubische Gleichungen S.Tabellc a=3. b=4. /?=(-> c. A = oc. B = hc. RC =. AB. -L .£=*-» /fC a. +a 2 ,. I. I. I. I. 2. I. II. II. II. R=. I. III. I. III. I. III. IV. IV. II II. R=. 1. II. +a 2. ,. -. +"' 2. -b 2. ». +a \. +a\. -b 2 .. +b 2 +b 2 +h'\. -b. .. 2 .. ,. IV steht auf imaginärer Achse +a 2 II -a 1 II. ;. +a 2. -b*.. -b l .. III. III. -b',. -b 1 .. III. III. .b\. -*\ +a 2. 1. -a. II. IV. -o. II. IV. -«. 0.75i. -0.75i. I. 0.0833333i. -0.833333i. ,. -1. 333333. ,. -b 2 ,. -1.33333. 1.333333. -li. ,. -b 2. 12. 12. -li. -li. 0.75. -0.75. -0.75. li. 0.75. -0.083333. li. 0.083333. -1.33333. 1.333333. li. -1.333333i. -a. ,. ,. \ 2 .. ,. +b 2 +b 2. 2 ,. 2. -a. .. .. 1. 1.333333i. .. 1. 1. 2 ,. 2. -«. ,. 2. 2. ,. ». .. 2 ,. +*. ,. +<*. +b 2. ,. 2 ,. +b 2. 2. i. •. -1 2i. 0.75i. -0.75i. -1. 0.75i. -0.75i. -1. 0.083333i. -0.833333i. -1. 1.333333i. -1.333333i. -b 2 .. -1.33333. 1.333333. li. ,. -b 2 ,. -12. 12. li.. \ +b\. 2 2. +a. 2. +a. I. -b».. -b. III. I. -b>,. -b 2 .. +*. -h. +a\. I. -A. 2 ,. ,. steht auf imaginärer Achse.. .. 2 ,. 2. -h. -0.75. li. 0.75. -li. 0.75. -0.75. ,. -li. 0,083333. -0.83333. .. -1.33333. 1.333333. -li. ,. 2. +a +a. ,. 2. 2. *. 1. ,. III. 1. I. 2i. steht auf reeller Achse:. IV. R=. -0.75i. 1.333333i. .. 2. -a. III. III. 0.75i. -I. +flr. -b. II. II. -1. -1. 2. -b. +" \ +«. II. 1. -1.333333i. 121. -o\. -b 2 ,. ,. 2. -*. b2. +a 2 ,. III. R=. 1.333333i. -1. +a. 2. -a. ,. -1. ,. -er. +b‘,. ,. II. +a 2. 2 .. .. +b\. ,. 2. ,. 2. steht auf reeller Achse.. I. II. ,. ,. .. -b. +b. 2. II. II. +b 2. .. +a +a +b +a \ +a-\ +b\ -b 2 +b 2 , -a 2 ,. 1. II. +b 2. +a‘.. 2.

(56) Beweisführung des Ferniatschen Theorems durch kubische Gleichungen 6.Ta belle. *-A c. A = ac B = bc. — ~=b RC. i. —— — = a. 2. b. RC. a 2. f(x) = a. -144. X +b X +a X+b =0 3. 2. 2. 2. 2. -i. i. (RC) 2 =144 f(x) = b. 2. X +a X +b X + a = 0 3. -144. 2. 2. +a. -(1/144). 2. -i. i. 2 3 f(x) = b X. 2. 2. X. i. 2. +b 2 X+a. 2. =0. -i. 2 3 = J (x) = 2(ab)X + ((a + bi)(a - bi))X + 2(ab)X + ((a + bi)(a bi)) 0. ((a +/>/)(« -bi)). _. -(ab) 2 3 = ((a + bi))X + (2(ab))X + ((a + bi)(a - bi))X + (2(ab)) = 0. f(x). 2(ab) ((a. dr_. + bi)(a-bi)). '. <-). dip. c. a. a. 2. -b. ln. 2. -b. = R ln. =. 2. R'. n. ^16. dr. ^16. dip. ÔOOOOOOOOO. j. ^. I. 6. ^30000000000. _ ^ 30000000U00 J. ß- 16. ^j-16 j. 30ÜOOÜOOOÜÜ. 2. ^ -. ^. 16. 31XXJÜUÜUOÜÜ. =. -3UUUUOOÜUK). 12.

(57) Beweisführung des Fcrmatschcn Theorems durch kubische Gleichungen 7.Tabcllc. /(.r). = R-—X' +. R-—X. b. b. + R-— = 0 R—X a a. 1. +. 1. +R. a. f(x)=R _ a. -X. >. +R. -X. -X + R~ = 0. a. a. h. b. .. ~~h'. f(x) =. }. a-RX +b- RX. 2. +a. RX + b R. =0. _b. (i. f(x) =. bRX +aRX +bRX + a-R = 0 y. 2. a —i. .. -. b. f(x) = a. =. •. RX*. RX +a n RX +b n R = 0 2. + h”. •. RX*+a”. •. •. (-)"/. a. /( x). =b. n. /(*) = o. •. " •. W. /Uf. 2. +b. RX +a n -R = 0. n. +A. ". -RX 1 +a. RX’ + a. ". RX +b. ". RX +h. ". R=0. n. RX +a. ". R=0. -<i" f(x) = h. = (-)"'•. ". 1. baba. a. m. f(x) = (R--) X' +. (R--yX +(R-r)"X + {R--y= o 1. =<V a f(x) =. (R—)" X' +(Ry)" X + (R—)"X + (R~)" = ° 2. /?. <7. A?.

