R n f (y)g(x −y)dyfüralleFunktionen f, g : R n → R,für diedasIntegralexistiert.

PDDr. P.Ne

K.Stavrakidis

SS2007

28.06.2007

7. Übungsblatt zur

Vorlesung Elementare Partielle

Dierentialgleihungen

Übung

Aufgabe 1 (Faltung)

DieFaltung

f ∗g

^{denierenwirals}

(f ∗ g)(x) := R

R ⁿ f (y)g(x −y)dy

^{füralleFunktionen}

f, g : R ⁿ → R

,für diedasIntegralexistiert.

(a) Zeigen Sie:

f ∗ g = g ∗ f

^.

(b) Seien

f

betragsintegrierbar,

g ∈ C ^k ( R ⁿ , k·k _∞ )

^.ZeigenSie:

D ^α (f ∗ g) = f ∗ (D ^α g)

für

|α| ≤ k

^.

Hinweis: Nehmen Sie an, dass die Ableitung mit dem Integral vertausht. Für

Hörer derAnalysisIV:Warum?

Lösung:

(a) MitderSubstitution

z := x − y

^erhaltenwir

Z

R ⁿ

f (y)g(x − y) = Z

R ⁿ

f (x − z)g(z) · | − 1|.

(b) Mitdem Majoratenkriterium erhält mandieAussage.

Aufgabe 2 (RegularitätharmonisherFunktionen)

Sei

ϕ ∈ C _c ^∞ ( R ⁿ )

^mit

R

R ⁿ ϕ = 1

^und

supp ϕ ⊂ B (0, 1)

^{eine radiale Funktion, d.h.es}

existiert eine Funktion

ϕ ˜ : R → R

mit

ϕ(x) = ˜ ϕ(|x|)

^{für alle}

x ∈ R ⁿ

.Ferner sei

ϕ _ε

gegeben durh

ϕ _ε (x) := _ε ¹ n ϕ( ^x _ε )

^{für alle}

ε > 0

^{.Auÿerdemdenieren wir}

u _ε := ϕ _ε ∗ u

für eineharmonishe Funktion

u

^.

Zeigen Sie mit Hilfe der Mittelwerteigenshaft harmonisher Funktionen:

u = u _ε ∈

C ^∞ (Ω)

^füralle

ε > 0

^{. Folglih sind harmonishe Funktionenbeliebigoft} dierenzier-

Hinweis: Die Faltung

ϕ ∗ u

^{ist hier zu verstehen als}

(ϕ ∗ u)(x) = R

Ω ϕ(x − y)u(y)dy

für

x ∈ Ω

^.

Lösung: Nah Aufgabe 1 gilt

u _ε ∈ C ^∞ (Ω)

^{. Weiterhin ist}

supp ϕ _ε ⊂ B(0, ε)

^und

R

B(0,ε) ϕ _ε = 1

^.

u _ε (x) = Z

Ω

ϕ _ε (x − y)u(y)dy

= 1

ε ⁿ Z

B(x,ε)

˜ ϕ

|x − y|

ε

u(y)dy

= 1

ε ⁿ Z ε

0

˜ ϕ r

ε Z

∂B(x,r)

u(y)dydr

= na(n) ε ⁿ u(x)

Z ε 0

˜ ϕ r

ε

r ⁿ⁻¹ dr

= u(x) Z

B(0,r)

ϕ _ε (y)dy

= u(x).

Aufgabe 3 (Fouriertransformation)

Bezeihne

L ¹ ( R ⁿ )

^die betragsintegrierbaren Funktionen auf

R ⁿ

und

C ₀ ( R ⁿ ) := {f ∈ C( R ⁿ ) : ∀ ε > 0 : {x ∈ R ⁿ : |f(x)| ≥ ε} ist kompakt}

^{. Die F}ouriertransformation

F : L ¹ ( R ⁿ ) → C ₀ ( R ⁿ )

^{ist deniertdurh}

(Ff )(ξ) := f b (ξ) := 1

(2π) ^n/2 Z

R ⁿ

f (x)e ^−ixξ dx

für

f ∈ L ¹ ( R ⁿ ), ξ ∈ R ⁿ

.Die inverse Fouriertransformation

F ⁻¹ : C ₀ ( R ⁿ ) ∩ L ¹ ( R ⁿ ) → L ¹ ( R ⁿ )

^{istgegeben durh}

(F ⁻¹ f b )(x) = 1 (2π) ^n/2

Z

R ⁿ

f b (ξ)e ^ixξ dξ

für

x ∈ R ⁿ

(ohneBeweis).

