Das Rechnen mit reellen Zahlen 2

1 Das Rechnen mit reellen Zahlen

2 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen

3 Funktionen Grundbegriffe

Elementare Funktionen Eigenschaften von Funktionen Umkehrfunktionen

Grenzwerte und Stetigkeit

Beispiele ¨okonomischer Funktionen

4 Differentialrechnung

Der Funktionsbegriff

Wenn jede reelle Zahl x aus einem Bereich D reeller Zahlen eindeutig eine reelle Zahl y zugeordnet ist, so isty eine Funktion vonx

Formal gilt:

y =f(x) (102)

I D ist der Definitionsbereich oder die Definitionsmenge der Funktion

I x ist das Argument oder die unabh¨angige Variable

I y ist der Funktionswert oder die abh¨angige Variable

Man kann einen x-Wert aus dem Definitionsbereich w¨ahlen und mittels der Zuordnungsvorschriftf werden die zugeh¨origeny-Werte bestimmt

Bestimmung des Definitionsbereichs

Der maximal m¨ogliche Definitionsbereich ist aus der Zuordnungsvorschrift ablesbar

Die Funktion ist nur f¨ur diejenigenx definiert, f¨ur die der Ausdruck mathematisch sinnvoll ist

Aus praktischen Gr¨unden kann der Definitionsbereich dar¨uber hinaus eingeschr¨ankt sein

Der aus praktischer Sicht ¨okonomisch sinnvolle Definitionsbereich kann kleiner sein als der mathematisch m¨ogliche

Grafische Darstellung von Funktionen

Zur grafischen Darstellung einer Funktion kann zun¨achst eine Wertetabelle erstellt werden

Beispiel:

Die Wertepaare k¨onnen anschließend im Koordinatensystem eingetragen werden

Koordinatensystem besteht aus zwei Achsen, die als Zahlengerade aufgefasst werden

I x-Achse: horizontale Achse, Abszissenachse

I y-Achse: vertikale Achse, Ordinatenachse

Grafische Darstellung von Funktionen

f(x) =x²−1

x -2 -1 -0,5 0 0,5 1 2

y 3 0 -0,75 -1 -0,75 0 3

Grafische Darstellung von Funktionen

-2; 3

-1; 0

-0,5; -0,75 0,5; -0,75

1; 0

2; 3

-0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5

-2,5 -2 -1,5 -1 -0,5 0 0,5 1 1,5 2 2,5

f(x)=x²-1

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2 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen

3 Funktionen Grundbegriffe

Elementare Funktionen Eigenschaften von Funktionen Umkehrfunktionen

Grenzwerte und Stetigkeit

Beispiele ¨okonomischer Funktionen

4 Differentialrechnung

Lineare Funktionen

Eine Funktion der Formf(x) =mx+b ist eine lineare Funktion m und b heißen die Koeffizienten

Der Definitionsbereich einer linearen Funktion besteht aus allen reellen Zahlen

Der Graph einer einer linearen Funktion ist eine Gerade b ist der Abschnitt auf der y-Achse (Ordinatenabschnitt) m ist die Steigung der diese Funktion darstellenden Geraden F¨ur die Steigung m der Geraden gilt:m= ^y_x^2−y1

2−x₁

Die Steigung einer Geraden ist konstant, unabh¨angig welchen Punkt der Geraden man w¨ahlt

Grafische Darstellung einer linearen Funktion

f(x) = 2x−3

Konstante Funktionen

Konstante Funktionen sind spezielle lineare Funktionen Giltm= 0 so liegt eine konstante Funktion vor: f(x) =b Der Funktionswert ist unabh¨angig von x immer gleich b

Der Graph einer konstanten Funktion ist eine Parallele zur x-Achse Beispiel f¨ur konstante Funktionen: Fixkosten

Grafische Darstellung einer konstanten Funktion

f(x) = 2

Ganze rationale Funktionen (Polynome)