(58) Beweisführung des Fermatschen Theorems durch kubische Gleichungen S.Tabelle. baba 3. Ax)=(R~rx +<,R-rx +(Rj) m r+(R-r=o i. = -(-) 2 " a f(x) = (R -)* a. X. 2 + ( R -)" X + ( R -)" X + (. 3. f(x)=(R-^-y"x. 3. -)" = 0 b. +(R-—yx +(R-^-y x +(ä •— 2. a. b. •. a. b. />. ). ". =o. *. = -(-)2". ftx)=(R--y. m. x. a. 2 f(x) = c. l(R~) b. ,. +(.R--y m x 2 +(R--y "X+(R-)" = o b a b. + (/?•-). X. 2. +c 2 l(R~). a. X+c. 2. -) = 0. (R. b. a. -fr a 2 j 2 f(x) = c /(/?-—) Jf +C /(/?•-) a b. X. mm ± x >+*r+'L x+ * m =. Vc'c + 4^ + £. /w= £l^ Ä c Ä 2. 2. +c 2 /(R ~) a. o. X+c. 2. /(R -) = 0 b.

(59) Beweisführung des Fcrmalschcn Theorems durch kubische Gleichungen 9.Tabclle. 3=a 4=b 5=c. Gcgcnkalhctc Ankathete Hypotenuse. Kosekans =. — a. f (x) = aX. — c. y. +. 2. cX + aX + c = 0. .. .. a Sinus =. — c. = cX y + aX 2 + cX + a = 0. / (jr). — a. .. .. c. Co tan ge ns =. -. Co lange ns = — a. f. (. x) =. — h. sin. aX. y. 2. + cosaT +. sin. aX + cosa = 0. /( x) =. -X +-X +-X + - = 0 2. y. c. c. *. &. c. .. .. a. Tangens = Tangens =. h. f. = cos aX* + sin. (x). — a b. .. .. -. — aX. 2. +. cosaX. f sin. a=0. f{x) =. -X c. a. .. ,. +. -X +-X+- = 0 2. c. c. c. .. -C'" \.

(60) Beweisführung des Fermatschcn Theorems durch kubische Gleichungen lO.Tabelle. p=l. q=2 2 -x=p 2 -q 2 =l 2 -2 =-3. +x=q 2 -p 2 =3 +y=2(pq)=4. -y-c- ±x. 2. -3 2 +4 2 )-(-3 2 )=25-9=- 1 ( 2. <J(x. 2. 2. +y )-(p -q. 2. 2. =~b. ). 5-9 -c-x = -4 2. ±3=±a ±4=±b. Gegenkathete Ankathete Hypotenuse. f(x). =. —. 5. 5=c*. +. —. 2. +. Cotangens = ±. —X+— =. 0. C. C. C. C. ±b ±a. J'(x). =. aX + cosaX + sin aX + cosa = 0 2. l. sin. ±—. Cotangms* =. ±a. f(x). =. —. 3. +. ±b —X +— X+— =. Tangens = ±. ,. 2. c. c. c. ±a. 0. c. ±a. ±b 2 3 = /( jc) = cosclY + sin aX + cosaX + sin a 0. rp. Tangens = ± ,. —.

(61) 7.Tabcllc. /(*) = (*—)" h. = -(-) 2 a. x +(R—yx s. 2. +(/?-)" x+(R-y=o b. Ci. Ci. ". f]*)=(K--rx. ,. a. H*~Yx b. ,. +(*--rxHK--r=o a. b. =-(£>* n S.TabclIc. na. 9.. /(Af). = c J /(Ä.£) A”+(Ä.-). AW/(Ä.-) ^ +. =0. b. a. -fr *7. f( x ) = e‘ /(/?•—) X' + c'nR.l) a b. X. 2. + c 2 / (R -). a. X+c. 2. !(R.°) '. 10.. TabcIlc. Kosekans =. — a. 2 f(x) = aX’ +cX. c. .. +aX + c = 0. .. a Tabellc. CVMan^v/.v =. /(x) = +. -«. .. sin. a + 90’ A 3. + cosa + 90“. .. A. 1. 1.. Tabelle. +y=2(pq)=4. -A = c - ±x (. 2. -3»+4 a )-(-3 »)= 25-9=- 1. Jfr+Tj-ip. 1. -</. 5-9 = c-x = -4 2. 2. !. ). = -b. A. 2. +. sin. a + 90“ A + cosa + 90" =. 0. b.

(62) Beweisführung des Fcrmatschcn Theorems durch kubische Gleichungen 13.Tabellc. p=l. q=2 -x=p , -q , =1 ’-2 2 +x=q 2 -p 2 =3. —. +y=2(pq)=4 2 -y = c-±x (. -3 2 +4 2 )-(-3 2 )=25-9=- 1. 5-9 = c-jt 2 = -4 Gegenkathete Ankathete Hypotenuse. ±a. ±b. c. c. (. = sina cosa. ). — X' — — X+— — — a ±b =. f(x). 2. +. ±a. c. =. (. 5=c. = secaX 3 + sinaX 2 + sccaX + sina = 0. f(x). =. ±3=±a ±4=±b. ). ~(. +. ±a. c. ±b. ). =. 0. c. - cosa. sec. c. f(x) sec a. = cotaX' + sinaX 2 + cotaX + sina = 0 - cosa =. ,. (. - —\ — ±a c. ,. ^. ±l. (. ). c. f(x) =. — X' — l-. ±a. =. c. ±a — —. .in. (. )•(. c. c. .. ). 2. +. —X+±a. /. = sinasina =. c .. sin. ;. a. =0.

