Kochrezept f¨ur NP-Vollst¨andigkeitsbeweise

Kochrezept f¨ ur NP-Vollst¨ andigkeitsbeweise

Prof. Dr. Berthold V¨ocking Lehrstuhl Informatik 1 Algorithmen und Komplexit¨at

RWTH Aachen

14. Januar 2011

Kochrezept f¨ ur NP-Vollst¨ andigkeitsbeweise

Um Nachzuweisen, dass SAT NP-hart ist, haben wir in einer

”Master-Reduktion“ alle Probleme aus NP auf SAT reduziert.

Die NP-Vollst¨andigkeit von SAT k¨onnen wir jetzt verwenden, um nachzuweisen, dass weitere Probleme NP-hart sind.

Lemma

L^∗ NP-hart, L^∗≤_pL ⇒ LNP-hart.

Beweis:Gem¨aß Voraussetzung gilt∀L⁰∈NP :L⁰ ≤_pL^∗ und L^∗ ≤_pL. Aufgrund der Transitivit¨at der polynomiellen Reduktion

folgt somit∀L⁰ ∈NP :L⁰≤_pL.

NP-Vollst¨ andigkeit von 3SAT

Eine Formel ink-KNF besteht nur aus Klauseln mit jeweilsk Literalen, sogenanntenk-Klauseln.

Problem (3SAT)

Eingabe: Aussagenlogische Formelφin 3-KNF Frage: Gibt es eine erf¨ullende Belegung f¨ur φ?

3SAT ist ein Spezialfall von SAT und deshalb wie SAT in NP.

Um zu zeigen, dass 3SAT ebenfalls NP-vollst¨andig ist, m¨ussen wir also nur noch die NP-H¨arte von 3SAT nachweisen.

Dazu zeigen wir SAT ≤_p 3SAT.

SAT ≤

3SAT

Lemma

SAT≤_p 3SAT.

Beweis:

Gegeben sei eine Formel φin KNF.

Wir transformieren φin eineerf¨ullbarkeits¨aquivalente Formel φ⁰ in 3KNF, d.h.

φ ist erf¨ullbar ⇔ φ⁰ ist erf¨ullbar.

Aus einer 1- bzw 2-Klausel k¨onnen wir leicht eine ¨aquivalente 3-Klausel machen, indem wir ein Literal wiederholen.

Was machen wir aber mit k-Klauseln f¨urk >3?

SAT ≤

3SAT

Sei k ≥4 und C eine k-Klausel der Form C = `1∨`2∨`3· · · ∨`_k .

In einer Klauseltransformationersetzen wir C durch die Teilformel

C⁰ = (`1∨ · · · ∨`k−2∨h)∧(¯h∨`k−1∨`k) , wobei h eine zus¨atzlich eingef¨uhrte Hilfsvariable bezeichnet.

Nachweis der Erf¨ ullbarkeits¨ aquivalenz

Nachweis der Erf¨ullbarkeits¨aquivalenz:

φ⁰ sei aus φentstanden durch Ersetzen vonC durch C⁰. zz:φerf¨ullbar⇒ φ⁰ erf¨ullbar

Sei B eine erf¨ullende Belegung f¨ur φ.

B weist mindestens einem Literal ausC hat den Wert 1 zu.

Wir unterscheiden zwei F¨alle:

1) Falls`<sub>1</sub>∨ · · · ∨`_k−2erf¨ullt ist, so istφ⁰ erf¨ullt, wenn wirh= 0 setzen.

2) Falls`k−1∨`k erf¨ullt ist, so istφ⁰ erf¨ullt, wenn wirh= 1 setzen.

Also ist φ⁰ in beiden F¨allen erf¨ullbar.

Nachweis der Erf¨ ullbarkeits¨ aquivalenz

zz:φ⁰ erf¨ullbar⇒ φerf¨ullbar

Sei B nun eine erf¨ullende Belegung f¨ur φ⁰. Wir unterscheiden wiederum zwei F¨alle:

FallsB der Variablehden Wert 0 zuweist, so mussB einem der Literale`1, . . . , `k−2den Wert 1 zugewiesen haben.

FallsB der Variablehden Wert 0 zuweist, so mussB einem der beiden Literale`<sub>3</sub> oder`₄den Wert 1 zugewiesen haben.

In beiden F¨allen erf¨ullt B somit auchφ.

SAT ≤

3SAT

Durch Anwendung der Klauseltransformation entstehen aus einer k-Klausel eine (k−1)-Klausel und eine 3-Klausel.

