f(x, y) = (x, y) = x 2 + y 2 für alle x,y, und ist g = f Φ : [0, [, so gilt g(r, ϕ) = r(cos(ϕ), sin(ϕ)) = r für alle (r, ϕ) [0, [.

Die Verwendung von Polarkoordinaten in analytischen Kontexten ist vor al- lem dann von Vorteil, wenn eine Funktion f :R² →Rrotationssymmetrisch ist.

Ist zum Beispiel

f(x, y) = i(x, y)i =

£

g(r,ϕ) = ir (cos(ϕ), sin(ϕ))i = r für alle (r,ϕ)P[ 0,∞[×R.

Unsere Funktion ist aus polarer Sicht also einfach die Projektion auf die erste Komponente, also eine sehr einfache und vollkommen wurzelfreie Funktion. Es fragt sich, wie eine „polare Analysis“ von f aussieht. Für die Integrationstheorie können wir die Frage allgemein so formulieren:

Gegeben ist eine Funktion g in Polarkoordinaten, die wir integrieren wollen. Wir können nun g in Achsenkoordinaten x und y darstellen und wie üblich integrieren.

Lässt sich die mühsame Übersetzung von r,ϕnach x, y nicht vermeiden und das Inte- gral anstatt nach „dx dy“ nicht direkt nach „dr dϕ“ bestimmen ?

Bei der Übersetzung im Beispiel oben erhalten wir eine Wurzelfunktion, die müh- samer zu integrieren ist als die Projektionsfunktion. Der Wunsch nach einer di- rekten Integration in Polarkoordinaten ist hier nur natürlich. In der Tat lassen sich Funktionen in Polarkoordinaten sehr einfach nach dr und df integrieren. Wir müssen lediglich einen „Korrektur-“ oder „Transformationsfaktor“ beachten:

Satz (Integration in ebenen Polarkoordinaten)

Sei f :R² →Reine integrierbare Funktion mit kompaktem Träger.

Dann gilt:

I(f) =

*

0

∞

*

0

2πf+Φ(r,ϕ) r dϕdr =

*

0

∞

*

0

2πf

(

)

Anstelle f als Doppelintegral über x und y zu integrieren, können wir also mit gleichem Ergebnis f+Φals Doppelintegral über die Koordinaten r undϕinte- grieren, wobei wir dem Integral über f+Φden Faktor r hinzufügen müssen. Er entspricht der Tatsache, dass der Umfang eines Kreises mit Radius r das r-Fache des Umfangs des Einheitskreises ist. Integrieren wir bei festem r über alle Winkel ϕ, so hat dieser „infinitesimale Beitrag“ zum Integral das r-fache Gewicht. (Wir werden am Ende des Abschnitts einen allgemeinen Satz formulieren, der den Korrekturfaktor einer Koordinatentransformation genau angibt.)

Liegt eine Funktion g in Polarkoordinaten vor, d. h., ist g = f +Φfür eine ge- wisse Funktion f :R² →R, so können wir das gewünschte Integral (das ist das In- tegral I(f) über f, nicht das Integral I(g) über g) einfach berechnen durch I(f ) =

*

0

∞

*

0

2πg(r,ϕ) r dϕdr,

wobei wir stillschweigend annehmen, dass f einen kompakten Träger besitzt und integrierbar ist. In der Praxis ist g oft als Term gegeben, etwa

g(r,ϕ) = r²sinϕ + r für alle (r,ϕ)P[ 0,∞[×R.

Wir verwenden dann einfach den g definierenden Term als Integranden und multiplizieren ihn mit r. Anschließend wird das Integral wie ein übliches Doppel- integral behandelt (in unserem Beispiel integrieren wir r³sinϕ+ r²). Die Integra- tionsvariablen heißen nun r undϕ, aber wir können ihnen auch beliebige andere Namen geben.

Beispiel 1: Berechnung der Kreisfläche

Sei R>0 und K = { (x, y)PR²|i(x, y)i≤R }. Dann ist 1Keine integrierbare Funktion mit kompaktem Träger, und I(1K) ist die Fläche eines Kreises mit Radius R. Ist g = 1K +Φ, so gilt

g(r,ϕ) =

{

Damit berechnet sich also die Kreisfläche zu I(f) =

*

0

∞

*

0

2πg(r,ϕ) r dϕdr =

*

0 R

*

0

2π1 r dϕdr =

*

R2πr dr = πr²

r = 0 r = R

= R²π.

