Tipps: Blatt 5

1

Tipps: Blatt 5

Für ein Maß µ:S →[0,∞] ist äußere Maß µ^∗ von µ ist definiert über

µ^∗(A) = inf

{Ak}⊂F(A)

∞

X

k=1

µ(A_k),

wobei

F(A) = (

{A_n}^∞_n=1:A_n ∈ S und A ⊂

∞

[

n=1

A_n )

Aufgabe 26:

Überlegt euch was S₁ ⊂ S₂ für die Mengen F₁(A) und F₂(A) bedeutet. Schreibt die Definition von µ^∗₂(A) auf und nutzt euer Wissen über F₁(A),F₂(A) und die gegebene Abschätzung für die Maße, um die Behauptung zu zeigen.

Aufgabe 27:

Ein Blick in den Beweis von Lemma 1.6 könnte hilfreich sein (Ihr braucht jedoch keinε). Um Gleichheit zu zeigen, zeigt man am besten≤und≥. Eine Ungleichung wisst ihr durch Aufgabe 26 (Hier ist trotzdem eine kurze Begründung notwenig warum ihr Aufgabe 26 benutzen könnt). Um die andere Abschätzung zu zeigen, stellt jedesA_k ausF(A)als endliche disjunkte Vereinigung von Mengen ausS dar.

Jetzt könnt ihr ausnutzen, dassν undµMaße sind und ihr durch die Überdeckung der A_k’s auch eine Überdeckung von A habt. Ihr wisst zudem, dass äußere Maße subadditiv sind.

Aufgabe 28:

Hier ist wieder nur eine Ungleichung zu zeigen. Die andere folgt aus Aufgabe 26.

Nutzt den Satz von Caratheodory und die Subadditivität des äußeren Maßes aus.

Wintersemester 2013/2014 Maß- und Integrationstheorie

2

Aufgabe 29:

Hier ist auch nur eine Ungleichung zu zeigen. Benutzt Aufgabe 28. Hierzu zerlegt die GrundmengeM disjunkt in Elemente aus dem RingR, die bezüglich des Maßes µ endlich sind. Überlegt euch jetzt wie ihr geeigente Mengensysteme, dessen Er- weiterung und Maße darauf definieren könnt. Jetzt überlegt euch wann eine Menge A in der σ-Algebra ist für diese restriktiven Mengensysteme. Anschließend zieht ihr, durch Verwendung der Eigenschaften von äußeren Maßen, die Mengensysteme wieder hoch (Hier ist einiges zu tun :-)).

Wintersemester 2013/2014 Maß- und Integrationstheorie