Prof. C. P. Schnorr Wintersemester 2014/15

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Prof. C. P. Schnorr Wintersemester 2014/15

Gitteralgorithmen zur Faktorisierung ganzer Zahlen

Blatt 6, 17.12.2014, Abgabe 21.01.2015 Aufgabe 1.

Sei N = Q k

i=1 p ¯ ^e _i

ⁱ

mit k verschiedenen Primzahlen p ¯ _i , e _i ∈ N , p ¯ ^e _i

ⁱ

6= 2.

Zeige, dass X ² = 1 mod N genau 2 ^k viele Lösungen hat. Benutze dass Z ^∗ N ∼ = Z ^∗ _p _¯

^e¹

1

× · · · × Z ^∗ _p _¯

^ek

k

, QR _N ∼ = QR _p _¯

^e1

1

× · · · × QR _p _¯

ek

k

. Z ^∗ p ¯

^e_i

ist zyklisch für p ¯ _i 6= 2.

Aufgabe 2.

Beweise Lemma 2 von „Factoring Integers by CVP Algorithms”. Vervollstän- dige den Beweis im Skript.

Aufgabe 3. Sei B =







1 0

. .. ...

0 · · · 1

a ₁ · · · a _n







∈ R ^(n+1)×n . Zeige

det B ^t B = 1 +

n

P

i=1

a ² _i .

Hinweis: B ^t B =







1 + a ² ₁ a ₁ a ₂ · · · a ₁ a _n a ₁ a ₂ 1 + a ² ₂ · · · a ₂ a _n

.. . .. . . .. .. . a ₁ a _n a ₂ a _n · · · 1 + a ² _n







hat die Eigenvektoren

x ₁ = (a ₁ , a ₂ , ..., a _n ) ^t zum Eigenwert λ ₁ = 1 + a ² ₁ + · · · + a ² _n und

x k = (−a k , 0, ..., 0, a 1 , 0, ..., 0) ^t (mit a 1 an der k-ten Stelle) zum Eigenwert λ ₁ = 1 für k = 2, 3, ..., n. Es gilt B ^t B[x ₁ , ..., x _n ] = [λ ₁ x ₁ , ..., λ _n x _n ],

det(B ^t B) = Q n

i=1 λ i (bitte alles prüfen).

5 Punkte pro Aufgabe

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