Bei der Reduktion des Integrationsbereichs von [ 0,∞[×[ 0, 2π] auf das Rechteck [ 0, R ]×[ 0, 2π] verwenden wir, dass der Träger von r g eine Teilmenge dieses Rechtecks ist.

Beispiel 2: Sektorformel von Leibniz

Die Sektorformel von Leibniz für Kurven in Polarkoordinaten (vgl.

die Ergänzungen E7) können wir nun so begründen:

Ist f : [ 0, 2π] →R²eine Kurve mit

f(ϕ) = R(ϕ) e^iϕ = R(ϕ)

(

)

so ist der im Winkel- bzw. Zeitintervall [ a, b ] von der Kurve f überstri- chene Flächeninhalt A(f |[ a, b ]) gleich

*

*

0

R(ϕ)1⋅r dr dϕ =

*

a b r²

2 ^{r = 0}

r = R(ϕ)

dϕ = 1

2

*

a

bR(ϕ)²dϕ,

in Übereinstimmung mit der früheren Formel. Für den Spezialfall R(ϕ) = R und [ a, b ] = [ 0, 2π] ergibt sich erneut die Kreisfläche.

Beispiel 3: Bestimmung des Gauß-Integrals Wir berechnen das Gauß-Integral

γ =

*

−∞

∞e^{− x2/2}dx

mit Hilfe von ebenen Polarkoordinaten und einer auf Poisson zurückge- henden Umformung (vgl. 1. 6). Wir definieren hierzu f :R² →Rdurch

f f(x, y) = e^{− (x2+ y2)/2} für alle x, yPR.

Ist K(R) der Kreis mit Mittel- punkt 0 und Radius R>0, so gilt

*

f(x, y) dx dy =

*

*

0

Re^−r2/2r dr dϕ =

*

2π−e^−r2/2

r = 0 r = R

dϕ = 2π

(

)

Damit können wir nunγbestimmen. Sei hierzu a>0 und g(a) =

*

−a

ae^{− x2/2}dx.

Dann gilt

g(a)² =

( ^*

) ( ^*

)

=

*

−a a

*

−a

ae^{− x2/2}e^{− y2/2}dx dy =

*

[ −a, a ]² f.

K(a)

[ − a, a ]² K(£2 a) Wegen K(a)⊆[ −a, a ]²⊆K(£2a) und f≥ 0 gilt

*

*

[ −a, a ]²f ≤

*

K(£2a)f.

Folglich ist

2π

(

)

(

)

Die linke und rechte Seite strebt gegen 2π, wenn a gegen unendlich strebt.

Wegen lima→∞g(a) =γgilt alsoγ=£2π.

Bemerkung

Erweitert man die Theorie auf Funktionen mit nichtkompaktem Träger, so kann man folgende Kurzform des Arguments rechtfertigen:

γ² =

( ^*

) ( ^*

)

^*

^*

=

*

0 2π

*

0

∞e^−r2/2 r dr dϕ =

*

0

2π−e^{− r2/2}

|

Ebenso kann man dann das Gauß-Integral nach der folgenden auf Laplace zurückgehenden Methode ohne Verwendung von Polarkoordinaten berechnen:

γ²

4 = γ

2 γ

2 =

( ^*

) ( ^*

)

=

*

0

∞

*

0

∞e^{− (x2+ y2)/2}dx dy (Substitution „y = x t “)

=

*

0

∞

*

0

∞x e^{− (x2+ x2t2)/2}dt dx

=

*

0

∞

*

0

∞x e^{− x2(1 + t2)/2}dx dt

=

*

0

∞ −1

1 + t² e^{− x2(1 + t2)/2}

|

^*

= arctan(t)

|

Die Funktion g :R² →Rmit g(x, y) = |x| e^{− x2(1 + y2)/2}. Das Volumen unterhalb von g ist identisch mit dem Volumen unterhalb der Gauß-Funktion.

Integration für Funktionen in räumlichen Polarkoordinaten

ϕ θ

Auch dreidimensionale Funktionen können in Polarkoordinaten dargestellt werden, wobei hier drei Koordinaten r,θ,ϕverwendet werden. Üblich ist die folgende Bedeutung dieser Koordinaten:

(1) Die Koordinate r≥0 misst den Abstand eines Punktes (x, y, z) zum Ursprung.