Eine Funktion heißt ganze rationale Funktion oder Polynom, wenn sie folgende Form annimmt:

f(x) =anxⁿ+an−1xⁿ⁻¹+...+a²_x+a1x+a0 (103) f(x) =

n

X

k=0

a_kx^k (104)

Die reellen Zahlena₀,a₁,a₂, ...,a_n heißen Koeffizienten des Polynoms Ein Polynom ist mathematisch f¨ur alle Werte vonx definiert

Ganze rationale Funktionen (Polynome)

Der Exponent der h¨ochsten vorkommenden Potenz von x heißt der Grad des Polynoms

Ganze rationale Funktion vom Grad 0 ist eine konstante Funktion:

f(x) =a₀x⁰ =a₀

Ganze rationale Funktion vom Grad 1 ist eine lineare Funktion:

f(x) =a₁x+a₀ mita₁6= 0

Ganze rationale Funktion vom Grad 2 ist eine quadratische Funktion:

f(x) =a2x²+a1x+a0 mita2 6= 0

I Graphen quadratischer Funktionen sind Parabeln

I a>0: nach oben ge¨offnete Parabel

I a<0: nach unten ge¨offnete Parabel

Grafische Darstellung von Polynomen

Grafische Darstellung von Polynomen

f(x) =x³

Grafische Darstellung von Polynomen

f(x) =x⁴

Gebrochen-rationale Funktionen

Den Quotient zweier Polynome nennt man eine gebrochen-rationale Funktion

f(x) = anxⁿ+an−1xⁿ⁻¹+...+a_x²+a1x+a0

bmx^m+bm−1x^m−1+...+b²_x+b1x+b0

(105) f(x) =

Pn i=0a_ixⁱ Pm

k=0bkx^k (106)

ai und bk sind reelle Zahlen

Definitionsbereich gebrochen-rationaler Funktionen: alle reellen Zahlen mit Ausnahme derjeniger Zahlen, f¨ur die der Nenner Null wird

Grafische Darstellung von gebrochen-rationalen Funktionen

f(x) = _x2^x+1²

Grafische Darstellung von gebrochen-rationalen Funktionen

f(x) = _x+1¹

Wurzelfunktionen

Eine Funktion der Formf(x) =√ⁿ

x heißt Wurzelfunktion Wurzelfunktionen sind f¨urx ≥0 definiert

Alle Funktionen der Formf(x) =√ⁿ

x gehen durch den Punkt (1,1), da √ⁿ

1 = 1 f¨ur jedesn gilt

Grafische Darstellung von Wurzelfunktionen

Exponentialfunktionen

Eine Funktion der Formf(x) =a^x heißt eine Exponentialfunktion, wenna>0 und a6= 1 gilt

Exponentialfunktionen sind f¨ur alle x definiert

Verwechslungsgefahr zwischen Potenzfunktionen (x ist die Basis) und Exponentialfunktionen (x ist die Potenz)

Alle Potenzfunktionen a^x gehen durch den Punkt (0,1), denn a⁰ = 1 f¨ur jedes a

Die Werte einer Exponentialfunktion sind stets positiv und der Graph verl¨auft immer oberhalb der x-Achse

Grafische Darstellung von Exponentialfunktionen

Logarithmusfunktionen

Eine Funktion der Formf(x) =log_ax heißt Logarithmusfunktion, wenna>0 und a6= 1 gilt

Der Definitionsbereich einer Logarithmusfunktion sind die reellen Zahlen, die>0 sind

Alle Logarithmusfunktionen gehen durch den Punkt (1,0)

Grafische Darstellung von Logarithmusfunktionen

Systematischer Aufbau von Funktionen

Alle vorgestellten Funktionstypen werden durch die vier Operationen

I Addition

I Multiplikation

I Division

I Verkettung gebildet

Addition und Multiplikation von Funktionen

Zwei Funktionen u(x) und v(x) sind gegeben

Durch die Addition der zwei Funktionen entsteht eine neue Funktion f(x) =u(x) +v(x)