Seien

f, g ∈ C _c ^k ( R ⁿ )

^,

k ∈ N

.Zeigen Sie

(a)

D ^α Ff = (−i ^|α| )F(x ^α f )

(b)

F(D ^α f ) = i ^|α| ξ ^α Ff

()

F(∆f ) = −|ξ| ² f b

^,falls

k ≥ 2

(d)

F(f ∗ g) = (2π) ^n/2 f b · b g

Hinweis:BeahtenSie,dassauhdieUmkehrungvon(a)bzw.(b)gilt,d.h.ist

f, x ^α f ∈ L ¹ (Ω)

^{für alle}

|α| ≤ k

^,soist

Ff ∈ C ^k ( R ⁿ )

^.Analog(b).

Lösung: Auh hier ermögliht die Majorisierte Konvergenz das Vertaushen der

Ableitung mitdem Integral.

(a) Für

1 ≤ j ≤ n

^gilt:

∂ _j (Ff )(ξ) = ∂ _j Z

R ⁿ

f (x)e ^−ixξ dx = −i Z

R ⁿ

f (x)x _j e ^−ixξ dx = −iF(x _j f )(ξ).

Mittels Induktion folgtdie Aussagesofort.

(b) Für

1 ≤ j ≤ n

^gilt:

F (∂ _j f ) = Z

R ⁿ

(∂ _j f (x))e ^−ixξ dx = − Z

R ⁿ

f (x)(∂ _j e ^−ixξ )dx = iξ _j Ff.

DasRandintegralvershwindet,da

f

^nahVoraussetzungkompaktenTrägerbe- sitzt.

() Diesfolgt sofortaus(b).

(d) Substitution

z = x − y

^.

Z

R ⁿ

Z

R ⁿ

f (y)g(x − y)dye ^−xξ dx = Z

R ⁿ

Z

R ⁿ

f (y)g(x − y)e ^−ixξ dxdy

= Z

R ⁿ

f(y) Z

R ⁿ

g(z)e ^−i(z+y)ξ dzdy

= Z

R ⁿ

f(y)e ^−iyξ dy Z

R ⁿ

g(z)e ^−izξ dz.

Aufgabe 4 (Laplae-Gleihung auf demHalbraum)

Eine Funktion

f : R ⁿ → R

heiÿt shnell fallend, falls

lim _|x|→∞ x ^α f (x) = 0

^{für alle}

Multiindizes

α

^{. Der Raum}

S ( R ⁿ ) := {f ∈ C ^∞ ( R ⁿ ) : D ^α f schnell fallend ∀ α}

^wird

Shwartzraum und seine Elemente Shwartzfunktionen genannt. Sei

g ∈ S( R ⁿ⁻¹ )

^.

Bestimmen SiedieLösung von

∆u = 0 in R ⁿ ₊ u = g auf ∂ R ⁿ

+ .

Hinweis: Wenden SiedieFouriertranformation aufdie ersten

n − 1

Komponentenan.

Warum kannman dieFouriertransformationniht auf diegesamteGleihung anwen-

den?

Lösung: Hier bezeihnet

F

^{die F}ouriertransformationund

f b

^dieFouriertransforma- tionvon

f

^{bzgl.derersten}

n − 1

Komponenten.

Die FouriertransformationdesGleihunssystems:

−|ξ| ² b u + ∂ _n ² u b = 0 in R ⁿ ₊ b

u = b g auf ∂ R ⁿ ₊ .

Die Lösungdieser gewöhnlihen Dierentialgleihung lautet

u b = e ^{−|ξ|x n} b g

^{.Folglih ist}

u

^gegebendurh

u = F ⁻¹ (e ^{−|ξ|x n} ) ∗ g

^{.DabeideFunktionenin}

C ₀ ( R ⁿ ) ∩L ¹ ( R ⁿ )

^liegen,

ist

u

wohldeniert.Wegen

g ∈ C ^∞ ( R ⁿ⁻¹ )

^gilt

u ∈ C ² ( R ⁿ )

^.