(2) Die KoordinateθP[ 0,π]

gibt den Winkel an, den (x, y, z) mit der positiven z- Achse einschließt.

(3) Die KoordinateϕP[ 0, 2π[ misst den Winkel der Projektion (x, y, 0) des Punktes auf die x-y-Ebene wie bei ebenen Polarkoordinaten.

Damit istθder „polare Breitengrad“ undϕder „Längengrad“ eines Punktes p, der sich auf der Oberfläche einer Kugel mit Radius r befindet. (Im Gegensatz zur Geographie wird der Breitengrad hier nicht vom Äquator, sondern vom Nordpol aus gemessen, und der Längengrad wird auf die positive x-Achse geeicht.) Dieser geometrischen Bedeutung der Polarkoordinaten entsprechen, wie im zweidi- mensionalen Fall, FunktionenΨundΦ, die die wechselseitige Umrechnung von x, y, z in Polarkoordinaten r,ϕ,θbeschreiben.

Definition (Umrechnung von Achsenkoordinaten in Polarkoordinaten im Raum) Wir setzenP= { (0, 0, 0) }∪] 0,∞[×[ 0,π]×[ 0, 2π[ und definieren Ψ:R³ →Pfür alle x, y, zPRdurch

Ψ(x, y, z) =

(

)

=

(

)

GiltΨ(x, y, z) = (r,θ,ϕ), so heißen r,θ,ϕ(räumliche) Polarkoordinatenoder Kugelkoordinatenvon (x, y, z).

Zur Begründung der Definition derθ-Koordinate betrachten wir das recht- winklige Dreieck mit den Ecken

A = 0, B = (0, 0, z), C = (x, y, z).

θsoll nach (2) der Winkel an der Ecke A dieses Dreiecks sein. Die Strecke von B nach C hat die Länge a =i(x, y, 0)i. Damit ist das Dreieck ABC kongruent zum ebenen Dreieck mit den Ecken 0, (z, 0), (z, a), sodassθ= arg(z + i a).

Definition (Umrechnung von Polarkoordinaten in Achsenkoordinaten im Raum) Wir definierenΦ: [ 0,∞[×[ 0,π]× R →R³durch

Φ(r,θ,ϕ) = r sin(θ)

(

)

(

)

= r

(

)

Für räumliche Polarkoordinaten gilt der folgende Integrationssatz:

Satz (Integration in räumlichen Polarkoordinaten)

Sei f :R³ →Reine integrierbare Funktion mit kompaktem Träger.

Dann gilt I(f) =

*

0

∞

*

0 π

*

0

2πf+Φ(r,θ,ϕ) r²sin(θ) dϕdθdr

=

*

0

∞

*

0 π

*

0

2πf

(

)

In der angegebenen Reihenfolge der Integration wird bei festgehaltenem r undθüber den Längengradϕintegriert. Polarkoordinaten mit festen Werten r undθbeschreiben Breitenkreise der Oberfläche der Kugel Krmit Mittelpunkt 0 und Radius r. Läuft nunθbei festem r von 0 nachπ, so durchlaufen diese Breiten- kreise vom Nordpol zum Südpol die gesamte Oberfläche der Kugel Kr. Läuft nun noch r von 0 nach unendlich, so füllen diese Kugeloberflächen den gesamten Raum aus. Der „Transformationsfaktor“ r²sinθlässt sich dabei wie folgt verste- hen: Die Oberfläche einer Kugel mit Radius r ist das r²-Fache der Oberfläche ei- ner Kugel mit Radius 1, trägt also das entsprechende Gewicht zum Integral bei.

Weiter ist der Umfang des dem Winkelθentsprechenden Breitenkreises auf K_r das sin(θ)-Fache des Umfangs des Äquatorialkreises auf K_rmit Radius r, sodass diese Breitenkreise ein entsprechendes Gewicht zum Integral beitragen.

Beispiel: Berechnung der Kugelvolumens

Sei R>0, und sei K = { (x, y, z)PR³|i(x, y, z)i≤R }. Dann ist 1_Keine integrierbare Funktion mit kompaktem Träger, und I(1_K) ist das Volumen einer Kugel mit Radius R. Nach dem Satz gilt

I(1K) =

*

0 R

*

0 π

*

0

2π1⋅r²sin(θ) dϕdθdr

=

*

0 R

*

0

π2πr²sin(θ) dθdr

=

*

0

R2πr² − cos(θ)

0

π dr =

*

0

R4πr²dr = 4 3 πR³.