(63) Beweisführung des Fcrniatschcn Theorems durch kubische Gleichungen !5.Tabclle. a. +. bi. c. +. di. +. 4i. 4 +. 3i. 3. =. (2( pq )). =. (2(2. a + hi. I)). •. 3. _. 2. + (2. +. 2 (p - q. ). -. 2. ). +. 2 l. 2(ab). ,. a. 2. +. a. + b2. +. c. +. di. +. 4i. 4. +. 2. a. bi. •. l)). a2. - b2. 2. + b2. =. 2. (. y-P)q = 24 + 2_. = a96 + 0 28i. + (2 2 —. 2. 2. 1. 25. 25. ). a. .. i. .. 1. +. bc - ad. - di) _ ac + bd 2 2 + d2 c + d. bi)(c. c. 3i. | 2. ). '. 2. + b. ). 25. (3. _ ”. ). + b2. ±7. (a. _. 2. ^V. (. 25. 3. a. 3i. _ 24 ~. bi. c + di. a. y+. 2. 2. l. (2(2. ). (2(ab)). 4i. 4 +. -. 2 2 (2pq) + (p - q. 2. 2. ((2-(2- l ))»-. 2. [. c + di. 2 2 [(2pq) - (p. 2 (. (2(2-'))-(y-» a. =. •. 2 2 (2pq) + (p - q 2. +. 2. 4i)(4 2. 4. +. 3. -. c. 2. +d. (4-4)-(3-4). _ (3-4) + (4-3). 3i). ~~. 2. 2. 4 +3. .. 2. 2. 4. 2. +. 3. =0.96+0. 28i. 96 2 +28 2 = 10000 4 3 — + — =. sin. a +cosa. 5. 5. (— ). 2. +. (—. 5. 2. = sin. 2. 2. a + cos a =. 0.6. 2. + 0.8. 2. 5. 62 + 8. 0.28. =. 2. 1. 02. = 0.291666.... 0.96. ±24 X. f(x) -. f(x) = 2 a b X. 3. ’. + +. ±7X. 0.28. .. ,. 0.96. i,-. . i. +. ±24 X + ±7 =. ——— X a. ±. 2. 2. + b. 2. 2. + 2ab. X. 0. —=. a. 2. - b. 2. a. 2. + b. 2. +. 0. 2. ..

(64) 52 2. Erhaltene komplexe Werte sind gleich der Länge von Subnormale und. Subtangente der Integralkurve bei. R=l. Beispiel:. f(x)=3X 3 +4X 2 +3X+4=0 Erste Wurzel=-1. 333333... Zweite Wurzel=i Dritte Wurzel=-i. f(x)=4X 3 +3X 2 +4X+3=0 Erste Wurzel=-0.75. Zweite Wurzel=i Dritte Wurzel=-i. Nullstelle der kubischen Gleichung. Bei der grafischen Darstellung der Null-. stelle.. GleLhung. ist. der erste Wert -1.33333. ..die. Bei der zweiten Gleichung liegt die Nullstelle bei -0.75 Gibt. Gleichung die reziproken Werte. und. man. dann ergibt sich der gleiche Wert von Subnormale und Subtangente. Das heisst: Sn und St sind Konstanten für alle R Werte.Deshalb ergibt sich eine Veränderung der Längen Sn und St. ( R*Sn un R*S) Dies bedeutet, dass i und -i sowohl i A 2 ( = A -1 ) und i 4 ( =1 ) selbst die Nullstelle sind. Setzt man den negativen Exponenten 3 A -2 und 4 A -2 oder das Quadrat 3 und 4 dann erhalten wir: -0.5625 und die Reziproke 1.77777... welches das Quadrat des ersten. bei der dritten. 1/3. 1/4 an,. Rechnenbei-spiels sind.. Dies zeigt deutlich, dass nur Quadratzahlen der Katheten bei kubischen. Gleichzngen relevant. sind.. Kubische Gleichungen und 2 verschiedene Werte der Subnormalen. Nach dem Satz von Fermat. lässt sich ein ganzzahliges Quadrat der Katheten Hypotenuse mit 2 verschiedenen, rechtwinkligen Dreiecken darstellen. Aus den Kathetenwerten 3 und 4 ensteht das erste Dreieck: 15, 20, 25 und als. das Zweite,. 7, 24,. und. 25. Das erste Dreieck hat. den Wert der Subnormalen. =0.75, Das Zweite hat den Wert =0.291666666... Setzt. man. -7. und 24. in die kubische. Gleichung ergibt. sich:.

