Das Rechnen mit reellen Zahlen 2

(1)

2 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen

3 Funktionen Grundbegriffe

Elementare Funktionen Eigenschaften von Funktionen Umkehrfunktionen

Grenzwerte und Stetigkeit

Beispiele ¨okonomischer Funktionen

4 Differentialrechnung

(2)

Funktionen, die den Zusammenhang zwischen einem Output x (z.B.

produzierte Menge in Mengeneinheiten) und den f¨ur die Produktion des Outputs x anfallenden Gesamtkosten K (in Geldeinheiten) zum Ausdruck bringen heißen Gesamtkostenfunktionen

Die Funktion K(x) enthält einen outputunabhängigen Anteil, die Fixkosten Kf und einen von x abhängigen Anteil, die variablen Kosten Kv(x)

K(x) =Kf +Kv(x) (154)

Sabine H¨olscher, M.Sc. Wirtschaftsmathematik 27. Februar 2021 167 / 233

(3)

Fixkostenfunktion:

K(x) = 6 (155)

(4)

Variable Kostenfunktion:

K(x) = 0,5x (156)

(5)

Gesamtkostenfunktion:

K(x) = 6 + 0,5x (157)

(6)

3 Funktionen

Begriff und Bedeutung der Ableitung Ableitung der elementaren Funktionen Ableitungsregeln

H¨ohere Ableitungen

Untersuchung des Verhaltens von Funktionen mittels ihrer Ableitungen

5 Finanzmathematik

(7)

Die Differentialrechnung beschäftigt sich mit Veränderungen von Vorgängen, die durch Funktionen beschrieben werden

Beispiele:

I Wie ver¨andern sich die Kosten K(x), wenn man bei einer bestimmten Ausbringungsmengex0 die Ausbringungsmenge ein wenig ver¨andert?

I Wie ver¨andert sich die Nachfrage x(p), wenn bei einem bestimmten Preisniveaup0der Preis ein wenig ver¨andert wird?

I Wie ver¨andert sich der Gewinn G(x), wenn man bei einer bestimmten Ausbringungsmengex₀ die Ausbringungsmenge ein wenig steigert oder senkt?

Die Differentialrechnung beschäftigt sich somit mit derStärke von Veränderungen an einer bestimmten Stelle einer Funktion

(8)

Gewinnfunktion: Wie stark ver¨andert sich der Gewinn, wenn man die Ausbringungsmenge von x₀ = 1000 um ∆x = 2000 aufx₀+ ∆x = 3000 Mengeneinheiten erh¨oht?

(9)

Der Gewinn erh¨oht sich dabei von G(x₀) auf G(x₀+ ∆x), d.h. der Gewinn erh¨oht sich um ∆G =G(x₀+ ∆x)−G(x₀)

(10)

Die auf die Mengen¨anderung ∆x bezogene Gewinn¨anderung lautet:

∆G

∆x = G(x0+ ∆x)−G(x0)

∆x (158)

Man kann dies auch als die durchschnittliche St¨arke der Ver¨anderung im Intervall [x0,x0+ ∆x] auffassen

(11)

(12)

Die durchschnittliche St¨arke der Ver¨anderung in dem Intervall entspricht gerade der Steigung der durch die Punkte P₀ und P₁ gezogenen Geraden, die sog. Sekante

(13)

Uns interessiert allerdings nicht die durchschnittliche Stärke der Veränderung, sondern die momentane Veränderung an der Stellex0

Wir wählen ∆x immer kleiner und kleiner, d.h. die durchschnittliche Stärke der Veränderung bezieht sich auf ein immer kleineres Intervall Dadurch nähern wir uns immer weiter derTangentean die Kurve f(x) an der Stellex₀

Rechnerisch wird die momentane St¨arke der Ver¨anderung an der Stelle x₀ somit wie folgt bestimmt:

lim∆x→0

∆G

∆x = G(x0+ ∆x)−G(x0)

∆x (159)

(14)

Geometrisch entspricht die momentane St¨arke der Ver¨anderung an der Stelle x0 der Steigung der Tangente an die Kurve G(x) an der Stelle x0

(15)

Wir k¨onnen uns die Ableitung einer Funktion als eine neue Funktion vorstellen

Denn die Ableitung liefert uns f¨ur jede reelle Zahlx₀ des Definitionsbereichs vonf(x) eindeutig eine Zahlf⁰(x0)

Das Kriterium f¨ur eine Funktion ist somit erf¨ullt: Jeder reellen Zahlx0

(eines gewissen Bereiches) ist eindeutig eine weitere reelle Zahlf⁰(x0) zugeordnet