Zylinderkoordinaten

ImR³sind neben Polarkoordinaten auch Zylinderkoordinaten in Gebrauch.

Ein Punkt (x, y, z) des Raumes hat dabei Zylinderkoordinaten (ρ,ϕ, z′), falls (ρ,ϕ) ebene Polarkoordinaten von (x, y)PR² sind und weiter z′= z gilt. Die dritte Komponente ist also der übliche Höhenanteil, während die Koordinaten x und y durch die ebenen Polarkoordinaten ersetzt werden.ρist die Länge der Projek- tion des Vektors (x, y, z) auf die x-y-Ebene, undϕist das Argument von x + i y im Winkelintervall [ 0, 2π[. (Da r oft stillschweigend für die Länge von (x, y, z) ver- wendet wird, ist es günstig, eine andere Variable zu wählen, und hier bietet sich ρan.) Wie für die ebenen und räumlichen Polarkoordinaten werden Transfor- mationsfunktionenΨundΦerklärt:

Ψ(x, y, z) =

(

)

(

)

Ihrer Natur nach sind Zylinderkoordinaten besonders geeignet, Punkte einer bzgl. der z-Achse rotationssymmetrischen Menge zu beschreiben. Für eine Funktion g : [ 0, h ] →] 0,∞[ ist

A =

{

_|

}

der Körper, der entsteht, wenn wir [ 0, h ] als Teilmenge der z-Achse auffassen und die Funktion g um die z-Achse rotieren. Es gilt

Ψ[ A ] =

{

_|

}

Die Menge auf der rechten Seite können wir als Darstellung von A in Zylinder- koordinaten auffassen.

In der x-y-Ebene sind Zylinderkoordinaten ebene Polarkoordinaten, sodass bei Integration in Zylinderkoordinaten ein Transformationsfaktor ρ hinzu- kommt:

Satz (Integration in Zylinderkoordinaten)

Sei f :R³ →Reine integrierbare Funktion mit kompaktem Träger.

Dann gilt I(f) =

*

−∞

∞

*

0

∞

*

0

2πf+Φ(ρ,ϕ, z) ρ dϕdρdz.

Die Transformationsformel

Wir haben nun mehrere Beispiele kennengelernt, wie wir Integrale in anderen Koordinatensystemen berechnen können. Der Übergang von den Achsenkoor- dinaten zu den neuen Koordinaten ist dabei durch eine FunktionΨgegeben, die Rückübersetzung durch eine FunktionΦ. Bei der Berechnung von Integralen in den neuen Koordinaten ist ein Korrektur- oder Transformationsfaktor zu be- rücksichtigen, der sich aus der geometrischen Natur des Koordinatenwechsels ergibt. Wir hatten ihn von Fall zu Fall anschaulich begründet. Allgemein gilt:

Satz (Transformationsformel)

Seien A, B⊆RⁿJordan-messbar, und seiΦ: A →B bijektiv derart, dass ΦundΨ=Φ⁻¹stetig differenzierbar sind. Dann gilt für alle integrierbaren Funktionen f : B →Rmit kompaktem Träger:

I(f ) =

*

Bf(x1, …, xn) dx1… dxn

=

*

A

f+Φ(y₁, …, y_n)

|

|

Der Korrekturfaktor an einem Punkt y ist bei der Koordinatentransformation Ψ=Φ⁻¹also gegeben durch den Betrag der Determinante der Jacobi-Matrix von Φim Punkt y. Da diese Determinante die Volumenverzerrung der Linearisie- rung vonΦim Punkt y angibt, ist es nicht überraschend, dass dieser Faktor bei der Integration zu berücksichtigen ist. Streckt Φ den Raum im Punkt y, so staucht unsere TransformationΨden Raum im Punkt x =Φ⁻¹(y), und deswegen müssen wir in der transformierten Berechnung den Punkt y mit einem entspre- chend höheren Gewicht versehen, um die Stauchung auszugleichen. Analoges gilt, wennΦim Punkt y den Raum nicht streckt, sondern staucht.

Der Leser vergleiche die Transformationsformel mit der Substitutionsregel.

