Signale und Systeme

Systeme

• System: Funktion f, die ein Eingangssignal x in ein Ausgangssignal y überführt.

• zeitdiskretes System: Ein- und Ausgangssignal sind nur für diskrete Zeitpunkte definiert:

y[n] = f ( .., x[n-1], x[n], x[n+1], x[n+2], .., y[n-1], y[n+1], y[n+2], .. ).

f

x[n-1]

x[n]

x[n+1]

:

: ^y[n]

:

y[n-1]

y[n+1]

Rückführung (Feedback)

• speicherfreies System: y[n] hängt nur von x[n] ab.

• kausales System: y[n] hängt von keinen zukünftigen x oder y ab.

• stabiles System: für ein

beschränktes Eingangsignal bleibt auch das Ausgangssignal

beschränkt (BIBO-Stabilität).

• zeitinvariantes System: eine Zeitverschiebung des Eingangs führt auf die gleiche Zeitverschiebung des Ausgangs.

• lineares System: ax₁[n] + bx₂[n] => ay₁[n] + by₂[n] (Superpositionsprinzip)

• LTI-System: lineares, zeitinvariantes System (Linear Time-Invariant).

Impulsantwort

Signale und Systeme

Jedes diskrete Signal x lässt sich als Linearkombination von verschobenen und skalierten Einheitsimpulsen darstellen:

Aufgrund der Superpositionseigenschaft muss das Ausgangssignal eines linearen Systems eine Linearkombination von sog. Impulsantworten

sein:

Sind alle Impulsantworten eines linearen Systems bekannt, kann die Antwort des Systems auf beliebige Eingangssignale berechnet werden.

In einem LTI-System ist die Impulsantwort eine zeitverschobene Version der Impulsantwort h₀ zum Zeitpunkt 0:

[ ] [ ] [ ]

k

x n ^∞ x k

δ

=−∞

=

∑

[ ] [ ] [ ]_k

k

y n x k h n

∞

=−∞

=

∑

[ ] ( [ ])

h nk = f δ n k−

[ ] 0[ ]

h nk =h n k−

Faltungssumme

Für ein LTI-System ist das Ausgangssignal daher

mit dem Impulsübertragungsverhalten h = h₀. h charakerisiert ein LTI-System vollständig.

Symbolische Schreibweise: y[n] = x[n] * h[n]

Eigenschaften:

• Kommutativität

• Assoziativität

• Distributivität

[ ] [ ] [ ]

k

y n x k h n k

∞

=−∞

=

∑

[ ] [ ] [ ] [ ] x n ∗h n =h n ∗x n

1 2

1 2

[ ] ( [ ] [ ]) ( [ ] [ ]) [ ] x n h n h n

x n h n h n

∗ ∗ =

∗ ∗

1 2

1 2

[ ] ( [ ] [ ]) [ ] [ ] [ ] [ ]

x n h n h n

x n h n x n h n

∗ + =

∗ + ∗

Faltung (Beispiel)

Signale und Systeme

LTI-Systeme

• speicherfreies LTI-System:

• kausales LTI-System: h[n] = 0 für n < 0

• stabiles LTI-System: (Impulsantwort absolut

summierbar)

• Häufiger Spezialfall: durch lineare Differenzengleichung beschriebenes kausales LTI-System

• eine kausale Differenzengleichung lässt sich in eine rekursive Gleichung überführen

• für N = 0 ergibt sich eine nichtrekursive Gleichung, Ausgang hängt nur vom Eingang ab (FIR-System, Finite Impulse Response)

• rekursive Systeme haben i,A. eine unendliche Impulsantwort (IIR-System, Infinite Impulse Response)

[ ] [ ]

h n =Kδ n

[ ]

k

h k

∞

=−∞

< ∞

∑

0 0

[ ] [ ]

N M

k k

k k

a y n k b x n k

= =

− = −

∑ ∑

0 1

0

[ ] 1 [ ] [ ]

M N

k k

k k

y n b x n k a y n k

a _{= =}

 

= 

∑

∑

Diskrete komplexe exponentielle Signale

Signale und Systeme

Eulersche Formel:

Eigenschaften:

• es gilt , d.h.

Signal bei Frequenz ₀+ 2 ist dasselbe wie bei ₀.

• Schwingungsrate nimmt mit ₀zu bis ₀= , danach verringert sie sich wieder bis 2 .

• Signal ist nur periodisch mit Periode N, wenn gilt.

• Menge aller exp. Signale der Periode N (harmonisch verwandte Signale):

Es gilt , d.h. es gibt nur N verschiedene Signale der Periode N.

0

0 0

cos sin

i n

e^ω = ω n i+ ω n

0 0 0

( 2 ) 2

i n i n i n i n

e ^{ω + π} =e ^π e^ω =e^ω

0

2 m, , N m N

ω = π ∈

(2 / )

[ ] ^{ik N n}, 0, 1,

k n e ^π k

Φ = = ±

[ ] [ ]

k N₊ n k n

Φ = Φ

Beispiel: diskrete Sinusfolgen

Fourier-Reihe für periodische Signale

Signale und Systeme

• Exponentielle Signale sind Eigenfunktionen von LTI-Systemen

• Darstellung eines N-periodischen Signals als Linearkombination von harmonische verwandten Signalen heißt Fourierreihe (Synthesegleichung):

• Berechnung der Spektralkoeffizienten:

(Analysegleichung)

• Jedes N-periodische diskrete Signal läßt sich als diskrete Fourierreihe darstellen.

0

0( ) 0 0

0

[ ] [ ] [ ] [ ] [ ] [ ]

[ ] [ ] ( ) [ ]

i n

k

i n k i n i k

k k

x n e y n h n x n h k x n k

h k e e h k e H x n

ω

ω ω ω ω

∞

=−∞

∞ ∞

− −

=−∞ =−∞

= ⇒ = ∗ = − =

= =

∑

∑ ∑

1 1

(2 / )

0 0

[ ] [ ]

N N

ik N n

k k k

k k

x n a n a e ^π

− −

= =

=

∑

∑

1

(2 / ) 0

1 [ ]

N

ik N n

k k

a x n e

N

− π

−

=

=

∑

Darstellung aperiodischer Signale

Vorgehensweise (Diskrete Fourier- Transformation, DFT):

• endliches Signal der Länge N wird periodisch fortgesetzt

• Berechnung der Fourierreihe für die resultierende periodische Folge

• Rückgewinnung des aperiodischen Signals durch Anwendung der Synthesegleichung und Setzen aller Werte außerhalb [0, N-1] auf 0.

Vorsicht: DFT beschreibt nicht die tatsächliche Fouriertranformation des aperiodischen Signals (diese enthält unendlich viele Frequenzen), sondern eine diskrete Abtastung derselben. Trotzdem läßt sich das diskrete Signal exakt aus der DFT rekonstruieren.

Bedeutung: Für Signale der Länge 2^pexistiert ein extrem schneller Algorithmus zur Berechnung der DFT: FFT, Fast Fourier Transform

Frequenzgang von Systemen

Signale und Systeme

• Frequenzgang: Fouriertransformierte der Impulsantwort.

• Faltungseigenschaft der DFT:

d.h. ein LTI-System wirkt auf ein Eingangssignal durch Abschwächen oder Verstärken einzelner Spektralanteile (Filterung).

• Ebenso wie die Impulsantwort charakterisiert der Frequenzgang ein LTI- System vollständig .

[ ] [ ] [ ] ( ) ( ) ( )

y n =x n ∗h n ⇒ Y ω = X ω H ω

H( )

H( )

H( )

Tiefpaß

Hochpaß

Bandpaß