Prof.Dr. W.Koepf
Dipl.-Math. T.Sprenger Ubungen zur Vorlesung¨
Ubungsblatt 08¨ Grundlagen der Algebra & Computeralgebra 10.12.2008
Aufgabe 1: (Chinesischer Restsatz ¨uber Q[x]) Seien die simultanen Kongruenzen
f(x)≡a1(x) mod p1(x) f(x)≡a2(x) mod p2(x)
. . .
f(x)≡an(x) mod pn(x)
gegeben.
(a) Programmieren Sie den chinesischen Restsatz ¨uber Q[x] f¨ur den Falln = 2.1
(b) Programmieren Sie den chinesischen Restsatz ¨uber Q[x] f¨ur n > 2 unter Verwendung der Prozedur aus (a). ¨Ubergeben werde nun eine Liste von Paaren {ai(x), pi(x)}.
(c) Zeigen Sie, wie man mit Hilfe des chinesischen Restsatzes eine Polynominterpolation durchf¨uhren kann.
Interpolieren Sie dann mit Ihrer Prozedur aus (b) das Polynom f(x) dritten Grades, welches f(1) = 1, f(−1) =−2, f(3) = 1, f(5) = 7
erf¨ullt.
Zur¨uckgegeben werde bei (a) und (b) jeweils die gemeinsame L¨osungf(x) niedrigsten Grades.
(8 Punkte)
Aufgabe 2: (Minimalpolynom der Summe bestimmen)
Seien zwei Minimalpolynome von Elementenαundβ eines Erweiterungsk¨orpers vonQgegeben. In der Vorlesung wurde ein Algorithmus zur Bestimmung des Minimalpolynoms vonα+β vorgef¨uhrt.
Bestimmen Sie mit diesem Verfahren das Minimalpolynom von
√
5 + 3√3 2.
(8 Punkte)
Abgabetermin:bis sp¨atestens Mittwoch, 17.12.2008, 10.15 Uhr in der ¨Ubung.
1N¨utzlich ist hier die Funktion PolynomialExtendedGCD. Seit Mathematica 6.0 ist diese Funktion ohne Laden eines Zusatz- Packages verwendbar. Bei Vorg¨angerversionen istPolynomialExtendedGCDin demAlgebra-Package zu finden. Weitere n¨utzliche Funktionen k¨onnenPolynomialRemainderund f¨ur (b) Listenoperationen wieAppendundRestsein.
