(f*g)CHi=§nflx-y)gl ④

(1)

④

Def

^Far

f.ge ^ILIR

^"

⁾ ^heist fig ^definivt

^durch

(f*g)CHi=§nflx-y)gl

die

Faltering

^von

^f

^und

g

^.

Bein

^°

Faltuugeu ^finder Anwendungeu

^{arch in} ^der

Sigualverwbeituug

(

^z^-B. "Filter

"

in

dig

^.

Bildbearbeitung

^odor ^Akustik

⁾

• Das Prodnkt 2-weier

Li

^- FunkKonen ist nicht

hotweudigwweise

^wieder ^L^'

(

Bsp

^.^:

feet

^.

I

^'^"^' ^" " "'

,

fei

^aber

f

^'

^et

^L^'

)

^.

So _ist

f-

^*_g ^nicht ^immer ^irberall

definiert

^. ^Aller

dings

^ist ^mit

f. get

⁽^R^"

⁾

auch le,y

)

ⁿ

f

^le⁾

gly

⁾

integrierbar

ⁱⁿ

R2

^"

, so class unit der

Transformation

(

x

,y) ^t) (e^-y^,y)

folgt ↳ ^If

⁽^x^-^y⁾

^gly

⁾

^Idle

^,^y⁾ ^e ^• ^. ^Mit

^Hilfe

^des

Sakes von Fubini Whitt man so :

Lenin

^Sind

_f.ge ^ILIR

^"

⁾

^,

^dann gilt f-

^*

get

^CR^"

⁾

^and ^{i ts}

fig

^Cx^{) ist}

fast

^vibe^-^all

definiert

^.

(2)

77 korokar: (

Eigenschaften

^der

_Faltering ⁾

^Sind

^f.

g.

he

^{Li )}

^f*g

⁼

^g*f

kommntakvitat^LYIR^"⁾ ^dann

^gilt

^: (ⁱⁱ)

(f- g)

^* ^*^h ^:

f

^*

⁽ g*h ⁾

Assozialivitat

li::)

f

^* ⁽

gth

⁾ ⁼

fg+fh

Distributivitat (iv)

Hf*gH

^, ^I

11/-11

^.

Hgh

^, ^d.^h^. ^*^:L^'×L'^→^L

"

defniwt

^ein "

Prodnkt^"

auf

[ und macht dwans eine

"Banach

algebra

^"^.

Beweis

:

libnng

^.

Satz^:

( Fourier transform

^ierte ^der

Faltwng ⁾

Far

f.ge ^L' ^l

^R^"

⁾ gilt

^:

fFg

⁼

⁽ ^2.) ^÷ ^f. £

Bewh's:

fig

⁽^k⁾ ⁼

⁽

²^.

⁾

^' ^÷

µ ^f

⁽^×^.^y⁾

^gly

⁾

^dye

^'

^ikixdx

f ⁽

^2.)^'^±

⁾⁾

_.

^flx

^.^y⁾

^iikixdx ^gky ⁾ ^dy

Fubini

(

z ÷

e-^ik^'Y

F ⁽

^k

)

=

(

^2.)^÷

f

^l^k⁾

ojlk ⁾

^. ^II

(3)

④

DEI

^Fair

^f-

^c-

^[

⁽^R^"

⁾

^ist ^die ^inverse ^Fourier

transformer

^te

definiert

^durch

f

⁽^x⁾ ⁱ^-^-

^ft

^-^x

⁾

^.

Lemmai

^Sci

f. I

^c-^{L' CR}^"

⁾

^and

Seles

^:-.

( Tt )

"

e

-T^"" "^'

, Lew.

Dann

gilt

^{the R}

"

:

Ky

,

f

^*

^8.

^let ⁼

Ful

^.

Bewcisi Wegen ^In

^-^- ^S^,

gilt ^8.