Für letztere kamen wir ohne Bijektivität und ohne Betragsstriche aus. Die mehr- fach durchlaufenen Bereiche löschen sich hier automatisch aus, und negative Ab- leitungen werden durch die Integrationsgrenzen ausgeglichen.

Zur Illustration betrachten wir die Transformationsformel für die räumlichen Polarkoordinaten. Hier gilt für alle (r,θ,ϕ)P[ 0,∞[×[ 0,π]×R:

Φ(r,θ,ϕ) = r

(

)

Schränken wirΦauf die offene Menge A = ] 0,∞[ × ] 0,θ[ × ] 0, 2π[ ein, so erfülltΦ: A →B mit B = R³ − { (x, 0, z) | x≥ 0, zPR}

die Voraussetzungen des Satzes. Die Menge B ist der ganze dreidimensionale Raum ohne die durch die positive x-Achse und die z-Achse definierte Halb- ebene, die für die Integration im Raum so unwesentlich ist wie im Eindimen- sionalen ein Punkt und im Zweidimensionalen eine Gerade. Die Determinante der Jacobi-Matrix vonΦin einem Punkt (r,θ,ϕ)PA berechnet sich zu

det J_Φ(r,θ,ϕ) =

∂_rΦ₁ ∂_θΦ₁ ∂_ϕΦ₁

∂rΦ2 ∂_θΦ2 ∂_ϕΦ2

∂_rΦ₃ ∂_θΦ₃ ∂_ϕΦ₃

=

sinθcosϕ r cosθcosϕ − r sinθsinϕ sinθsinϕ r cosθsinϕ r sinθcosϕ

cosθ −r sinθ 0

= r²cos²ϕsin³θ + r²sin²ϕsin³θ + r²cos²θsinθ

= r²sinθ

(

)

= r²sinθ,

wobei wir die Determinante durch Entwicklung nach der ersten Spalte berech- net haben. Für alle betrachteten r undθist r²sinθgrößergleich 0, sodass

|r²sin(θ)| = r²sin(θ).

Damit liefert die Transformationsformel unseren anschaulich begründeten Kor- rekturfaktor.

-2 -1 0 1 2 -2

-1 0 1

2-2 -1 0 1 2

-2 -1 0 1 2

Ausblick: Oberflächen von Funktionsgraphen

Durch geometrische Überlegungen konnten wir eine Formel für die Oberflä- che von Rotationskörpern gewinnen. Nicht alle elementargeometrischen Ober- flächen entstehen jedoch durch Rotation. Sattelflächen und Ellipsoide mit paar- weise verschiedenen Halbachsen sind Beispiele hierfür. Wir wollen deswegen nun noch einen weiteren Oberflächentyp betrachten, der zwar immer noch nicht so allgemein wie möglich ist, aber zumindest Sattelflächen, allgemeine Ellipso- ide und viele andere Beispiele umfasst. Wir betrachten hierzu eine Funktion f : P →R, P ⊆ R²

und fragen, welchen Inhalt der Graph A(f ) = { (x, y, f(x, y)) | (x, y)PP } ⊆ R³

von f besitzt. Wir untersuchen also Höhenlandschaften im Hinblick auf ihre Flä- che. Die Idee ist wieder, A(f ) durch einfache Flächen zu approximieren, deren In- halt bekannt ist. Nehmen wir an, dass f differenzierbar ist, so bieten sich hierzu Stücke der Tangentialebenen von f an. Wir überziehen hierzu P mit einem Gitter der Maschenweiteδ >0 und betrachten für jedes Quadrat Q des Gitters die auf Q zurückgeschnittetene Tangentialebene hQ: Q →Rvon f im Punkt

(mQ, f(mQ)), wobei mQ = „der Mittelpunkt von Q“.

Dadurch wird A(f) durch räumliche Parallelogramme mit den Ecken (p₁, h(p1)), (p₂, h(p₂)), (p₃, h(p₃)), (p₄, h(p₄))

appoximiert, wobei p₁, …, p₄die Ecken von Q sind. Die folgenden Diagramme illustrieren diesen Ansatz.

Ein Gitter der Maschenweite δ = 1/2

auf P = [ − 2, 2 ]². Eine differenzier- bare Höhenlandschaft auf P kann durch über den Quadraten des Gitters angebrachten Tangentialebe- nen von f approximiert werden. Sie berühren A(f ) über den Mittelpunk- ten der Quadrate.