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Sommersemester 2016

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Sommersemester 2016

Diskrete Mathematik Übungsblatt 12

Prof. K. Panagiotou/K. Matzke

Die Aufgaben werden in der Übung am 08.07. besprochen.

Aufgabe 1

Sei k ≥ 2. Bestimmen Sie die Schwellenwertfunktion für die Eigenschaft, dass δ(G n,p ) ≥ k.

Aufgabe 2

Sei X die Anzahl der C 4 ’s im G n,p , wobei p = c/n, c > 0. Benutzen Sie Janson’s Ungleichun- gen um

n→∞ lim P (X = 0), lim

n→∞ P (X = 1) zu bestimmen.

Aufgabe 3

Seien X 1 , . . . , X N Indikatorzufallsvariablen und sei X = P

1≤i≤N X i . Zeigen Sie, dass für k ∈ N

X k = k! · X

1≤i

1

<i

2

<···<i

k

≤N k

Y

j=1

X i

j

.

Aufgabe 4

Sei p = log n n und C 1 die Anzahl der isolierten Knoten im G n,p . Bestimmen Sie für k ∈ N

n→∞ lim E [C 1 k ].

Bonus: Berechnen Sie damit lim n→∞ P (C 1 = 0).

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