Nach k−3 Iterationen sind aus einerk Klausel somitk−2 viele 3-Klauseln entstanden.

Diese Transformation wird solange auf die eingegebene Formel φangewandt, bis die Formel nur noch 3-Klauseln enth¨alt.

Wenn n die Anzahl der Literale in φist, so werden insgesamt h¨ochstensn−3 Klauseltransformationen ben¨otigt.

Die Laufzeit ist somit polynomiell beschr¨ankt.

Korollar

3SAT istNP-vollst¨andig.

SAT ≤

3SAT

Beispiel f¨ur die Klauseltransformation:

Aus der 5 Klausel

x1∨¯x2∨x3∨x4∨x¯5

wird in einem ersten Transformationsschritt die Teilformel (x1∨¯x2∨x3∨h1) ∧ (¯h1∨x4∨¯x5) , also eine 4- und eine 3-Klausel. Auf die 4-Klausel wird die Transformation erneut angewandt. Wir erhalten die Teilformel

(x1∨¯x2∨h2) ∧ (¯h2∨x3∨h1) ∧ ( ¯h1∨x4∨x¯5) , die nur noch 3-Klauseln enth¨alt.

NP-Vollst¨ andigkeit von CLIQUE

Wie erinnern uns an das Cliquenproblem.

Problem (CLIQUE)

Eingabe:Graph G = (V,E), k ∈ {1, . . . ,|V|}

Frage:Gibt es eine k-Clique?

Satz

CLIQUE istNP-vollst¨andig.

Beweis der NP-Vollst¨ andigkeit von CLIQUE

Da wir schon wissen, dass das Cliquenproblem in NP ist, m¨ussen wir zum Nachweis der NP-Vollst¨andigkeit nur noch die NP-H¨arte nachweisen.

Dazu zeigen wir 3SAT≤_p CLIQUE.

Wir beschreiben eine polynomiell berechenbare Funktionf, die eine 3-KNF-Formelφin einen GraphenG = (V,E) und eine Zahl k∈Ntransformiert, so dass gilt:

φist erf¨ullbar ⇔ G hat einek-Clique .

Beweis der NP-Vollst¨ andigkeit von CLIQUE

Beschreibung der Funktionf:

Seien C1, . . . ,Cm die Klauseln vonφ.

Seien `<sub>i,1</sub>, . . . , `_i,3 die Literale in KlauselC_i. Identifiziere Literale und Knoten, d.h. setze

V = {`_i,j |1≤i ≤m,1≤j ≤3} . Jedes Knotenpaar wird durch eine Kante verbunden, mit folgenden Ausnahmen:

1) die assoziierten Literale geh¨oren zur selben Klausel oder 2) eines der beiden Literale ist die Negierung des anderen Literals.

Setzek =m.

Beweis der NP-Vollst¨ andigkeit von CLIQUE

Beispiel:φ = (x1∨¯x2∨¯x3)∧(x2∨x¯3∨x4)∧(x3∨x2∨x¯1)

Beweis der NP-Vollst¨ andigkeit von CLIQUE

Korrektheit der Transformation:

zz:φerf¨ullbar⇒ G hat m-Clique

Jede erf¨ullende Belegung erf¨ullt in jeder Klausel mindestens ein Lite- ral. Pro Klausel w¨ahle eines dieser erf¨ullten Literale beliebig aus. Sei U die Menge dieser Literale. Wir behaupten,U ist eine m-Clique.

Begr¨undung:

Per Definition ist|U|=m.

Seien `und `⁰ zwei unterschiedliche Literale ausU. Ausnahme 1 trifft auf `und `⁰ nicht zu, da sie aus verschiedenen Klauseln sind.

Ausnahme 2 trifft auf `und `⁰ nicht zu, da sie gleichzeitig erf¨ullt sind.

Also gibt es eine Kante zwischen `und `⁰.

Beweis der NP-Vollst¨ andigkeit von CLIQUE

zz:G hat m-Clique⇒ φerf¨ullbar Sei U einem-Clique inG.

Aufgrund von Ausnahmeregel 1 geh¨oren die Literale in U zu verschiedenen Klauseln.

U enth¨alt somit genau ein Literal pro Klausel in φ.

Diese Literale k¨onnen alle gleichzeitig erf¨ullt werden, da sie sich wegen Ausnahmeregel 2 nicht widesprechen.

Also ist φerf¨ullbar.

Die Laufzeit vonf ist offensichtlich polynomiell beschr¨ankt.