(65) 53 (3+4i)(3+4i)=-7+24i.. (4+3i)(4+3i)=7+24i.. f(x)=24X 3 +24X 2 -7X-7=- 1 Dividiert. -0.540062.. 0.540062,. ,. man 0.540062 durch 0.291666666. was der reziproke Wert von 0.540062. ist.. erhält. man. 1.851641 147. (1/0.540062=0.540062/0.2916666). Hingegen: i, und -7X J +24X 2 -7X+24=3.42?:7, von 1.851641 147, Quadrat Der Wert 3.42857... ist das von 0.540062 ist. Quadrat wie der Wert 0.2916666 ein 0.29166666 und Subtangenten Subnormalcn Multipliziert man den Wert der erhält man (1.96+23.04) 25. diese addiert Länge 3.42857 mit R=6.72 und i.. ,. 3 2 2 Behandlung vom Quadrat der 2 Zahlen a und b. f(x)=± (p2 -q 2 ) f(x)= ± (b. -a -a. -a. X ± (p 3. )X 3 ± (b )X 2. 2. +13. 2. -b2. 2. -b2. -. +V +W 2. 2. +b. 2. 2. +a +a 2. -b. 2. -b. 2. f(x)=± (a )X. +b2 2. +1J. -b2 -b2 -b2 -b2. +V +V. 2 2 ). um. -1. X ± (2pq) X ± (p ± (a. -a 2. 2. 2. Subnormalen und/oderSubtangenten Längen bei R=l( Nullstelle) festzustellen. -b2 +b2 +b2 +b2. 3. a2. =0. -b2. +V. a2. )X. 2. +W. 3. 2. 2. 2. 2. 2. +a2 +a 2 +a2 +a2 -a 2 -a 2 -. X ± (2pq) X± (2pq) ± (a )X + (a2 )=0 -q. -a 2 +a 2. 2. f(x)= ± (2pq). 2. 2. ta2 -a2 -a2 +a2 +a 2. +a2 +a 2 -a. 2. 2. 2. 2. -q2 ) 2. ± (b )X± (b. 2. 2. X ± (p -q 2. 2 2 ). =0. )=0. +a 2 2. -b -b2 +b2. +V 2. -b -b2. + b2. -. a2. +a 2 -. a2. +a2 +a2 +a 2 -a 2. um. Subnormalen und/oderSubtangentcn Längen bei R=l( Nullstellefestzustellen).

(66) 54 Beispiel:. 3X s +3X2 +4X+4=- 1 4X 3 +4X 2 +3X+3=- 1. 1.1547i -1.1647i. 0.866025i. -0.866025i. Die beiden Werte sind die Quadratwurzel aus 1.333333 und 0.75 also ein recht-winkliges Dreieck, 3, 4,. und 5beiR=l (Sn=0.75 und St=l. 333333). Gleiche Werte von Sn und St beim Quadrat der. Kathetenlängen. a=3 b=4 a 2 =3 2 b2 =4 2 Quadrat der 2 ganzen Zahlen: b2 b2 a2 a 2 oder a 2 ,a 2 ,b2 .b2 ,. ,. ,. :. ,. f(x)= 1 6X 3 + 16X 2 +9X+9=- 1. 0.75i. -0.75i. f(x)=9X 3 +9X 2 + 1 6X+ 1 6=- 1. 1.33333. .i. -1. 33333.. 2 ganze Zahlen. b ,a, b, a, oder f(x)=4X 3 +3X 2 +4X+3=-0.75 f(x)=3X3 +4X 2 +3X+4=- 1 .3333. .i. a, b, a,b,: i. -i. i. -i. f(x)=0.75X 3 +0.75X 2 +1.3333333X+1.333333=-l. 1.333333i. -1.3333333i. man. Setzt. die Quadratwurzel als Koeffizienten ein:. f(x)Quadratwurzel aus 1.33333333X 3 +Quadratwurzel aus. 1.33333333X2 +Quadratwurzel aus 0.75X+0.75=-l,. 0.866025i,. -0.866025i. f(x)Quadratwurzel aus 0.75X 3 +Quadratwurzel aus 0.75X 2 + Quadratwurzel aus 1.3333333X+Quadratwurzel aus 1.333333 = -1, 1.1547i, -1.. 1547i. — 1 0 866025/, 0 860025/. -1. ,. .. .. ,. 1.. 1547 , 1 1547/ ..

(67) 55. Erklärung der reellen und komplexen Wurzeln. Beim vorhergehenden. Beispiel haben wir bei den Quadranten die. nebeneinander liegen oder Quadranten die senkrecht stehen Lösungen wie: -2. 10785, 0.387257 +- 0.694686i Setzt. man. in die Gleichung:. f(x)=3X 3 +4X 2 +3X+4=0 den reelle Wert -2.10785. Ebenso ergibt die. Summe. als. X ein,. ergibt sich keine Nullstelle.. der reellen Werte 2.10785. + 0.387257. als. X. keine Nullstelle. Setzt. man hingegen. die. Werte. 2.. 10785. + 0.387257(2.495107) und 0.694686. wie beim Fermatschen Satz als a und b ( Kathteten ) in eine kubische Gleichung ein ist das Resultat -0.278419 sowie i und -i. Das. besagt, dass der reelle. und imaginäre. Teil. (. wie vorher erklärt. ). in der. Nullstelle. R=1 mit der Konstante Sn resultiert. Der reziproke Wert St vertauscht a und b der kubischen Gleichung. resultiert. in:. -3.5917,. i. und-i.. Multipliziert erhält. man das. erste mit. dem zweiten Ergebnis, 0.278419. man wie immer die Konstante. *3.5917.... 1.. In diesem Fall sind die Kathetenlängen eines rechtwinkligen Dreiecks. 2.688039981.... Benutzt. man. und 1.217615965. R=l.. ,. diese Werte als Koeffizienten. kubischen Gleichung ergibt. sich:. f(x)=6. 22555894 lX 3 +6. 22555894 lX. 0.278419i. (. keine ganzen Zahlen. ). der. *. 2. +0.4825886386X+0. 4825886386=. -1. -0.278419i. also das selbe Resultat. wie bei ganzen Zahlen des Fermatschen Theorems..

