Tipps: Blatt 11 Aufgabe 51: Erstmal eine kurze Bemerkung zu

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Tipps: Blatt 11

Aufgabe 51:

Erstmal eine kurze Bemerkung zuf^ε(x):f^ε(x)nimmt das Supremum derf(y)aus der offenen Kugel mit Radiusε um den Punkt x. D.h. ihr habt einen Mittelpunkt x in Rⁿ und bildet die offene Kugel mit Radius ε um x. In dieser Kugel schaut ihr euch die Bilder von f an und nehmt das Supremum davon. Ihr müsst hier das Supremum nehmen, weil das Maximum auf einer offenen Kugel nicht existieren muss.

Um zu zeigen, dass f^ε S-messbar ist, muss für jedesc∈R^{die Menge}

B ={x∈R^{n :fε(x)≤}c} S-messbar sein. Hierzu müsst ihr eine geeignete Menge Adefinieren, die in der σ-AlgebraS ist. Diese Menge sollte eine Abhängigkeit von f haben und die Messbarkeit vonf ausnutzen. Also sollte klar sein wieAaussieht.

Jetzt müsst ihr zeigen, dass B gleich der Menge aller Mittelpunkte ist, sodass die offene Kugel mit Radius ε drin liegt. Mit Aufgabe 24 folgt dann die Behauptung (kurze Begründung notwendig).

S-Messbarkeit von fε geht analog. Da muss jedoch eine andere Menge B betrach- tet werden.

Aufgabe 52:

(a) Benutzt Aufgabe 51. Also schreibt f¯(x)bzw. f(x)mit f^ε bzw. f_ε um.

(b) f ist stetig inx genau dann, wenn f(x) = ¯f(x) = f(x).

Jetzt ausnutzen, dass die Differenz von Borel-Funktionen eine Borel-Funktion ist.

Aufgabe 53:

Der Beweis dieser Aufgabe gliedert sich in zwei Teile. Ihr braucht eine Folge von Elementarfunktionen, die monoton wachsend ist, und gegen eure messbare Funk- tion konvergiert. In Lemma 2.12 in der Vorlesung, habt ihr eine Folge gefunden, die punktweise konvergiert. Jedoch muss hier die Folge von Elementarfunktionen monoton wachsend sein. Ihr wählt euch eine geeignete Folge von Elementarfunktio- nen, die monoton wachsend sind. Dann imitiert ihr im ersten Teil den Beweis von Lemma 2.12, jedoch für eure Elementarfunktionen angepasst. Im zweiten Schritt zeigt ihr dann, dass eure Folgeϕ_n(x)für alle n und x monoton wachsend ist, d.h.

Wintersemester 2013/2014 Maß- und Integrationstheorie

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ϕ_n+1(x)≥ϕ_n(x).

Aufgabe 54:

Hier sind ausreichend Tipps auf dem Übungszettel.

Eine kurze Bemerkung zu Teil (a): Ihr dürft nicht die Differenz R

Mf_kdµ−R

M f dµ betrachten, denn die beiden Integrale können unendlich sein.

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