(8 Punkte) Sein∈N+und sei Ω⊂Rnoffen

Oliver Schn¨urer, Universit¨at Konstanz Sommersemester 2012 Matthias Makowski

Ubungen zur Vorlesung Funktionalanalysis¨

Blatt 9 Aufgabe 9.1. (4 Punkte)

Sein∈N+ und seiB1(0) :={x∈Rⁿ:|x|<1}.

(i) Zeige, dass es eine Funktionη∈C^∞(Rⁿ,R) mit suppη⊂B₁(0),R

Rⁿf dλ= 1 undη≥0 gibt.

Bemerkung:Eine Funktion mit diesen Eigenschaften nennen wir eineFriedrichsche Gl¨attungsfunktion.

(ii) Seiηeine Friedrichsche Gl¨attungsfunktion. Wir definieren f¨ur beliebigeε >0 die zugeh¨orige Diracfolge ηε:=ε⁻ⁿη ^x_ε

. Zeige, dassηε∈C_c^∞(Bε(0)) ist undR

Bε(0)ηεdλ= 1 erf¨ullt.

Aufgabe 9.2. (8 Punkte)

Sein∈N+und sei Ω⊂Rⁿoffen. Seiηeine Friedrichsche Gl¨attungsfunktion undηεdie zugeh¨orige Diracfolge.

Seif ∈L¹(Ω,R). Wir setzenf mit Null auf das Komplement von Ω fort und definieren f¨ur beliebigeε >0 die Funktionenfε:Rⁿ→R,x7→R

Rⁿηε(x−y)f(y)dy.

Sei (εn)_n∈N⊂R⁺ eine Nullfolge und sei ε >0 beliebig. Zeige die folgenden Aussagen:

(i) Es giltfε∈C^∞(Rⁿ).

(ii) Sei K⊂Ω eine kompakte Teilmenge von Ω und sei in dieser Teilaufgabef noch zus¨atzlich stetig auf Ω. Dann giltf_εn⇒f f¨urn→ ∞auf K.

(iii) Es gilt suppf_ε⊂B_ε(suppf) :=

x∈Rⁿ : inf

y∈suppf|x−y|< ε

.

(iv) Sei m ∈N+ und sei in dieser Teilaufgabe f noch zus¨atzlich von der Klasse C^m(Ω). Seix∈ Ω. Falls B_ε(x)⊂Ω gilt, dann istD^αf_ε(x) = (D^αf)_ε(x) f¨ur alle Multiindizesαmit |α| ≤m.

Sei Ω⁰⊂⊂Ω offen, dann giltkfε_n−fk_Cm(Ω⁰)→0 f¨urn→ ∞.

(v) Sei 1≤p <∞und seif ∈L^p(Rⁿ). Dann giltkfε_n−fk_Lp(Rⁿ)→0 f¨urn→ ∞.

(vi) Gelte nunf ∈L^∞(Ω). Dann giltkf_εk_L∞(Ω)≤ kfk_L∞(Ω).

Aufgabe 9.3. (4 Punkte)

Lese und verstehe den Beweis der Existenz einer Partition der Eins auf einer offenen Teilmenge desRⁿ.

Webseite:http://www.math.uni-konstanz.de/~makowski/veranstaltungen12.html#FA Abgabe:Bis Dienstag, 19.06.2012, 9.55 Uhr, in die Briefk¨asten bei F 411.