Theoretische Physik III - Quantenmechanik (SS 2011) -
Ubungsblatt 6¨
Ausgabe 27.06.11 – Abgabe 04.07.11 – Besprechung n.V.
. Aufgabe 1 (Spin Resonanz) (8 Punkte)
Die Wechselwirkungsenergie eines Spins smit gyromagnetischem Verh¨altnis γ im Magnet- feld B(t) lautet~
H(t) =ˆ −γ~ˆs·B(t)~ . (1)
und also die Schr¨odingergleichung f¨ur den Spinor Ψ(t) =
Ψ+(t) Ψ−(t)
,
(a) Stellen Sie die zeitabh¨angige Schr¨odingergleichung f¨ur den Spinor Ψ(t) =
Ψ+(t) Ψ−(t)
auf.
(b) L¨osen Sie die zeitabh¨angige Schr¨odingergleichung f¨ur ein magnetisches Wechselfeld Bx = bcos(ωt), By = bsin(ωt), Bz =B worin b und B Konstanten. Um Ihnen Tinte zu sparen, und uns das Korrigieren nicht zu erschweren, arbeiten Sie bitte mit den Paulioperatoren, und benutzen Sie bitte folgende Abk¨urzungen
ω0 :=−γB , ω1 :=−γb . (2)
Hinweis: Um die explizite Zeitabh¨angigkeit in der Schr¨odingergleichung los zu wer- den empfiehlt sich die Transformation Ψ(t) →Ψ(t) =˜ eiωt2σzΨ(t). Die transformierte Schr¨odingerngleichung involviert dann einen zeitunabh¨angigen effektiven Hamilton- operator (= 2×2 hermitesche Matrix), die Sie dann nur noch diagonalisieren m¨ussten . . . Ach ja – denken Sie auch hier an das Klima, und benutzen abk¨urzend
δ:=ω0−ω , Ω :=
q
δ2+ω21. (3)
(c) Der Spin sei anf¨anglich vollst¨andig inz-Richtung polarisiert. Zeigen Sie, dass bei einer Messung zur Zeit t der Spin mit W’keit
P(t) = ω12
δ2+ω21 sin2 Ωt
2
(4) umgeklappt vorgefunden wird.
Hinweis: Plotten Sie doch mal P(t) f¨ur verschieden Werte der Verstimmung δ. Se- hen Sie, dass Sie hier eine experimentelle Methode haben um das Gyromagnetische Verh¨altnis γ zu bestimmten? Gut! Rabi hat 1939 mit dieser Methode das magneti- sche Moment des Protons mit hchster Pr¨azision bestimmt – was im Jahre 1944 mit dem Nobelpreis belohnt wurde, und die Frequenz Ω zur Rabi-Frequenz bef¨orderte.
Heutzutage bev¨olkert die Kernspinresonanztechnik nicht nur die Labore und Praktika der Physik, sondern findet vielfach Anwendungen in Medizin und Technik. Mit den neuesten Ger¨aten kann man dabei sogar dem menschlichen Gerhirn in Echtzeit beim Denken zusehen . . .
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Martin Wilkens 1 27. Juni 2011
Ubungen Quantenmechanik SS 2011 – Blatt 06¨
. Aufgabe 2 (Addition von Bahndrehimpuls und Spin-12) (5 Punkte) Wird beim Wasserstoffproblem auch der Spin der Elektrons ber¨ucksichtigt ist mit
~jˆ:=~lˆ+ ˆ~s (5)
der Gesamtdrehimpuls des Elektrons verabredet.
Gemeinsame Eigenzust¨ande zu~jˆ2, ˆjz,~`ˆ2 und ˆ~s2 werden notiert |jmj`si, wenn n¨otig Kom- mata zwischen den Eintr¨agen, worin Quantenzahlenj, mj, ` und s definitiosgem¨aß
~jˆ2|jmj`si=~2j(j+ 1)|jmj`si, ˆjz|jmj`si=~mj|jmj`si,
~ˆ
`2|jmj`si=~2`(`+ 1)|jmj`si, ~sˆ2|jmjlsi=~2s(s+ 1)|jmjlsi,
(6) Der Wert vonsliegt nat¨urlich fest,s = 12, der Wertebereich von`ist variabel`= 0,1,2, . . ..
Zu jedem ` (mit Ausnahme ` = 0) gibt es zwei m¨ogliche Werte j =`± 12. F¨ur ` = 0 gibt es nur ein j = 12.
Das Ziel ist es, die|jmjlsidurch eine Linearkombination der Produktzust¨ande|`m`;sµi:=
|`m`i ⊗ |sµi auszudr¨ucken, wobei Quantenzahlen m` und µ definitionsgem¨aß ˆ`z|`m`sµi=
~m`|`m`sµi, m` = −`,−`+ 1, . . . , `, und ˆsz|`m`sµi = ~µ2|`m`sµi mit µ = ±1. In jedem Fall mj =−j,−j+ 1, . . . , j.
Zeigen Sie: F¨ur `= 1,2, . . .
|`± 12, mj;`,12i= s
`+ 12 +mj
2`+ 1 |`, mj∓ 12i ⊗ |12±i ± s
`+ 12 −mj
2`+ 1 |`, mj± 12i ⊗ |12∓i (7) und f¨ur`= 0
|12,±12; 012i=|0,0i ⊗ |12±i. (8) Spektroskopisch notiert man die mj-Multipletts in der Form n`j, etwa 2p1
2 oder 2p3
2. In der Grobstruktur (“Kepler-Atom”) sind diese beiden Niveaus anergetisch entartet. Wird die Wechselwirkung des Spins mit dem Bahndrehimpuls in der Feinstruktur erfasst, wird diese Entartung aufgehoben.
. Aufgabe 3 (Anharmonischer Oszillator) (4 Punkte) Gegeben der anharmonische Oszillator,
Hˆ = pˆ2 2m +1
2mω2qˆ2+ 1
4!g˜qˆ4 (9)
worin ˜g “kleiner” Parameter.
(a) Bestimmen Sie die Eigenwerte und Eigenvektoren von ˆH in f¨uhrender Ordnung
St¨orungstheorie. (3 Punkte)
(b) Sch¨atzen Sie die Korrekturen zur n¨achsten Ordnung jenseits der f¨uhrenden Ordnung
ab. (2 Punkte)
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Martin Wilkens 2 27. Juni 2011
Ubungen Quantenmechanik SS 2011 – Blatt 06¨
(c) F¨ur welche Parameterwerte ˜g darf die Anharmonizit¨at ∝ qˆ4 als “kleine St¨orung”
behandelt werden? (1 Punkt)
Hinweis: Es empfiehlt sich, erst einmal alles auf Harmonische Oszillator Leiteroperatoren umzuschreiben.
. Aufgabe 4 Ritz’sches Theorem] (3 Punkte)
Beweisen Sie das Ritz’sche Theorem wonach das Funktional E[ψ] =hψ|H|ψi/hψ|ψiˆ genau dann station¨ar, δE[ψ] = 0, wenn ψ =ψ0 Eigenvektor von ˆH, etwa ˆHψ0 =E0ψ0. Schließen Sie aus diesem Theorem E[ψ] ≥ E0, wobei E0 die Grundzustandsenergie. St¨obern Sie im Lehrbuch und geben eine Anwendung an.
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Martin Wilkens 3 27. Juni 2011
