Prof. Dr. W. Koepf 18. November 2005 Dipl.-Math. T. Sprenger
Ubungen zur Vorlesung¨
COMPUTERALGEBRA UND ORTHOGONALE POLYNOME Ubungsblatt 3¨
Aufgabe 1: Schreiben Sie eine Prozedur, die eine dem Fasenmyer-Algorithmus sehr ¨ahnliche Vorgehensweise verwendet, aber anstelle einer Rekursionsgleichung eine Differentialgleichung bestimmt. Modifizieren Sie dazu Ihre Prozedur aus Aufgabe 3 ( ¨Ubungsblatt 2).
Aufgabe 2: Beweisen Sie mittels Fasenmyer-Algorithmus und der modifizierten Version aus Aufgabe 1 (unabh¨angig voneinander), dass die drei Darstellungen der Legendre-Polynome
(a)
∞
P
k=−∞
n k
−n−1 k
1−x
2
k
(b) 21n
n
P
k=0 n k
2
(x−1)n−k(x+ 1)k
(c) 21n
bn/2c
P
k=0
(−1)k nk 2n−2k n
xn−2k
dieselbe Funktion definieren.
Aufgabe 3: Sei w(x) = √1−x1 2. Bestimmen Sie die orthogonalen Polynome bez¨uglich dem Skalarprodukt
hf, gi=
1
Z
−1
w(x)f(x)g(x)dx
mit Hilfe des Gram-Schmidtschen Orthogonalisierungsverfahren. Schreiben Sie dazu eine Pro- zedur (ohne Verwendung einschl¨agiger Funktionen), die bei Eingabe von n ∈ N die ersten n orthogonalen Polynome ausgibt. Vergleichen Sie ihre Prozedur mit der eingebauten Funktion ChebyshevT.
Abgabetermin bis: Freitag, 25. November 2005, 13.15 Uhr an: sprenger@mathematik.uni-kassel.de
