Die schwache Lösung des dritten Randwertproblems der statischen Elastizitätstheorie in $L^q$ für das Differentialgleichungssystem $\Delta\underline{u}+\lambda\nabla div\underline{u}=div\underline{\underline{f}}$ im beschränkten Gebiet und Außengebiet

Die schwache L¨osung des dritten Randwertproblems der statischen Elastizit¨atstheorie in L

f¨ ur das

Differentialgleichungssystem

∆u + λ∇divu = divf

im beschr¨ankten Gebiet und Außengebiet

Von der Universit¨at Bayreuth zur Erlangung des Grades eines

Doktors der Naturwissenschaften (Dr. rer. nat.) genehmigte Abhandlung

von

Alexander Gerlach,

geboren am 23.11.1978 in Hamburg

1. Gutachter: Prof. Dr. C.G. Simader 2. Gutachter: Prof. Dr. H. Sohr

Tag der Einreichung: 18.5.2006 Tag des Kolloquiums: 31.7.2006

Inhaltsverzeichnis

Einleitung I

1 Notationen und Vorbereitungen 1

2 Funktionaldarstellung in H 15

3 Funktionaldarstellung in H_ω 43

4 Funktionaldarstellung in Ω 95

5 Die Randwerte 143

Index 149

Literaturverzeichnis 151

Einleitung

In dieser Arbeit wird die Existenz einer schwachen L¨osung des dritten Randwertproblems der statischen Elastizit¨atstheorie in L^q (1< q < ∞) f¨ur die Lam´egleichung gezeigt. Die- se Gleichung beschreibt die Auslenkung eines linearen, isotropen, homogenen elastischen Mediums unter Einwirkung einer ¨außeren Kraft im statischen Fall. F¨ur die Randbedin- gung, auch harter Kontakt genannt, sind die Normalkomponente der Auslenkung und die Tangentialkomponente des Druckvektors am Rand gegeben.

Der Nachweis einer L¨osung wurde bereits von Kozhevnikov [Ko2] 1993 mittels der Theorie der Pseudodifferentialoperatoren f¨ur beschr¨ankte Gebiete imR³mitq= 2 behandelt. Vor- liegende Arbeit zeigt die Existenz einer schwachen L¨osung in Rⁿ sowohl f¨ur beschr¨ankte Gebiete als auch f¨ur Außengebiete ohne auf die Theorie der Pseudodifferentialoperatoren zur¨uckzugreifen.

Zun¨achst wird die schwache L¨osbarkeit der Lam´egleichung f¨ur den Fall des oberen Halb- raumes und des gesamtenRⁿ gezeigt. Durch die so erlangten a-priori-Absch¨atzungen und zugeh¨origen Regularit¨atsaussagen k¨onnen mittels der Piolatransformation die Resultate des gekr¨ummten Halbraumes auf die des Halbraumes zur¨uckgef¨uhrt werden. Die Piola- transformation wird in diesem Falle f¨ur den Erhalt der Randbedingung ben¨otigt.

Wegen der Invarianz der schwachen Form der Lam´egleichung bez¨uglich Translation und orthogonaler Transformation ist eine R¨uckf¨uhrung der Problemstellung von beschr¨ankten Gebieten und Außengebieten mittels Zerlegung der Eins-Methoden auf Resultate f¨ur den gest¨orten Halbraum und den gesamten Rⁿ m¨oglich.

Ein Teil der Randbedingungen wird im gew¨ahlten L¨osungs- bzw. Testraum versteckt (hier: am Rande verschwindende Normalkomponente des Feldes). Der noch fehlende Teil ergibt sich aus der Wahl der zugeh¨origen Sesquilinearform.

Wenn die gleiche Differentialgleichung mit verschiedenen zus¨atzlichen Randbedingungen (vgl. I) und II) unten) im Sinne der schwachen L¨osungen behandelt werden soll, so sind den Randbedingungen angepasste, unterschiedliche Sequilinearformen zu w¨ahlen (vgl. da- zu auch Bemerkung 5.3 und 5.4).

Betrachte von nun an die Lam´egleichung

∆u+λ∇divu=divf

mit den Randbedingungen I)

n

X

i,k=1

∂_iu_kT_k^(j)N_i ∂Ω

=

n

X

i,k=1

f_ikT_k^(j)N_i ∂Ω

und < u, N >|_∂Ω = 0,

II)

n

X

i,k=1

h

∂_iu_kT_k^(j)N_i+∂_ku_iT_k^(j)N_ii ∂Ω

=

n

X

i,k=1

f_ikT_k^(j)N_i ∂Ω

und < u, N >|_∂Ω= 0.

Hierbei sei T^(j)(x) = (T₁^(j)(x), ..., Tn^(j)(x)), j = 1, ..., n−1 eine Basis im Tangentialraum von∂Ω im PunktexundN(x) = (N₁(x), ..., N_n(x)) der ¨außere Normalenvektor inx∈∂Ω.

