Prof. C. P. Schnorr Sommersemester 2013

Prof. C. P. Schnorr Sommersemester 2013

Gitter und Kryptographie

Blatt 7, 14.06.2013, Abgabe Freitag, 21.06.2013

In Aufgaben 1 und 2 sei (a

, . . . , a

, s) ∈ N

ein lösbares Subsetsum–

Problem der Dichte d < 0, 9408, so dass es nur c lin. unabh. Vektoren der Länge ≤ p

n/4 + 1 im Gitter L = L(B

) = L

gibt.

Aufgabe 1: Zeige: Es gibt eine Auswahl 1 ≤ i

< i

< · · · < i

≤ n, so dass jeder Gittervektor b ∈ L der Länge ≤ p

n/4 + 1 von der Form

b = P

i=1

y

b

− yb

ist mit y

6= 0 für eines der i

, k = 1, · · · , c.

Aufgabe 2: Zeige: Gemeinsames, stat. unabh. korrektes Randomisieren von a

, · · · , a

, mit 1 ≤ i

< · · · < i

≤ n nach Aufgabe 1, zu a

1

, · · · , a

c

∈

[1, A], A ≥ 2·2

lässt von den c lin. unabh. Vektoren der Länge ≤ p

n/4 + 1 mit Ws 1 − o(1) nur den Lösungsvektor ±ˆ e

im randomisierten Gitter L(B

).

Hinweis: Wende Aufgabe 1, Blatt 6 an auf L(B

) statt auf L(B

).

Aufgabe 3: Sei B =



 I

a



 ∈ R

, a

= (a

, . . . , a

)

∈ R

. Zeige:

det B

B = 1 + P

a

.

Hinweis: B

B hat die Eigenwerte 1 (n − 1)–mal, 1 + P

i=1

a

zu den Eigen- vektoren (−a

, a

, 0, . . . , 0)

, . . . , (−a

, . . . , a

)

, (a

, a

, . . . , a

, a

)

∈ R

.

Punktzahl 6 pro Aufgabe