Kryptographie Blatt 5, 14.11.2008, Abgabe 21.11.2008

(1)

Prof. C. P. Schnorr Wintersemester 2008/09

Kryptographie

Blatt 5, 14.11.2008, Abgabe 21.11.2008

Aufgabe 1 Seien G ₁ , G ₂ zyklische Gruppen der Ordnung q ₁ , q ₂ , s :=

ggT(q ₁ , q ₂ ) . Zeige G ^s ₁ × G ^s ₂ ⊂ G ₁ × G ₂ ist zyklische Gruppe der Ordnung q ₁ q ₂ /s ² .

Aufgabe 2 x ³ +ax+b ∈ K [x] habe eine doppelte Nullstelle in K, char ( K ) >

3 . Zeige:

1. 4a ³ + 27b ² = 0 , und die doppelte Nullstelle ist p

− ^a ₃ . 2. Die übliche Punkte-Addition ist für P _a = ( p

− ^a ₃ , 0) nicht erklärt.

3. E a,b ( K ) − {P a } ist abgeschlossen gegen die übliche Punkte-Addition.

Aufgabe 3 Seien X ₁ , . . . , X _i , . . . ∈ _D {0, 1} unabh. Zufallsvariable mit Pr _D [X _i = 1] = ε . Zeige für u := min{i | X _i = 1} und kε ⁻¹ ∈ N:

1. 0 < Ws[u ≤ kε ⁻¹ ] = 1 − (1 − ε) ^kε

⁻¹

= 1 − e ^−k + O(ke ^−k ε) . 2. 0 < e ⁻

¹^k

− Ws[u > ε ⁻¹ /k] = O(e ⁻

¹^k

ε) .

Benutze dass 0 < e ^±1 − (1 ± _n ¹ ) ⁿ = O( ¹ _n ) .

Kryptographie Blatt 5, 14.11.2008, Abgabe 21.11.2008

Prof. C. P. Schnorr Wintersemester 2008/09

Kryptographie

Blatt 5, 14.11.2008, Abgabe 21.11.2008

Aufgabe 1 Seien G 1 , G 2 zyklische Gruppen der Ordnung q 1 , q 2 , s :=

ggT(q 1 , q 2 ) . Zeige G s 1 × G s 2 ⊂ G 1 × G 2 ist zyklische Gruppe der Ordnung q 1 q 2 /s 2 .

Aufgabe 2 x 3 +ax+b ∈ K [x] habe eine doppelte Nullstelle in K, char ( K ) >

3 . Zeige:

1. 4a 3 + 27b 2 = 0 , und die doppelte Nullstelle ist p

− a 3 . 2. Die übliche Punkte-Addition ist für P a = ( p

− a 3 , 0) nicht erklärt.

3. E a,b ( K ) − {P a } ist abgeschlossen gegen die übliche Punkte-Addition.

Aufgabe 3 Seien X 1 , . . . , X i , . . . ∈ D {0, 1} unabh. Zufallsvariable mit Pr D [X i = 1] = ε . Zeige für u := min{i | X i = 1} und kε −1 ∈ N:

1. 0 < Ws[u ≤ kε −1 ] = 1 − (1 − ε) kε

= 1 − e −k + O(ke −k ε) . 2. 0 < e −

− Ws[u > ε −1 /k] = O(e −

ε) .

Benutze dass 0 < e ±1 − (1 ± n 1 ) n = O( 1 n ) .

Aufgabe 1 Seien G ₁ , G ₂ zyklische Gruppen der Ordnung q ₁ , q ₂ , s :=

ggT(q ₁ , q ₂ ) . Zeige G ^s ₁ × G ^s ₂ ⊂ G ₁ × G ₂ ist zyklische Gruppe der Ordnung q ₁ q ₂ /s ² .

Aufgabe 2 x ³ +ax+b ∈ K [x] habe eine doppelte Nullstelle in K, char ( K ) >

1. 4a ³ + 27b ² = 0 , und die doppelte Nullstelle ist p

− ^a ₃ . 2. Die übliche Punkte-Addition ist für P _a = ( p

− ^a ₃ , 0) nicht erklärt.

Aufgabe 3 Seien X ₁ , . . . , X _i , . . . ∈ _D {0, 1} unabh. Zufallsvariable mit Pr _D [X _i = 1] = ε . Zeige für u := min{i | X _i = 1} und kε ⁻¹ ∈ N:

1. 0 < Ws[u ≤ kε ⁻¹ ] = 1 − (1 − ε) ^kε

= 1 − e ^−k + O(ke ^−k ε) . 2. 0 < e ⁻

− Ws[u > ε ⁻¹ /k] = O(e ⁻

Benutze dass 0 < e ^±1 − (1 ± _n ¹ ) ⁿ = O( ¹ _n ) .