Eine schwache Form der Randbedingung

< u, N >|_∂Ω = 0 ist

Z

Ω

u∇Ψdx=− Z

Ω

divuΨdx∀Ψ∈C₀^∞(Rⁿ).

Die schwachen Formulierungen obiger Probleme lauten (vgl. Bemerkung 5.3 und 5.4):

F¨ur Randbedingung I: Gesucht ist u∈Y^1,q(Ω) :=







v ∈L^1,q(Ω) : Z

Ω

v∇Ψdx=− Z

Ω

divvΨdx∀Ψ∈C₀^∞(Rⁿ)





 mit (f_ik ∈L^q(Ω), i, k= 1, ..., ngegeben)

B₁(u,Φ, λ₁,Ω) : =<∇u,∇Φ>_Ω +λ₁ < divu, divΦ>_Ω

=

n

X

i,k=1

Z

Ω

f_ik∂_iΦ_kdx f¨ur alle Φ∈Y^1,q0(Ω). (1)

F¨ur Randbedingung II: Gesucht ist u∈Z^q(Ω) :=







R^q (vgl. Def. 4.18) im Falle des beschr¨ankten Gebietes Y^1,q(Ω) im Falle des Außengebietes

mit (f¨ur (u) vgl. Def. 2.2) B₂(u,Φ, λ₂,Ω) : = 1

2 < (u), (Φ)>_Ω + (λ₂−1)< divu, divΦ>_Ω

=

n

X

i,k=1

Z

Ω

f_ik∂_iΦ_kdx f¨ur alle Φ∈Z^q0(Ω). (2)

Die schwache Form der Randbedingung (< u, N >|_∂Ω = 0) ist dabei in der Definition des Raumes Y^1,q(Ω) bzw. Z^q(Ω) enthalten, die andere ergibt sich durch die Wahl der Sesquilinearform (vgl. Bemerkung 5.3 und 5.4).

Ausgangspunkt f¨ur diese Fragestellung war die Arbeit [Si2], in der

−∆u+∇p=divf und divu= 0

im oberen Halbraum H := {x∈Rⁿ mit x_n >0, n≥2} mit der Randbedingung II be- handelt wurde.

Zun¨achst wird eine L¨osung von (1) in H gesucht. Daf¨ur sei mit 1< q <∞ X^1,q_G (H) :=n

L^1,q_G (H), ..., L^1,q_G (H),Hˆ₀^1,q(H)o

(f¨ur die R¨aume L^1,q_G (H) bzw. ˆH₀^1,q(H) vergleiche Definition 1.2).

Ausgestattet mit der Norm k∇.k_q,H ist X^1,q_G (H) ein reflexiver Banachraum.

Weiter sei q⁰ := _q−1^q der zu q duale Exponent.

Als Erstes wird f¨ur alle 1 < q <∞ die Variationsungleichung

mittels der jeweiligen Resultate bez¨uglichL^1,q_G (H) bzw. ˆH₀^1,q(H) ([Si2] Corollary 3.15 und Corollary 3.6) gezeigt. Diese Variationsungleichung ist ¨aquivalent (Satz 2.1) zur L¨osbarkeit der Funktionalgleichung

<∇u,∇Φ>=F^∗(Φ) f¨ur alle Φ ∈X^1,q_G⁰(H)

mit u∈X^1,q_G (H) und F^∗ ∈X^1,q_G (H)^∗. (3)

Im n¨achsten Schritt (Satz 2.6) wird gezeigt, dass eine L¨osung von

<∇u,∇Φ>=< p, divΦ> f¨ur alle Φ∈X^1,q_G ⁰(H)

mit u∈X^1,q_G (H) und p∈L^q(H) (4)

existiert, f¨ur die gilt:

divu|_H =p und k∇uk_q,H ≤n2^q10Ckpk_q,Rn

Wegen (3) und (4) ist es nun m¨oglich f¨ur λ₁ 6=−1 eine L¨osung der Funktionalgleichung B₁(u,Φ, λ₁, H) = F^∗(Φ) f¨ur alle Φ ∈X^1,q_G ⁰(H)

mit u∈X^1,q_G (H) und F^∗ ∈X^1,q_G (H)^∗ (5)

zu konstruieren.

Auf ¨ahnliche Weise kann die folgende Regularit¨atsaussage gezeigt werden.

Aus u∈X^1,r_G (H) mit 1< r <∞ und sup

06=Φ∈D_G(H)

<∇u,∇Φ>_H +λ₁ < divu, divΦ>_H k∇Φk_q0,H

<∞

folgtu∈X^1,q_G (H).

F¨ur alle 1 < s <∞ ist hierbei D_G(H) ein dichtliegender Raum von X^1,s_G (H).

Das analoge Regularit¨atsargument inL^1,q_G (Rⁿ) kann ebenso wie die Existenz einer L¨osung der Funktionalgleichung

B₁(v,Φ, λ₁,Rⁿ) =F^∗(Φ) f¨ur alle Φ∈L^1,q_G ⁰(Rⁿ) mit v ∈L^1,q_G (Rⁿ) undF^∗ ∈L^1,q_G (Rⁿ)^∗

bewiesen werden.