Allgemein gilt:

f(x) =f₁(x) +f₂(x) +...+f_k(x) =

k

X

i=1

f_i(x) (107)

Zwei Funktionen u(x) und v(x) sind gegeben

Durch die Multiplikation der zwei Funktionen entsteht eine neue Funktion f(x) =u(x)·v(x)

Division von Funktionen

Zwei Funktionen u(x) und v(x) sind gegeben

Durch die Division der zwei Funktionen entsteht eine neue Funktion f(x) = ^u(x)_v(x)

In der neuen Funktion sind die x-Werte des Definitionsbereichs, f¨ur diev(x) = 0 gilt, ausgeschlossen

Verkettung von Funktionen

Die durch Einsetzen einer Funktion v(x) in eine Funktion u(v) entstehende Funktionf(x) =u(v(x)) wird als verkettete Funktion bezeichnet

v ist die innere Funktion u ist die ¨außere Funktion

Die Reihenfolge ist bei der Verkettung wesentlich Beispiel:

v(x) = 2x³−x+ 1 und u(v) =√

v (108)

⇒f(x) =p

2x³−x+ 1 (109)

Nullstellen

Ein Argument x₀ heißt Nullstelle einer Funktionf(x), wenn f(x₀) = 0 gilt

An der Nullstelle ist also der y-Wert der Funktion Null

Die Nullstelle ist auch der Schnittpunkt des Graphen der Funktion mit der x-Achse

Um eine Nullsteller der Funktionf(x) zu bestimmen, muss die Gleichungf(x) = 0 nach x aufgel¨ost werden

Grafische Darstellung von Nullstellen

Die folgende Funktion weist Nullstellen bei x₁=−2 und x₂ = 1 auf:

Nullstellen von linearen Funktionen

Istf(x) =mx+b und m6= 0, so gilt f¨ur die Bestimmung der Nullstelle:

mx+b = 0 (110)

x₀ =−b

m (111)

Der Graph jeder linearen Funktion (nicht konstanten Funktion) hat eine einzige Nullstele, die man durch L¨osen einer linearen Gleichung findet

Nullstellen von linearen Funktionen

Nullstellen von quadratischen Funktionen

Istf(x) =a2x²+a1x+a0 und a26= 0 so findet man die Nullstelle der Funktion durch L¨osen der quadratischen Gleichung

a₂x²+a₁x+a₀ = 0

Nach Division durch a₂ erhalten wir die Normalform und k¨onnen die pq-Formel anwenden

Eine quadratische Funktion kann zwei, eine oder gar keine reellen Nullstellen haben

Nullstellen von quadratischen Funktionen

Nullstellen von Polynomen

F¨ur Polynome h¨oheren Grades als zwei gelingt die elementare Nullstellenbestimmung nur in Ausnahmef¨allen

In der Regel wird auf numerische N¨aherungsverfahren zur¨uckgegriffen Fall die Funktion als ein Produkt von Linearfaktoren gegeben ist, k¨onnen die Nullstellen direkt abgelesen werden (Die Funktion ist Null, wenn einer der Linearfaktoren Null ist)

Nullstellen von gebrochen-rationalen Funktionen

Eine gebrochen-rationale Funktion f(x) hat die Gestalt f(x) = ^g(x)_h(x), dabei sind g(x) und h(x) Polynome

Die Nullstellen der Funktion ergeben sich aus den Nullstellen der Z¨ahlerpolynoms, alsog(x) = 0, f¨ur die das Nennerpolynom nicht gleichzeitig Null ist

Nullstellen von gebrochen-rationalen Funktionen

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2 Potenzen, Wurzeln, Logarithmen

3 Funktionen Grundbegriffe

Elementare Funktionen Eigenschaften von Funktionen Umkehrfunktionen

Grenzwerte und Stetigkeit

Beispiele ¨okonomischer Funktionen

4 Differentialrechnung

Beschr¨ anktheit

Eine Funktionf(x) heißt nach unten beschr¨ankt, wenn es eine Zahl m (untere Schranke) gibt, so dass f(x)≥m ist f¨ur alle x des