(68) 13. ( l -4-0-4- 1 -0)-( 1 -4-0-4- 1 -0). 1P. 12. 1729. 1P. 133. 1P. 2. 12. 1736. 8. 124. 4. 3. 12. 1755. 3. 117. 0. 4. 12. 1792. 4. 112. 4. 5P. 12. 1853. 5P. 109. 6. 12. 1944. 7P. 12. 8. 12. 2071 2240 2457 2728 3059 3456. 9. 12. 10. 12. IIP. 12. 12. 12. Probe der Berechnung. 4P. 0. 3*648. 1P. 108. 0. 7P. 109. 1P. 8. 112. 4. 9. 3*819. 117. 0. 4. 124. 4. HP. 133. 0. am. 3*585. 3*1152. 144. 1P 0. Beispiel mit der Tabelle ungerader Exponenten.. 3 A 7+4 A 7. Aus der Tabelle ist ersichtlich, dass die Zahlen 3 und Kongruenz 1 ist. 4,. mit ungeraden Exponenten addiert,. die. Die symmetrische Struktur bei geraden Exponenten. ist. durch p A n+q A n. geteilt. durch 12. ersichtlich.. Hingegen geteilt. ist bei ungeraden Exponenten die Verteilung der Zahlen, wenn zuerst durch p + q dann durch 12 geteilt wird, die Symmetrie sichtbar.. Also:. Verteilung der Zahlen. =. ((p. A n+q A n)/(p+q))/12. Probe:. 3 A 7=2 187 4 A 7=16384. 2187+16384=18571 18571/12=1547.583333... also kongruent 7(12) 1. 857 l/(p+q)=2653. p=3 q=4. Und 2653/12=221.083333 also weist die Teilung mit 12 14.... auf kongruent 1(12) hin..

(69) —.

(70) —.

(71) TEIL. II.

(72) —.

(73) 2.. P=373*=139129 (139129-1 )/12=l 1594 also 1+12*1 1594=373 2 P=373 A 4=1. 935687864 E 10 1.935687864-1/12=1613073220 also 1+12*1613073220=373 A 4. Beim folgenden. Beispiel. ist. der Exponent ungerade wird jedoch mit. 1. subtrahiert. um. ganzzahlige Teilbarkeit durch 12 zu erreichen:. 373 3 =5 18951 17 51895117-1=51895116 518951 16/12=4324593=1+(12*518951 16). Regelreihe sämtlicher Basiszahlen für ungerade Potenzexponenten:. XA3 X= X= X= X= X= X= X= X= X= X= X= X=. Y= 1 Y= 8 Y= 27 Y= 64 Y= 125 Y= 216 Y= 343 Y= 512 Y= 729 Y= 1000 Y= 1331 Y= 1726. 1. 2. 3 4. 5 6. 7 8. 9 10 11. 12. Somit. ist. Prim 1(12) Verteilung 27-(12*2). = 3. 64- ( 12*5). = = =. 125- (12* 10). 216-(12*18). 4. 343- (12*28). =. 7. 512-(12*42). = = =. 8. 729-(12*60) 1000- (12*83). Prim 5(12) Verteilung. 5 0. Prim 7(12) Verteilung. 9 4. 1331- (12*110). =11. 1726- (12*143). =10. Prim 11(12) Verteilung. die Zahlenverteilung bei allen weiteren. ungeraden Exponenten periodisch.. ungerade( 1,8, 3,4, 5, 0,7,8*9, 4,1 1,10). Probe:. 1. 3. =133 1 subtrahiert von 1331-11=1320. also. 1. 1+(12*110)=1. geteilt. durch 12 ergibt 110;. 3. Primzahl 379 liegt bei kongruent 7 379 A 11=2.317561724 E 28 subtrahiert mit 7. Wenn durchl2 geteilt, erhalten wir 1.931301437 E 27. Also 379 A ll=7+( 12* 1.931301437 E 27) ...3.

(74) 3.. Da. bei der Beweisführung der Fermatschen Vermutung der Wert n wie die Exponenten Unendliche geht, kann es auf dieser Basis niemals einen schlüssigen Beweis geben.. Dagegen orientieren. sich die. oberen 2 Zahlenreihen an der Verteilung für. Untere Tabelle zeigt periodisch auftretende Kongruenzen: 1-4- 1-4- 1-4- 1-4- 1-4- 1-4. 1. 2. 1-4- 1-4- 1-4- 1-4- 1-4- 1-4. 3. 4- 1 -0- 1 -4-9-4- 1 -0- 1 -4-9. 4. 1-4- 1-4- 1-4- 1-4- 1-4- 1-4. 5. 4- 1-4- 1-4- 1-4- 1-4- 1-4-1. 6. 1 -4-9-4- 1 -0- 1 -4-9-4- 1 -0. 7. 4-1-10-5-2-1-2-5-10-1-4-1. 8. 1-4- 1-4- 1-4- 1-4- 1-4- 1-4. 9. 4- 1-0-1 -4-9-4- 1-0- 1-4-9. 10. 1-4-1 -4-1-4- 1-4- 1-4- 1-4. 11. 4- 1-4- 1-4- 1-4- 1-4- 1-4-1. 12. 1 -4-9-4- 1 -0- 1 -4-9-4- 1-0. Daraus sind folgende 4 Gruppenbildungen zu erkennen: I. 1,3,5,11. ungerade. II. 2,4,8,10. gerade. III. 6,12 (9). IV. 7. Zahlenwert und Wert der Verteilung: n/12 (n= Bereich der ganzen Zahlen Z). N=. modulo. positive. N=negativ. modulo. 1. 0.08333333... -. 1= -0.833333.... 11. 2. 0.16666666... -. 2= -0.166666... 3= -0.25 4= -0.333333... 5= -0.416666... 6= -0.5 7= -0.583333... 8 = 0 666666 ... 9= -0.75. 10. 3. 0.25. -. 4. 0.33333333... -. 5. 0.41666666... -. 6. 0.5. -. 7. 0.58333333..,. -. 8. 0.66666666.... -. 9. .. 0.75. -. 10. 0.83333333.... 11. 0.91666666.... -10= -0.833333... -11= -0.916666.... 12. 1. - 12= -1. ...4. 9 8 7. 6 5 4. 3 2 1. 0. alle. n Werte.. ins.

