Aufgabe 2 : Zeigen Sie, daß die Funktion −lnx auf (0

Universit¨at T¨ubingen T¨ubingen, den 21.4.2009 Mathematisches Institut

Prof. Dr. Christian Lubich

1. ¨Ubungsblatt zur Analysis II

Aufgabe 1 :

Zeigen Sie, dass eine Funktionf : (a, b)→Rgenau dann konvex ist, wenn f¨ur allex1 < x2< x3 aus (a, b) die folgenden Ungleichungen gelten

f(x2)−f(x1) x2−x1

≤ f(x3)−f(x1) x3−x1

≤ f(x3)−f(x2) x3−x2

.

Aufgabe 2 :

Zeigen Sie, daß die Funktion −lnx auf (0,∞) konvex ist und beweisen Sie damit die Ungleichung zwischen dem gewichteten harmonischen und geometrischen Mittel:

F¨ur beliebige positive Zahlen x1, . . . , x_n und positive θ1, . . . , θ_n mitθ1+. . .+θ_n= 1 gilt 1

θ₁

x₁ +. . .+ ^θ_xⁿ

n

≤x^θ1¹. . . x^θ_nⁿ .

Aufgabe 3 :

Seienp, q >1 mit ¹_p +¹_q = 1. Zeigen Sie die H¨oldersche Ungleichung f¨ur Integrale:

F¨ur stetige Funktionen f, g: [a, b]→IR gilt

Z b a

f(x)g(x)dx

≤ Z b

a |f(x)|^pdx

!¹/p

Z b

a |g(x)|^qdx

!¹/q

.

Hinweis: Riemann-Summen Aufgabe 4 :

Seik · k eine Norm. Zeigen Sie

kxk − kyk≤ kx−yk. Aufgabe 5 :

Zeigen Sie, dass f¨ur beliebigesx∈IRⁿ die Funktion p7→ kxk_p auf [1,∞) monoton fallend ist.

Aufgabe 6 :

Sei {x_k}_k∈N eine Folge in Rⁿ. Zeigen Sie, dass {x_k}_k∈N genau dann bez¨uglich der Maximumnorm k · k∞ gegena∈Rⁿkonvergiert, wenn sie bez¨uglich der euklidischen Normk · k2 gegenakonvergiert.

Hinweis: Die beiden Normen sind ¨aquivalent.

Abgabe in der Vorlesungspause am 28.4.2009,

Besprechung in den ¨Ubungen am 30.4.2009 bzw. 8.5.2009