Prof. C. P. Schnorr Sommersemester 2016

Prof. C. P. Schnorr Sommersemester 2016

Gitter und Kryptographie

Blatt 6, 20.05.2016, Abgabe 27.06.2016

Definition. Das duale (polare oder reziproke) Gitter L ^∗ zum Gitter L ist L ^∗ = {x ∈ span(L) | hx, bi ∈ Z für alle b ∈ L}.

Sei R ₈ = [r ₁ , ..., r ₈ ] ∈ R ^8×8 die GNF (Skript Seite 21).

Aufgabe 1. Zeige 1. L = L ^∗ für L = L(R 8 ).

2. Es gibt keine Gram–Matrix R ^t ₉ R ₉ mit derselben Form wie R ^t _i R _i für i = 1, . . . , 8 wegen L(R 8 ) = L(R 8 ) ^∗ .

Aufgabe 2. Erweitere R ₈ = [r ₁ , ..., r ₈ ] zur GNF R ₁₀ = [r ₁ , ..., r ₈ , r ₉ , r ₁₀ ] r ₉ = (0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, 1, 0) ^t , r ₁₀ = (0, 0, 0, 0, 1, 0, 0, 0, ¹ ₂ , p

3/4) ^t , 1. Zeige λ ² ₁ (L(R ₁₀ )) = 2 (mit Lemma 2.2.3 und L(R ₈ ) = L(R ₈ ) ^∗ ) 2. Berechne γ(L(R ₁₀ ))

Aufgabe 3. Vergleiche und bestätige die Mazo, Odlyzko Schranke K _n = _def |{x ∈ Z ⁿ + ( ¹ ₂ , · · · , ¹ ₂ ) · {0, 1} : kxk ≤ ¹ ₂ √

n}| ≤ 2 ^c

ⁿ , c ⁰ ₀ = 1, 0629 1. Volumenheuristik: Berechne c ⁰⁰ ₀ mit ¹ ₂ K n ≤ V n ( ¹ ₂ √

n) ⁿ ≈ 2 ^c

ⁿ ≤ K n . 2. Zeige K _n ≥ 2 ⁿ + (n−n/4)! (n/4)! ^n! · 2 ^n/4 ≥ 2 ^{1.058 n} .

Punktzahl 6 pro Aufgabe

R ₁₀ = 1

√ 2

2 1 1 0 0 0 0 0 0 0

0 √

3 ^{√ 1} ₃ ^{√ 2} ₃ 0 0 0 0 0 0 0 0

q 8 3

q 2 3

q 3

2 0 0 0 0 0

0 0 0 √

2 ^{√ 1}

2

√ 2 0 0 0 √

2

0 0 0 0 √

2 ^{√ 1}

2

√ 2 0 √ 2 0

0 0 0 0 0

q 3 2

q 2 3

q 8

3 0 0

0 0 0 0 0 0 ^{√ 2}

3

√ 1

3 0 0

0 0 0 0 0 0 0 1 0 0

0 0 0 0 0 0 0 0 √

2 q

1 2

0 0 0 0 0 0 0 0 0

q 3

2