Theoretische Physik III: Quantenmechanik
Prof. F.Wegner, Universit¨at Heidelberg, SS04
4. L¨osungsblatt, Pr¨asenz¨ubung 21.05, Hausaufgaben Abgabetermin: 17.05.04
P4. 3 dim. harmonischer Oszillator i) Seien φNi, i = 1,2,3 die Eigenfunktion zum entsprechenden 1 dim. harmonischen Oszillator und N= (N1, N2, N3).
P4. 3–d harmonic Oscillator
i) Denote φNi, i = 1,2,3 the eigenfunc- tions for the corresponding 1–d harmonic oscillator and N= (N1, N2, N3).
eigenfunctions : φN(x) = φN1(x1)φN2(x2)φN3(x3) eigenvalues : EN = ¯h
ω·N+3 2
, N1, N2, N3 ∈N
Wenn eine Frequenz ω1 viel kleiner ist als die beiden anderen ist das Niedrigen- ergiespektum das f¨ur einen 1-dim har- monischen Oszillator. Entsprechendes gilt f¨urω1, ω2 ω3 und den zwei dim. Oszil- lator.
ii) Beim isotropen Oszillator sind die Eigenwerte allgemein EN = ¯hω(N+ 3/2), N ≥0. Die drei niedrigsten sind also 3/2, 5/2, 7/2 mit den Entartungsgraden 1, 3, 6.
Der allgemeine Entartungsgrad berechnet sich aus
If one frequencyω1is much small than the others the low energy spectrum is identical to the corresponding 1–d oscillator. The same holds for ω1, ω2 ω3 and the 2–d oscillator.
ii) In general the eigenvalues of the isotropic oscillator areEN = ¯hω(N+3/2), N ≥0. The three lowest values are there- fore 3/2, 5/2, 7/2 with the degrees of de- generacy 1, 3, 6. The degree of degeneracy for an arbitrary eigenvalue is obtain as fol- lows
X
N1,N2,N3=0
δ(N1+N2+N3)N = X
N1+N2≤N
=
N
X
N1=0 N−N1
X
N2=0
=
N
X
N1=0
(N −N1+ 1)
= (N+ 1)2− (N + 1)N 2
= (N + 1)(N + 2) 2
H10. Potential mit einem gebunde- nen Zustand
i) Integrieren von − nach liefert
H10. Potential with one bound state i) Integrating from − to yields
ψ0()−ψ0(−) +aψ(0) = −k2(ψ()−ψ(−)).
Die rechte Seite verschwindet f¨ur stetiges ψ(x). Wir finden also die Unstetigkeit in der Ableitung
The right hand side vanishes for continu- ous ψ(x). We find the discontinuity in the first derivative
ψ0()−ψ0(−) = −aψ(0) . Um den gebundenen Zustand zu finden,
setzen wir an
In order to find the bound state we use
ψ(x) = Cexp(−q|x|), mit reellem q und setzen in die
Schr¨odingergl. ein. Wir finden
with real q and plug into the Schr¨odinger equation. We find
h(q sgn(x))2−2δ(x)q+aδ(x) +k2iψ(x) = 0
⇓ q = a
2 k = iq = ia
2 ⇒ E = −¯h2a2 8m . Die Normierung ergibt C =qa/2.
ii) Stetigkeit in x = 0 ergibt f− = f+ = T. Ableiten ergibt die Unstetigkeitsbedin- gung
The Normalization is C =qa/2.
ii) Continuity in x = 0 yields f− = f+ = T. Taking the derivative yields the condi- tion
g+−g− = −T a k .
Die allgemeine Loesung ist also The general solution is ψ(x) = ψ−(x)−θ(x)T a
k sin(kx). Es ist instruktiv, den Transmissionskoef-
fizienten bzw. den Reflektionskoeffizienten zu bestimmen. Mit dem Ansatz
It is also instructive to determine the transmission coefficient and the reflexion coefficient. Using the ansatz
ψ−(x) = eikx+Re−ikx ψ+(x) = T eikx
erh¨alt man die beiden Gleichungen one obtains the two equations R+ 1 = T
ik(T +R−1) = −aT
⇓
T = 2ik 2ik+a R = −a
2ik+a
Der Transmissionskoeffizient hat also genau eine Polstelle bei k = ia/2.
F¨ur eindimensionale Systeme kann man allgemein zeigen, daß die (imagin¨aren) Polstellen des Transmissionskoeffizienten T(k) den gebundenen Zust¨anden des Sys- tems entsprechen.
Thus the transmission coefficient has ex- actly one pole at k= ia/2. In general one can show for one dimensional systems that the (imaginary) poles of the transmission coefficient T(k) correspond to the bound states of the system.
H11. Harmonischer Oszillator
i) Da beim harmonischen Oszillator ωn = nω, finden wir
H11. Harmonic Oscillator
i) For the harmonic oscillator we have ωn =nω. We find
exp (−iωnT /2) = exp (−inπ)
= (−1)n . Wir nutzen die Beziehung f¨ur Hermite
Polynome (und damit auch f¨ur die Oszil- latorwellenfunktionen)
We use the relation for Hermite polynomi- als (and therefore also for oscillator wave functions)
(−1)nHn(x) =Hn(−x) ⇒ (−1)nφn(x) =φn(−x)
⇓
ψ(x, T /2) = ψ0(−x). ii) Einsetzen von ψ(x) in die linke Seite
liefert
ii) Plugging in into the left hand side yields
¯ hω
2 −x20 d2 dx2 + x2
x20
!
ψ(x) = −¯hω 2 ψ(x) ψ(x) ist also eine Eigenfunktion zum
Eigenwert −¯hω/2. Sie ist zu verwerfen, da sie offensichtlich nicht quadratintegra- bel ist. Allerdings gilt f¨ur sie
Therefore ψ(x) is an eigenfunction to the eigenvalue −¯hω/2. It has to be discarded since it is not square integrable. However we have
a†ψ(x) = 0
Hanψ(x) = −n¯hω−1 2 die Rollen von a und a† sind also gerade
vertauscht. Aus der Schr¨odingergleichung erkennt man leicht, wenn φn(x) eine L¨osung der zum Eigenwert En ist, so ist φ−n(ix) eine L¨osung zum Eigenwert−En.
The roles of a and a† are switched. From the Schr¨odinger equation one finds easily that ifφn(x) is a solution to the eigenvalue En,φ−n(ix) is a eigenfunction to −En.