max{hc, yi: y ∈ Q0}

Aufgabe

SeiPein Polytop. Zeigen Sie, dass sich unter den minimalen Erweiterungspolyed- ern vonP auch immer ein volldimensionales Polytop ndet.

Lösung

Wir wählen (Q, π) als eine minimale Erweiterung von P, die kleinstmögliche Dimension hat. Wir haben in der Übung bereits gesehen, dass wir annehmen können, dass Q ⊆ R^q volldimensional ist. Sei Q⁰ ⊆ R^q ein Polytop, so dass Q=Q⁰+ char(Q). Wir behaupten, dasschar(Q) ={O}gilt.

Angenommen nicht, sei c ∈char(Q)\ {O}. Sei β := max{hc, yi: y ∈ Q⁰}. Setzen wir weiterhinH :={y∈R^q :hc, yi=β}sowieQ˜:=Q∩H, so behaupten wir, dassπ( ˜Q) =P gilt. Sicher gilt π( ˜Q)⊆P. Andererseits seix∈P. Dann existiert einy ∈Q mit π(y) =x. Wir schreiben y =y⁰+c⁰ mit y⁰ ∈Q⁰ und c⁰∈char(Q). Nach der Wahl vonβ existiert einλ≥0, so dassy˜:=y⁰+λc∈H gilt. Damit erhalten wiry˜∈Q˜ sowie

π(˜y) =π(y⁰) +λ π(c)

|{z}

=0

=π(y⁰) =π(y⁰) +π(c⁰)

| {z }

=0

=π(y⁰+c⁰) =π(y) =x,

weil wir in der Übung gesehen haben, dass char(Q) ⊆Kern(π) gilt. Also gilt auch π( ˜Q)⊇P und somit π( ˜Q) =P. Nun ist jedoch ( ˜Q, π)eine Erweiterung vonP mitdim( ˜Q)<dim(Q), ein Widerspruch zur Wahl vonQ.

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