(75) 5 1 -4-9-4- 1 -0- 1 -4-9-4- 1. .. -0. 1P. 3. 6. -8. 10. 100. 2. 3. 12. -5. 13p. 169. 1P. 3. 3. 18. 0. 18. 324. 6. 4. 3. 24. 7. 5P. 3. 30. 16. 25 34. 1156. 6. 3. 36. 27. 7P. 3. 42. 40. 45 58. 8. 3. 48. 55. 73p. 9. 3. 54. 72. 90. 10. 3. 60. 91. 109. 11881. IIP. 3. 66. 112. 130. 16900. 10. 12. 3. 72. 135. 153. 23409. 9. 10. 1P. 625. 4P. 10. 2025 3364 5329 8100. 9. 10. 1P 6. 1P. .. 1-1-4-1-4-1-4-1-4-1. kongruent. z. 4. 1P 4. 1P 4. 1P. 6P. 4. 1P 4. X +Y 2. 2. -15. 4. 8. 4. 16. -12. 3. 4. 24. -7. 25. 625. 4. 4. 32. 0. 32. 1024. 17p 20. 5P. 4. 40. 9. 6. 4. 48. 20. 52. 65 80 116. 13456 18769 25600. 7P. 4. 56. 8. 4. 64. 9. 4. 72. 33 48 65. 10. 4. 80. 84. 41p. 97p. IIP. 4. 88. 105. 137p. 12. 4. 96. 128. 160. 5P. 289 400. 1P 2. 1681. 8. 1P 8. 5P. 6P. 2704 4225 6200. 4. 5P 8. 1P. 9409. 8. 5P 4. 1P 4. 4-1-4-1-4-1-4-1-4-1-4-1. 1P. 1P 2. 3. 1P. 4. 4. 5P. 1P. 6. 4. 7P. 1P 4. 1P 4. 1P. 6P. 8. 9 10. IIP 12. l. IP 4. ...6. 5P 10 5P 20 5P 30 5P 40 5P 50 5P 60 5P 70 5P 80 5P 90 5P 100 5P 110 5P 120. -24. 26. 676. 4. -21. 841. 5P. -16. 29p 34. 1156. -9. 41p. 1681. 50. 2500 3721 5476. 0 11. 61p. 24. 74. 39. 89p. 7921. 10. 5P 2. 6P. 1P 2. 5P. 56. 106. 11236. 75. 125 146. 15625 21316. 5P. 96 119. 169. 28561. 1P. 10. 2.

(76) 5.. 1. -4-9-4-1-0-1- 4-9-4- 1-0 -. 4. 1P. 3. 6. -8. 10. 100. 2. 3. 12. -5. 13p. 169. 1P. 1F. 3. 3. 18. 0. 18. 324. 6. 0. 4. 3. 24. 7. 5P. 3. 30. 16. 25 34. 1156. 6. 3. 36. 27. 7P. 3. 42. 40. 8. 3. 48. 9. 3. 54. 55 72. 10. 3. 60. 91. 109. 11881. IIP. 3. 66. 112. 130. 16900. 10. 4. 12. 3. 72. 135. 153. 23409. 9. 9. 1. 45 58. 73p 90. 10. 1P. 1P. 625. 4P. 2025 3364 5329 8100. 10. 4. 9. 9. 10. 4. 1P. 1P. 6. 0. 1P. 1P. .. -4-1-4-1-4- 1-4-1-4-1. -15. 1P. 4. 8. 2. 4. 16. -12. 17p 20. 3. 4. 24. -7. 25. 625. 4. 4. 32. 0. 32. 1024. 5P. 4. 40. 9. 6. 4. 48. 20. 52. 33 48 65. 65 80. 84 105 128. 116. 13456. 137p. 18769 25600. 7P. 4. 56. 8. 4. 64. 9. 4. 72. 10. 4. 80. IIP. 4. 12. 4. 88 96. 41p. 97p. 160. 5P. 289 400. 1681. 1P 4. 8. 1P. 1P 8. 5P. 6P. 2704 4225 6200. 4. 1P 4. 4. 5P 8. 1P 4. 1P. 1P. 9409. 8. 4. 5P 4. 1P 4. 4- 1-4- 1-4- 1-4- 1-4- 1-4-1. 1P 2. 3 4. 5P 6. 7P 8. 9 10. IIP 12 .6. 5P 10 5P 20 5P 30 5P 40 5P 50 5P 60 5P 70 5P 80 5P 90 5P 100 5P 110 5P 120. -24. 26. 676. 4. -21. 29p. 841. 5P. -16. 34. -9. 0. 41p. 1681. 50. 2500 3721 5476. 11. 61p. 24. 74. 39. 1156. 89p. 7921. 10. 5P 2. 6P. 4. 1P 4. 1P 4. 1P. 1P. 2. 4. 5P. 1P 4. 56. 106. 11236. 75. 125. 1P. 146. 15625 21316. 5P. 96. 2. 4. 119. 169. 28561. 1P. 1. 10.