^Le)^-^- ^L^"^S^,^lie^{) =L}^"

^J

^, ^IL^x

⁾

^-^-

ⁱ Int

^Le

)

^.

Dawit ist :

8.

^Le)^:

( ^÷ ⁾

^"

) ^eilk

^-^× ^e^- ^Z ^"^K^"^'^du

IR^"

j

^Gi⁾

-"

fr

^. ^e^'t^'^" ^e^-

^"¥

^d

^,

}

^:^-^-^Lk

Also

gilt ^f

^* ⁸^,^{le )} ⁼

↳ ^fly

⁾

^8.

⁽^x^-^y

^{) dy}

.

"^"'

Tat

^'

^" !

^. ^e'^'^'^'^"^"^' ^e^-

^#

^"

^as

^a,

i' can^- hi

) ^fu ^, ^ein

^-

^¥

^"

^dy

-

=:

gull

⁾

Da

I

_g.

4) I

^±

^If 'll

⁾

/

^d

Fei

,

greiff

^du ^Satz ^Eber

majoris

^inte

kouvvgeiit

^, ^so ^dass

time ^f-

^*⁸^,^le⁾ ⁼

file

⁾ ^the^R^" ^. a

Satz:

(

Umkehrsatz

)

÷÷÷÷÷::÷:÷÷:÷::±::::::i

(4)

Beweisidee

^:

⁽

^Details ^-^s ^z^.^B^.

Konigsberg

^er

⁾

_,

④

Nach ^dem Lemma

gilt ^fits

^, ^→

f fer

^u ^so^,

Da ^die ⁸, eine .. Dirac^-

Folge

^" ^bitten ,

gilt ^amp

^erdem

ft ^Se

^-^s

^f fast

^uibuall ^und insbesondve dart

, Wo

f stetig

^ist^. ^D

(f*g)CHi=§nflx-y)gl ④

④

Def

f.ge ILIR

) heist fig definivt

(f*g)CHi=§nflx-y)gl

Faltering

f

g

Bein

Faltuugeu finder Anwendungeu

Sigualverwbeituug

(

dig

Bildbearbeitung

)

Li

hotweudigwweise

Bsp

feet

I

fei

f

et

)

f-

definiert

dings

f. get

)

)

f

gly

integrierbar

R2

Transformation

(

folgt ↳ If

gly

Idle

Hilfe

Lenin

f.ge ILIR

)

dann gilt f-

get

)

fig

fast

definiert

Eigenschaften

Faltering )

f.

g.

he

f*g

g*f

gilt

(f- g)

f

( g*h )

f

gth

f*g+f*h

Hf*gH

11/-11

Hgh

defniwt

auf

algebra

Beweis

libnng

( Fourier transform

Faltwng )

f.ge L' l

) gilt

fFg

( 2.) ÷ f. £

fig

(

f.ge ^ILIR

⁾ ^heist fig ^definivt

^f

Faltuugeu ^finder Anwendungeu

⁾

^et

⁾

folgt ↳ ^If

^gly

^Idle

^Hilfe

_f.ge ^ILIR

⁾

^dann gilt f-

⁾

_Faltering ⁾

^f.

^f*g

^g*f

^gilt

⁽ g*h ⁾

fg+fh

Faltwng ⁾

f.ge ^L' ^l

⁾ gilt

⁽ ^2.) ^÷ ^f. £

⁽

⁾

µ ^f

^gly

^dye

^ikixdx

f ⁽

⁾⁾

^flx

^iikixdx ^gky ⁾ ^dy

F ⁽

ojlk ⁾

^f-

^[

⁾

^ft

⁾

⁾

^8.

Bewcisi Wegen ^In

gilt ^8.

^J

⁾

ⁱ Int

( ^÷ ⁾

) ^eilk

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^,

gilt ^f

↳ ^fly

^8.

^{) dy}

^" !

^#

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) ^fu ^, ^ein

^¥

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^If 'll

time ^f-