Definitionsbereichs vonf(x)

Eine Funktion f(x) heißt nach oben beschr¨ankt, wenn es eine ZahlM (obere Schranke) gibt, so dassf(x)≤m ist f¨ur alle x des

Definitionsbereichs vonf(x)

Eine Funktion, die nach oben und unten hin beschr¨ankt ist, heißt beschr¨ankt

Beschr¨ anktheit

Der Graph einer nach unten beschr¨ankten Funktion mit der unteren Schrankem liegt vollst¨andig oberhalb der Geraden y =m

Der Graph einer nach oben beschr¨ankten Funktion mit der oberen SchrankeM liegt vollst¨andig unterhalb der Geradeny =M

Der Graph einer beschr¨ankten Funktion liegt vollst¨andig zwischen der unteren Schranke m und der oberen SchrankeM

Nach oben beschr¨ ankte Funktion

Nach unten beschr¨ ankte Funktion

Intervalle

Alle x mit a<x<b bilden das offene Intervall zwischen a und b, bezeichnet mit (a,b),x ∈(a,b) (gelesen x aus (a,b)) bedeutet, dass x im offenen Intervall zwischen a und b liegt, die Grenzen geh¨oren nicht zum offenen Intervall

Die Menge der x mit a≤x ≤b ist einabgeschlossenes Intervall zwischen a und b, formal [a,b], bzw.x ∈[a,b], beim abgeschlossenen Intervall geh¨oren die Grenzen zum Intervall

f¨ur halboffene Intervalle gilt:

I (a,b] bedeutet die Menge aller x mita<x≤b

I [a,b) bedeutet die Menge aller x mit a≤x<b

F¨ur a kann auch −∞gelten, Intervall geht beliebig weit nach links F¨ur b kann auch ∞ gelten, Intervall geht beliebig weit nach rechts

Monotonie

Eine Funktion f(x) heißt in einem Intervall I ihres Definitionsbereichs monoton wachsend, wenn f¨ur beliebigex₁,x₂ ∈I aus x₁ <x₂ folgt, dassf(x1)≤f(x2)

Eine Funktion f(x) heißt in einem Intervall I ihres Definitionsbereichs streng monoton wachsend, wenn f¨ur beliebigex1,x2 ∈I aus x1<x2 folgt, dassf(x1)<f(x2)

Monotonie

Eine Funktion f(x) heißt in einem Intervall I ihres Definitionsbereichs monoton fallend, wenn f¨ur beliebigex₁,x₂ ∈I ausx₁ <x₂ folgt, dassf(x1)≥f(x2)

Eine Funktion f(x) heißt in einem Intervall I ihres Definitionsbereichs streng monoton fallend, wenn f¨ur beliebigex1,x2 ∈I ausx1 <x2

folgt, dass f(x1)>f(x2)

Monotonie

f(x) =−2x²+ 3x+ 8 ist in (−∞,3/4) streng monoton wachsend, in (3/4,∞) streng monoton fallend

Monotonie

f(x) =−2x²+ 3x+ 8 ist in (−∞,3/4) streng monoton wachsend, in (3/4,∞) streng monoton fallend

Kr¨ ummungsverhalten

f(x) heißt in einem Intervall I von unten konvex, wenn f¨ur zwei beliebige Argumentwertex1,x2∈I die Verbindungsstrecke zwischen den Punkten (x₁,f(x₁)),(x₂,f(x₂)) innerhalb des Intervalls (x₁,x₂) stets oberhalb des Graphen von f(x) liegt

f(x) heißt in einem Intervall I von unten konkav, wenn f¨ur zwei beliebige Argumentwertex1,x2∈I die Verbindungsstrecke zwischen den Punkten (x₁,f(x₁)),(x₂,f(x₂)) innerhalb des Intervalls (x₁,x₂) stets unterhalb des Graphen von f(x) liegt