(77) 6. .. 1-9-4- 1-0-1 -4-9-4- 1-0. 1P. 1P. 6. 12. -35. 37p. 1369. 1P. 2. 6. 24. -32. 40. 1600. 4. -27. 45 52. 2525 2704 3721. 9. 9. -20. 4. 4. ,5184. 4P 0. 3. 6. 4. 6. 5P. 6. 36 48 60. 6. 6. 72. 0. 7P. 6. 84. 13. 85. 7225. 100. 10000. -11. 61p 72. 1P. 4. 1P 0. 1P. 1P. 4. 4. 8. 6. 96. 20. 9. 6. 108. 45. 117. 13689. 9. 9. 10. 6. 120. 64. 136. 18496. 4. 4. IIP. 6. 132. 85. 144. 108. 24649 32400. 1P. 6. 157p 180. 1P. 12. 0. 0. 4-1- 10-5-2-1-1-2-5-10-1-4. 1P 2. 3 4. 5P 6. 7P 8. 9 10. IIP 12. 7P 7P 7P 7P 7P 7P 7P 7P 7P 7P 7P 7P. 4. 14. -48. 50. 28. -45. 53p. 42. -40. 58. 2500 2809 3364. 56. -33. 65. 4225. 5P. 5P. 70. -24. 74. 5476. 2. 2. 84. -13. 85. 1P. 0. 98. 7225 9604. 1P. 98 112. 15. 113p. 126. 32. 130. 16900. 140. 51. 149p. 22201. 5P. 1P. 154. 72. 170. 2. 4. 168. 95. 193p. 28900 37249. 1P. 1P. 5P. 1P. 2. 1P. 5P 10. 6P. 12769. 10. 2. 2. 5P. 5P. 10. 10. 1-4- 1-4- 1-4- 1-4- 1-4- 1-4. 1P. 8. 16. -63. 65. 2. 8. 32. -60. 68. 3. 8. -55. 73p. 4. 8. 48 64. -48. 80. 4225 4624 5329 6400. 5P. 8. 80. -39. 89p. 7921. 6. 8. -28. 113p. 12769. 5P. 0. 128. 16384. 8. 21025 26896 34225 40000. 7P. 8. 96 112. 8. 8. 128. -15. 100. 9. 8. 144. 17. 145. 10. 8. 160. 36. 164. IIP. 8. 176. 57. 185. 12. 8. 192. 80. 208. ..7. 10000. 8. 4. 1P. 1P. 8. 5P. 6P. 4. 4. 1P 4. 1P 4. 1P. 1P. 8. 4. 5P. 1P. 8. 4.

(78) 7.. 4- 1-0-1 -4-9-4- 1-0- 1-4-9. 1P. 9. 18. -80. 82. 2. 9. 36. -77. 85. 3. 9. 54. -72. 90. 4. 9. 72. -65. 5P. 9. 90. -56. 6. 9. 108. -45. 7P. 9. 126. -32. 8. 9. 144. -17. 9. 9. 162. 0. 10. 9. 180. 19. IIP. 9. 198. 12. 9. 216. 40 63. 97p 106. 6724 7225 8100. 10. 1P. 6. 0. 9409 11236. 4. 1P 1P. 4P. 1P. 10. 4. 117. 9. 130. 10. 9 4 1P 0 1P 4. 13689 16900 145 21025 162 26244 181p 32761 202 40804 225 50625. 1P 6. 1P 10. 9. 9. 1-4- 1-4- 1-4- 1-4- 1-4- 1-4. 1P. 10. 20. -99. 101p. 10201. 5P. 2. 10. 40. -96. 104. 10816. 8. 3. 10. 60. -91. 109p. 4. 10. 80. -84. 116. 11881 13456 15625 18496. 5P. 10. 100. -75. 125. 6. 10. 120. -64. 136. 7P. 10. 140. -51. 8. 10. 160. -36. 9. 10. 180 200 10P 220 10 240. -19. 10. 0. 10 11. 12. 21. 44. 6P. 22201 26896 181p 32761 200 40000 221 48841 244 59536. 1P 4. 1P. 1P. 8. 4. 5P. 1P. 4. 4. 149p. 5P. 164. 8. 1P 4. 1P. 1P. 8. 4. 5P. 1P. 4. 4. 122. 2. 4. 125. 5P 5P. 1P 4 1P. 2. 4. 1P. 1P 4 1P 4. 4- 1-4- 1-4- 1-4- 1-4- 1-4-1. 1P 2. 3. 4. 5P 6. 7P 8. 9 10. IIP 12. ...8. IIP IIP IIP IIP IIP IIP IIP IIP IIP IIP IIP IIP. 22. -120. 44. -117. 66. -112. 88. -105. 110. -96. 132. -8. 154. -72. 14884 15625 130 16900 137p 18769 146 21316 157p 24649 170 28900. 176. -57. 185. 198. -40. 202. 220. -21. 221. 242. 0. 242. 264. 23. 265. 34225 40804 48841 58564 70225. 10. 6P. 2. 5P 10. 5P. 1P. 2. 4. 1P. 1P.

