Prof. C. P. Schnorr Wintersemester 2013/14

Prof. C. P. Schnorr Wintersemester 2013/14

Kryptographie

Blatt 1, 15.11.2013, Abgabe 22.11.2013

Aufgabe 1. Die Gruppe Z ^∗ 71 ist zyklisch von der Ordnung 70. Bestimme zu Z ^∗ 71 = h7i den Logarithmus log ₇ (3) ∈ [0, 69] mittels CRT durch zusam- mensetzen von log ₇ (3) modulo 2,5,7.

Hinweis: Z ^∗ 71 ∼ = ( Z ^∗ 71 ) ³⁵ × ( Z ^∗ 71 ) ¹⁴ × ( Z ^∗ 71 ) ¹⁰ , Z ⁷⁰ ∼ = Z ² × Z ⁵ × Z ⁷ .

Aufgabe 2. Sei G = hg i Gruppe der Ordnung p ² , p prim. Zeige, dass die Berechnung von h 7→ log _g (h) in O( √

p) Multiplikationen in G geht.

Hinweis: für log _g (h) = a ₁ + a ₂ p, 0 ≤ a ₁ , a ₂ < p gilt a 1 = log _g

(h ^p ), a 2 = log _g

(hg ^p

^−a

).

Aufgabe 3. Z ^∗ 101 ist zyklisch von der Ordnung 100 = 4 · 5 ² . Berechne in Anlehnung an Aufgabe 2 zu Z ^∗ 101 den Logarithmus log ₂ (3), zunächst modulo 4, 5, 25 und schliesslich mittels CRT modulo 100.

Punktzahl pro Aufgabe 5