Kr¨ ummungsverhalten

f(x) =x²+ 2 ist konvex

Kr¨ ummungsverhalten

f(x) =−x²+ 2 ist konkav

Kr¨ ummungsverhalten

Die Punkte, in denen die Funktion von konkav zu konvex ¨ubergeht (oder umgekehrt) heißenWendepunkte der Funktion

Im Kapitel zur Differenzialrechnung wird das Kr¨ummungsverhalten von Funktionen weiter untersucht

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3 Funktionen Grundbegriffe

Elementare Funktionen Eigenschaften von Funktionen Umkehrfunktionen

Grenzwerte und Stetigkeit

Beispiele ¨okonomischer Funktionen

4 Differentialrechnung

Umkehrfunktionen

Gegeben sei eine Funktion f(x)

Die Funktion ist umkehrbar, falls aus x16=x2 stets folgt, dass f(x₁)6=f(x₂), d.h. zu jedem y aus dem Wertebereich der Funktion f(x) geh¨ort eindeutig ein Argument x mit f(x)=y

Bei einer Funktion mit dieser Eigenschaft kann man zu jedem gegebenen y eindeutig das dazugeh¨orige x finden

Die Zuordnung y →x definiert also auch eine Funktion und wird Umkehrfunktion zur Funktion y=f(x) genannt

Formal beschreibt man die Umkehrfunktion als f⁻¹(x)

Umkehrfunktionen

Die Umkehrbarkeit kann grafisch oder rechnerisch gel¨ost werden Graphische L¨osung: Jede zur x-Achse parallele Gerade schneidet den Graphen der Funktion nie in mehreren Punkten

Rechnerische L¨osung: Die Gleichung y=f(x) kann eindeutig nach x aufgel¨ost werden

Umkehrbare Funktion

Nicht umkehrbare Funktion

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3 Funktionen Grundbegriffe

Elementare Funktionen Eigenschaften von Funktionen Umkehrfunktionen

Grenzwerte und Stetigkeit

Beispiele ¨okonomischer Funktionen

4 Differentialrechnung

Grenzwerte

Mit Grenzwerten kann das Verhalten der Funktionswerte einer Funktion f(x) untersucht werden, wenn das Argument x sich einem Wertx₀ n¨ahert oder ¨uber alle Grenzen w¨achst oder f¨allt

F¨ur die Differenzial- und Integralrechnung sind Grenzwerte von besonderer Relevanz

Grenzwerte an einer Stelle x

Kommen die Funktionswerte einer Funktion f(x) bei beliebiger

Ann¨aherung von x an eine Stellex0 einer Zahl a immer n¨aher, so ist a der Grenzwert der Funktion f(x) an der Stellex₀, formal

ausgedr¨uckt:

limx→x₀f(x) =a (112)

Hat eine Funktion die Eigenschaft, dass ihre Funktionswerte unbegrenzt wachsen, wenn x gegen x0 geht, so nennt man die Funktion an der Stellex0 bestimmt divergent und ordnet ihr dort den uneigentlichen Grenzwert +∞ zu, formal:

limx→x0f(x) = +∞ (113)

Ebenso kann f(x) unbegrenzt fallen, wenn sich x der Stellex immer

Grenzwerte an einer Stelle x

Die folgende Funktion f(x) = ^x3−x_x−1^2+x−1 ist an der Stelle x0 = 0 nicht definiert, der Grenzwert an dieser Stelle lautet 2

Grenzwerte an einer Stelle x

Die folgende Funktion f(x) = _x¹2 ist an der Stelle 0 nicht definiert, der Grenzwert lautet +∞

Einseitige Grenzwerte

f(x) hat an der Stelle x₀ den linksseitigen Grenzwert a, wenn bei Ann¨aherung anx₀ von links her die Funktionswerte f(x) der Zahl a immer n¨aher kommen, formal:

limx→x₀−0f(x) =a (115) f(x) hat an der Stelle x₀ den rechtsseitigen Grenzwert b, wenn bei Ann¨aherung anx0 von rechts her die Funktionswerte f(x) der Zahl b immer n¨aher kommen, formal:

limx→x0+0f(x) =b (116)