(79) 8 1 -4-9-4-. .. 1-0-1 -4-9-4- 1-0. 1P. 12. 24. -143. 145. 2. 12. 48. -140. 448. 3. 12. 72. -135. 153. 4. 12. 96. -128. 160. 5P. 12. 120. -119. 169. 6. 12. 144. -108. 180. 7P. 12. 166. -95. 193. 8. 12. 192. -80. 208. 9. 12. 216. -63. 10. 12. 240. -44. 225 244. IIP. 12. 264. -23. 265. 12. 12. 288. 0. 288. 21025 21904 23409 25600 28561 32400 38025 43264 50625 59536 70225 82944. 4P. 1P. 1P. 4. 4. 9. 9. 4. 4. 1P. 1P 0. 0. 1P. 1P. 4. 4. 9. 9. 4. 4. 1P. 1P 0. 0. Berechnungsbeispiel nach obiger Tabelle:. Wenn. eine Zahl von moduIo-42* wie z.B 144 mit einer Zahl aus. der Tabelle die Zahl. 1. modulo 7 z.B 127 addiert. ist. zu erkennen. 144 2 +127 2 = Kongruenz. 1. Probe: 144 2 +127 2=36865 Subtrahiert 36865 mit. Dann Also. 2.. ist. dividiert mit 12. die Quadratzahl. Probe bei geradem Exponent >. 1. also 36864.. 36864/12=3072. von 144 und 127 = 1+ 12*3072. als 2:. 144 A 4+127 A 4=690 126337 Subtrahiert mit. 1. ergibt. 690126337-1=390126336 dividiert durch 12, ergibt 57510526. 3.. Probe bei Exponent 6 A A ((144 6+127 6)-1). =1092664446000 12. Dies bestätigt, dass jeder Exponent bei geraden Zahlen konstant bei der selben Verteilung bleibt. ...9. in.

(80) 9.. Dasselbe Prinzip. gilt. für ungerade Exponenten.. X3 P= Primzahl Verteilung. Ausnahme. 2. und. 3.. 3 3 p +q. (p. 3. +q 5. )/(p+q). 1-3-7-1-9-7-7-9-1- 7-3-1. 1P 2. 3 4. 5P 6. 7P 8. 9 10. IIP 12. 1P 1P 1P 1P 1P 1P 1P 1P 1P 1P 1P 1P. 2. 2. 9. 9. 28. 4. 65 126 217. 1. 3*3. 5P 6. 4P. 3*42. 1P. kongruent 1P. 3. 3. 7. 7P. 13. 1P. 21. 9. 31. 43. 7P 7P. 57. 9. 10. 73. 1001. 5P. 91. 1P 7P. 1332. 0. 1729. 1P. 344 513 730. 8 9. 3*171. 3*444. 3. 111. 133. 1P. 3-4-7-0-7-4-3-4-7-0-7-4. 3*3. 1P. 2. 9. 9. 2. 2. 16. 4. 4. 4. 3. 2. 35. IIP. 7. 7P. 0. 12. 0. 4. 2. 72. 5P. 2. 133. 6. 2. 224 351 520 737 1008 1339 1736. 7P. 2. 8. 2. 9. 2. 10. 2. IIP. 2. 12. 2. ...10. 3*24. 1P. 4P. 3. 19. 8. 3. 7P. 3*117. 28 39 52. 3. 3*336. 0. 7P. 67 84 103. 0. 124. 4. 3 4. 5P 0. 4 4. 7P. 7P. 4P.

(81) 10. .. 7-7-(9- 1 -7-3- 1 - 1 -3-7- 1 -9 )-7-7. 1P. 3. 28. 4. 7. 2. 3. 35. IIP. 7. 7P 7P. 9. 9. 3*18. 3. 3. 54. 6. 4. 3. 91. 7P. 13. 1P. 5P. 3. 152. 8. 19. 7P. 6. 3. 27. 3. 3. 4P 10. 8. 3. 243 370 539. 3*81. 7P. 0. 3*252. 37 49 63. 3. 7P. 3. IIP. 9. 3. 756. 10. 3. 1027. 7P. 79. IIP. 3. 1358. 2. 97. 12. 3. 1755. 3. 3*585. 1P 1P. 1P 9. 117. 1 -0-( 1-4-9-4- 1-0-1 -4-9-4)- 1 -0. 1P. 1P. 4. 65. 5P. 2. 4. 72. 0. 3. 4. 91. 7P. 13. 1P. 4. 4. 128. 8. 16. 4. 5P. 4. 189. 6. 4. 280. 7P. 4. IIP. 8. 4. 3*63. 9. 4P. 13. 3*24. 4. 12. **. 0. 9. 26 37 48. 4. 1P. 9. 4. 407 576 793. 1P. 61. 1P. 10. 4. 1064. 8. 76. 4. IIP. 4. 1395. 3. 93. 9. 12. 4. 1792. 4. 112. 4. 3*192. 0. 3*465. 0. 9-7-(7-9-l-7-3-l--l-3-7-l)-9-7. 1P 2. 3 4. 5P 6. 7P 8 9 10. HP 12. 5P 5P 5P 5P 5P 5P 5P 5P 5P 5P 5P 5P. 3*42. 21. 9. 126. 6. 133. 1P. 19. 152. 4. 19. 7P 7P. 21. 9. 25. 1P 7P. 9. 189. 250 341 468 637 854 1125 1456 18S3. 3*63. 10. 4P. 5P. 31. 3*156. 1P. 39 49. 2. 61. 0. 9 4. 5P. 3*375. 3. 1P 1P. 75. 3. 91. 7P. m. 1P.