Auch die Ableitung einer Funktion kann als neue Funktion wieder graphisch dargestellt werden

(16)

3 Funktionen

5 Finanzmathematik

(17)

F¨ur f(x) =c gilt f⁰(x) = 0

Die Ableitung einer Konstanten Funktion ist stets 0

Denn der Graph einer konstanten Funktion ist eine Parallele zur x-Achse und hat ¨uberall die Steigung 0

(18)

Konstante Funktionen ableiten - Grafische Erkl¨

Die Steigung der Konstanten Funktionf(x) = 2 ist an jeder Stelle des Funktionsgraphen stets Null, da die Funktion an jeder Stelle x den gleichen Wert 2 f¨ur y ergibt

(19)

Aus

f(x) =xⁿ (160)

folgt

f⁰(x) =n·xⁿ⁻¹ (161)

Ableitungsregel f¨ur Potenzen: Schreibe den Exponenten vor das x und reduziere dann den Exponenten um eins

(20)

Potenzfunktionen ableiten - Grafische Erkl¨

Die Funktion: f(x) =x¹ weist an jeder Stelle des Graphen die gleiche Steigung 1 auf, somit lautet die erste Ableitungf⁰(x) = 1

Anwendung der Ableitungsregel f¨ur Potenzen:f(x) =x¹

=⇒f⁰(x) = 1·x¹⁻¹= 1·x⁰= 1

Das Vorgehen kann auf Potenzen gr¨oßer 1 ¨ubertragen werden, ist dann aber nicht so leicht graphisch ablesbar wie beif(x) =x¹

(21)

Potenzfunktionen ableiten - Grafische Erkl¨

Die Steigung der Funktion f(x) =x² ver¨andert sich in Abh¨angigkeit des x

Uber die Ableitungsregeln k¨¨ onnen wir die Regel zur Bestimmung der Steigung an einer beliebigen Stelle berechnen: f(x) =x²

=⇒f⁰(x) = 2·x²⁻¹= 2x

F¨ur die Stelle x0 = 3 gilt somit beispielsweise eine Steigung von f⁰(3) = 2·3 = 6

(22)

f(x) =x³ (162)

f⁰(x) = 3x² (163)

v(s) =s^k+7 (164)

v⁰(s) = (k+ 7)·s^k+6 (165)

E(K) =K²ⁿ⁻³ (166)

E⁰(K) = (2n−3)·K²ⁿ⁻⁴ (167)

(23)

Aus

f(x) =√ⁿ

x (168)

folgt

f⁰(x) = 1 n·√ⁿ

xⁿ⁻¹ (169)

Denn gemäß der Regeln für Wurzeln und der Ableitungsregel für Potenzfunktionen gilt:

f(x) =√ⁿ

x=x¹ⁿ (170)

f(x) =xⁿ→f⁰(x) =n·xⁿ⁻¹ (171) Somit folgt:

f(x) =√ⁿ

x =x¹ⁿ →f⁰(x) = 1

·x¹ⁿ⁻¹ = 1

·x¹⁻ⁿⁿ (172)

(24)

f(x) =√

x (174)

f⁰(x) = 1 2√

x (175)

f(x) =√³

x (176)

f⁰(x) = 1 3√³

x² (177)

u(t) =√⁴

t (178)

u⁰(t) = 1 4⁴

√

t³ (179)

(25)

Aus

f(x) =e^x (180)

folgt

f⁰(x) =e^x (181)

=⇒ Die e-Funktion ist so aufgebaut, dass die Ableitung genau wieder die urspr¨ungliche Funktion ergibt

Aus

f(x) =a^x (182)

folgt

f⁰(x) =ln(a)·a^x (183)

(26)

Aus

f(x) =ln(x) (184)

folgt

f⁰(x) = 1

x (185)

=⇒ Ableitungsregel resultiert aus der Tatsache, dass f(x) =ln(x) die Umkehrfunktion der e-Funktion ist

Aus

f(x) =loga(x) (186)

folgt

f⁰(x) = 1

x·ln(a) (187)

(27)

3 Funktionen

(28)

Ausf(x) =c ·g(x) folgt f⁰(x) =c·g⁰(x)

Einen konstanten Faktor kann man vor die Ableitung ziehen Beispiele:

f(x) =−7x² →f⁰(x) =−7·2·x=−14x f(x) = ¹₇x⁷ →f⁰(x) = ¹₇ ·7·x⁶ =x⁶

(29)

Eine Summe kann gliedweise differenziert werden: jede Komponente einer Summe wird einzeln abgeleitet

