Theoretische Physik III - Quantenmechanik (SS 2012) -

Theoretische Physik III - Quantenmechanik (SS 2012) -

Ubungsblatt 10 (20 +¨ π Punkte)¹

Ausgabe 18.06.12 – Abgabe 25.06.12 – Besprechung n.V.

Aufgaben mit Sternchen sind Klausurisomorph

. Aufgabe 1 (Addition von Bahndrehimpuls und Spin-¹₂) (5 Punkte) [Klausurelevant? Nicht in dieser Form – aber die Kopplung ` = 1 an s = 1/2 k¨onnte durchaus “dran” kommen . . . ]

Wird beim Wasserstoffproblem auch der Spin der Elektrons ber¨ucksichtigt ist mit

~jˆ:=~lˆ+ ˆ~s (1)

der Gesamtdrehimpuls des Elektrons verabredet.

Gemeinsame Eigenzust¨ande zu~jˆ², ˆj_z,~`ˆ<sup>2</sup> und ˆ~s<sup>2</sup> werden notiert |jm<sub>j</sub>`si, wenn n¨otig Kom- mata zwischen den Eintr¨agen, worin Quantenzahlenj, m_j, ` und s definitiosgem¨aß

~jˆ²|jm_j`si=~<sup>2</sup>j(j+ 1)|jm<sub>j</sub>`si, ˆj_z|jm_j`si=~m<sub>j</sub>|jm<sub>j</sub>`si,

~ˆ

`<sup>2</sup>|jmj`si=~²`(`+ 1)|jmj`si, ~sˆ²|jmjlsi=~²s(s+ 1)|jmjlsi,

(2) Der Wert vonsliegt nat¨urlich fest,s = ¹₂, der Wertebereich von`ist variabel`= 0,1,2, . . ..

Zu jedem ` (mit Ausnahme ` = 0) gibt es zwei m¨ogliche Werte j =`± <sup>1</sup><sub>2</sub>. F¨ur ` = 0 gibt es nur ein j = ¹₂.

Das Ziel ist es, die|jm_jlsidurch eine Linearkombination der Produktzust¨ande|`m<sub>`</sub>;sµi:=

|`m<sub>`</sub>i ⊗ |sµi auszudr¨ucken, wobei Quantenzahlen m_{`</sub> und µ definitionsgem¨aß ˆ`_z|`m<sub>`}sµi=

~m<sub>`</sub>|`m_{`</sub>sµi, m<sub>`} = −`,−`+ 1, . . . , `, und ˆs<sub>z</sub>|`m<sub>`</sub>sµi = ~<sup>µ</sup><sub>2</sub>|`m_`sµi mit µ = ±1. In jedem Fall m_j =−j,−j+ 1, . . . , j.

Zeigen Sie: F¨ur `= 1,2, . . .

|`± <sup>1</sup><sub>2</sub>, mj;`,¹₂i= s

`+ ¹₂ +m_j

2`+ 1 |`, mj∓ ¹₂i ⊗ |¹₂±i ± s

`+ ¹₂ −m_j

2`+ 1 |`, mj± ¹₂i ⊗ |¹₂∓i (3) und f¨ur`= 0

|¹₂,±¹₂; 0¹₂i=|0,0i ⊗ |¹₂±i. (4) Spektroskopisch notiert man die mj-Multipletts in der Form n`j, etwa 2p¹

2 oder 2p³

2. In der Grobstruktur (“Kepler-Atom”) sind diese beiden Niveaus anergetisch entartet. Wird die Wechselwirkung des Spins mit dem Bahndrehimpuls in der Feinstruktur erfasst, wird diese Entartung aufgehoben.

1Aufgaben mit transzendenter Punktezahl sind fakultative N¨usse. N¨usse sind bekanntlich nahrhaft . . .

c

Martin Wilkens 1 18. Juni 2012

Ubungen Quantenmechanik SS 2012 – Blatt 10¨

. Aufgabe 2 Ritz’sches Theorem] (3 Punkte)

Beweisen Sie das Ritz’sche Theorem wonach das Funktional E[ψ] =hψ|H|ψi/hψ|ψiˆ genau dann station¨ar, δE[ψ] = 0, wenn ψ =ψ₀ Eigenvektor von ˆH, etwa ˆHψ₀ =E₀ψ₀. Schließen Sie aus diesem Theorem E[ψ] ≥ E0, wobei E0 die Grundzustandsenergie. St¨obern Sie im Lehrbuch und geben eine Anwendung an.

. Aufgabe 3 (Grundzustandsanergie mittels Ritz)^∗ (2 Punkte) Sch¨atzen Sie mittels Ritz’schem Theorem die Grundzustandsenergie eines Elektrons im Coulombfeld des Z-fach geladenen Kern ab. Benutzen Sie als Variationsansatz ∝e^−κr mit κ Variationsparameter. Wie vergleicht sich Ihr Ergebnis mit dem exakten Wert?

. Aufgabe 4 (Anharmonischer Oszillator)^∗ (4 Punkte) Gegeben der anharmonische Oszillator,

Hˆ = pˆ² 2m +1

2mω²qˆ²+ 1

4!g˜qˆ⁴ (5)

worin ˜g “kleiner” Parameter.

(a) Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von ˆH in f¨uhrender Ordnung

St¨orungstheorie. (3 Punkte)

(b) Sch¨atzen Sie die Korrekturen zur n¨achsten Ordnung jenseits der f¨uhrenden Ordnung

ab. (2 Punkte)

(c) F¨ur welche Parameterwerte ˜g darf die Anharmonizit¨at ∝ qˆ⁴ als “kleine St¨orung”

behandelt werden? (1 Punkt)

Hinweis: Es empfiehlt sich, erst einmal alles auf Harmonische Oszillator Leiteroperatoren umzuschreiben.

. Aufgabe 5 (Wohnst-Du-noch) (π Punkte)

Bei einem M¨obelhaus Ihrer Wahl kaufen Sie Spin-1/2 Teilchen. Beim Auspacken stellen Sie fest, dass man vergessen hat, den Zustand auf dem Beipackzettel anzugeben. Geben Sie ein Verfahren an, um den Zustand der erworbenen Teilchen zu charakterisieren. Zur Verf¨ugung steht Ihnen ein Stern-Gerlach Magnet mit variabler Orientierung.

c

Martin Wilkens 2 18. Juni 2012