Einseitige Grenzwerte

Stimmen links- und rechtsseitiger Grenzwert ¨uberein, so hat die Funktion an x0 lediglich einen Grenzwert

Es gibt auch links- und rechtsseitige uneigentliche Grenzwerte:

limx→x0−0f(x) = +∞ (117) limx→x0−0f(x) =−∞ (118) limx→x0+0f(x) = +∞ (119) limx→x₀+0f(x) =−∞ (120)

Grenzwerte an einer Stelle x

Die folgende Funktion f(x) = ¹_x f¨allt bei Ann¨aherung an die Null von links ins unendliche und steigt bei Ann¨aherung an die Null von rechts ins unendliche:

limx→x0−0

1

x =−∞ (121)

limx→x0+0

1

x = +∞ (122)

Verhalten einer Funktion im Unendlichen

Es gilt limx→+∞f(x) =a, falls bei unbegrenzt wachsendem x die Werte von f(x) sich immer mehr dem Wert a ann¨ahern

Es gilt limx→−∞f(x) =a, falls bei unbegrenzt fallendem x die Werte von f(x) sich immer mehr dem Wert a ann¨ahern

Giltlimx→+∞f(x) =a, so ist die Gerade y=adie Asymptote der Funktion f(x), da sich der Graph von f(x) dieser Geraden immer mehr n¨ahert, je gr¨oßer x wird

Verhalten einer Funktion im Unendlichen

Eine Funktion f(x) kann auch ¨uber alle Grenzen wachsen (fallen), wenn x gegen unendlich (oder minus unendlich) geht

Es sind folgende Kombinationen m¨oglich:

limx→+∞f(x) = +∞ (123)

limx→+∞f(x) =−∞ (124)

limx→−∞f(x) = +∞ (125)

limx→−∞f(x) =−∞ (126)

Wichtige Grenzwerte

limx→+∞ 1

xⁿ =limx→−∞ 1

xⁿ = 0 f¨urn>0 limx→+∞e^−x = 0 f¨ur a>1

limx→+∞a^−x = 0 f¨ura>1 limx→+∞xⁿ

e^x = 0 f¨ur jedesn, da e^x st¨arker als jede Potenz w¨achst limx→+∞a^x = 0 f¨ur a<1

Grenzwerts¨ atze

Der Grenzwert einer Summe (Differenz) ist gleich der Summe (Differenz) der Grenzwerte:

limx→x₀(f(x)±g(x)) =limx→x₀f(x)±limx→x₀g(x) =a±b (127) Der Grenzwert eines Produktes (Quotienten) ist gleich des Produktes (der Quotienten) der Grenzwerte:

limx→x₀(f(x)·g(x)) =limx→x₀f(x)·limx→x₀g(x) =a·b (128) limx→x0

f(x)

g(x) = limx→x0f(x) limx→x0g(x) = a

b ,wenn b 6= 0 (129)

Stetigkeit von Funktionen

f(x) heißt an der Stelle x0 stetig, falls limx→x₀f(x) =f(x0) gilt f(x) heißt im Intervall (a,b) stetig, falls f(x) an jeder Stelle des Intervalls stetig ist

Sindf1(x) undf2(x) stetig, so sind auchf1(x)±f2(x),f1(x)·f2(x) und f1(x) :f2(x) stetig, letzteres mit der Ausnahme der Stellef2(x) = 0 Allgemein gilt: Alle Polynome sind ¨uberall stetig. Gebrochen-rationale Funktionen sind ¨uberall stetig mit Ausnahme der Nullstellen des Nenners

Anschauliche Beispiele f¨ur Unstetigkeitsstellen: Spr¨unge und Unendlichkeitsstellen

Sprungstellen von zusammengesetzten Funktionen