Aus

f(x) =u(x) +v(x) (188)

folgt

f⁰(x) =u⁰(x) +v⁰(x) (189) Das gleiche gilt auch f¨ur mehr als zwei Summanden und f¨ur

Differenzen: aus f(x) =u(x)−v(x) folgtf⁰(x) =u⁰(x)−v⁰(x)

(30)

Beispiele

f(x) =−2x²+x+ 5→f⁰(x) =−4x+ 1

f(x) =−x³+ 3x²−2x+ 4→f⁰(x) =−3x²+ 6x−2

(31)

Aus

f(x) =u(x)·v(x) (190)

folgt

f⁰(x) =u⁰(x)·v(x) +u(x)·v⁰(x) (191) Die Regel kann auf mehr als zwei Faktoren ¨ubertragen werden, bspw.

mit drei Faktoren:

Ausf(x) =u(x)·v(x)·w(x) folgt

f⁰(x) =u⁰(x)·v(x)·w(x) +u(x)·v⁰(x)·w(x) +u(x)·v(x)·w⁰(x)

(32)

f(x) = 6x·√

x (192)

Funktion sinnvoll in die Komponenten u(x) und v(x) zerlegen:

u(x) = 6x (193)

v(x) =√

x (194)

Komponenten einzeln ableiten:

u⁰(x) = 6 (195)

v⁰(x) = 1 2· 1

√x = 1 2√

x (196)

Zwischenergebnisse Formel 191 einsetzen:

f⁰(x) = 6√

x+ 6x· 1 2√

x (197)

(33)

Quotientenregel - Ableitung von Br¨

Aus

f(x) = u(x)

v(x) (198)

folgt

f⁰(x) = u⁰(x)·v(x)−u(x)·v⁰(x)

(v(x))² (199)

(34)

f(x) = 2x²−5x+ 6

−x+ 2 (200)

Funktion sinnvoll in die Komponenten u(x) und v(x) zerlegen:

u(x) = 2x²−5x+ 6 (201)

v(x) =−x+ 2 (202)

u⁰(x) = 4x−5 (203)

v⁰(x) =−1 (204)

Zwischenergebnisse Formel 199 einsetzen und vereinfachen:

f⁰(x) = (4x−5)(−x+ 2)−(2x²−5x+ 6)(−1)

(−x+ 2)² = −2x²+ 8x−4

(−x+ 2)² (205)

(35)

Bisher wurden Funktionen betrachtet, die durch die vier

Grundrechenarten zusammengesetzt wurden (Summen, Differenzen, Produkte, Quotienten)

Dar¨uber hinaus k¨onnen Funktionen verkettet werden

Eine verkettete Funktion besteht aus einer Kombination verschiedener Grundfunktionen

F¨ur jedes x in der einen Funktion wird die gesamte andere Funktion eingesetzt

Eine verkettete Funktion hat die Form f(x) =u(v(x)) F¨ur verkettete Funktionen gibt es spezielle Ableitungsregeln

(36)

Zum Erkennen einer verketteten Funktion m¨ussen bestimmte Muster in den Funktionen erkannt werden

Wenn in einer Funktion eine der folgenden Muster auftaucht, kann sie in Form von zwei (oder mehr) miteinander verketteten Funktionen umgeschrieben werden:

I Klammern

I Exponenten

I e-Funktionen

I Wurzeln

I Logarithmen

(37)

Beispiel 1:

I Erste Grundfunktion:u(v) =v⁵

I Zweite Grundfunktion:v(x) =x²+ 1

I Verkettete Funktion:f(x) =u(v(x)) = (x²+ 1)⁵ Beispiel 2:

I Erste Grundfunktion:u(v) =√ v

I Zweite Grundfunktion:v(x) = 2x²−x+ 1

I Verkettete Funktion:f(x) =u(v(x)) =√

2x²−x+ 1

(38)

Aus

f(x) =u(v(x)) (206)

folgt

f⁰(x) =u⁰(v)·v⁰(x) (207) Man differenziert eine verkettete Funktion, indem man zun¨achst die

¨außere Funktion differenziert und deren Ableitung mit der Ableitung der inneren Funktion multipliziert

(39)

f(x) = (x²+ 1)⁵ (208) Funktion sinnvoll in die Komponenten u(x) und v(x) zerlegen:

u(v) =v⁵ (209)

v(x) =x²+ 1 (210)

u⁰(v) = 5v⁴ (211)

v⁰(x) = 2x (212)

Zwischenergebnisse Formel 207 einsetzen und vereinfachen:

f⁰(x) = 5v⁴·2x = 10xv⁴ (213)