Wegen (Lemma 2.17)

n

X

i,k=1

Z

H

∂_iu_k∂_kΦ_idx=< divu, divΦ>_H f¨ur alle Φ∈X^1,q_G ⁰(H) und

n

X

i,k=1

Z

Rⁿ

∂_iv_k∂_kΨ_idx=< divv, divΨ>_Rⁿ f¨ur alle Ψ∈L^1,q_G ⁰(Rⁿ)

gilt das Regularit¨atsargument sowie die Funktionaldarstellung ebenfalls f¨ur B₂(u,Φ, λ₂, H) beziehungsweise B₂(v,Φ, λ₂,Rⁿ).

Um nun die Funktionalgleichung f¨urτ = 1,2

B_τ(u,Φ, λ_τ, H_ω) = F^∗(Φ) (6)

im gest¨orten Halbraum H_ω zu l¨osen, war der erste Gedanke, durch normales Glattziehen mittels des Diffeomorphismus

y:Hω →H mit

y_i(x) :=x_i f¨ur alle x∈H_ω und i= 1, ..., n−1 y_n(x) := x_n−ω(x⁰)ρ_ξ(x_n) f¨ur allex∈H_ω

und der Umkehrabbildung x:H →Hω die L¨osbarkeit von (5) zu nutzen.

Doch bei der zugeh¨origen Transformation ˜T(v) := v(x(y)), v ∈ Y^1,q(H_ω), geht i.A. die schwache Form der Randbedingung

Z

Hω

v∇Φdx=− Z

Hω

divvΦdx f¨ur alle Φ ∈C₀^∞(Rⁿ) (7)

inH verloren.

Die Piolatransformation

T(v)(y) := (detDx)(y)Dv(x(y))

hilft in dieser Situation weiter, da hier die Bedingung (7) durch die Transformation nicht ver¨andert wird (siehe dazu Lemma 3.15).

Durch diese Transformation treten nun neben (in Abbh¨angigkeit vonkωk_∞ und k∇ωk_∞)

”kleinwerdenden“ zus¨atzlich kompakte St¨orungen der Sesquilinearform auf. Die zu (6) zu- geh¨orige Variationsungleichung kann aber durch Nutzung der Kompaktheit dieser zus¨atz- lichen St¨orungen gezeigt werden (Satz 3.31).

Eine wichtige Voraussetzung des Satzes 3.31 ist die Eindeutigkeit der L¨osung von (6) (Lemma 3.30). Im Beweis dieses Lemmas wird auch die Einschr¨ankung von λ₁ > −¹_n beziehungsweiseλ₂ ≥1 erkennbar.

Ist p∈T(X^1,2_G (H)) und f¨urτ = 1,2

B_τ(p,Φ, λ_τ, H_ω) = 0 f¨ur alle Φ∈T(X^1,2_G (H)),

so erh¨alt man im Fall τ = 1:

∇T(p)

2

2,Hω +λ₁

divT(p)

2

2,Hω = 0 F¨ur λ₁ >−¹_n folgt daraus p= 0.

Im Fall τ = 2 folgt p= 0, falls λ₂ ≥1 ist.

Ist p ∈ T(X^1,q_G (H)) mit q > 2 und f¨ur τ = 1,2 gilt B_τ(p,Φ, λ_τ, H_ω) = 0 f¨ur alle Φ ∈ T(X^1,q_G ⁰(H)), so erh¨alt man p ∈ T(X^1,2_G (H)) durch Zur¨uckf¨uhrung des Problems auf H und die Benutzung der Regularit¨atsaussage inH.

Im Falleq <2 folgt durch sukzessives Anwenden der Sobolevungleichungenp∈T(X^1,2_G (H)).

F¨ur die L¨osung von

B_τ(u,Φ, λ_τ,Ω) =F^∗(Φ)

f¨ur ein beschr¨anktes Gebiet oder Außengebiet Ω kann der Rand des Gebietes lokal durch eine Translation und eine orthogonale Transformation auf den Fall des gest¨orten Halb- raumes zur¨uckgef¨uhrt werden.

Mittels Zerlegung der Eins-Methoden folgen dann schließlich die gew¨unschten a-priori- Absch¨atzungen.

An dieser Stelle m¨ochte ich mich ganz herzlich bei meinem Doktorvater Professor Simader f¨ur die intensive Zusammenarbeit, die vielen Anregungen und die zahlreichen Hilfestel- lungen w¨ahrend der gesamten Entstehungszeit dieser Dissertation bedanken.

Mein großer Dank gilt meiner Verlobten, die mich w¨ahrend dieser Zeit immer unterst¨utzt und gerade in schwierigen Zeiten fest an meiner Seite gestanden hat.

Bayreuth, im Mai 2006

Alexander Gerlach

1 Notationen und Vorbereitungen

Notationen 1.1.

Wir betrachten im folgenden Teilmengen des Rⁿ mitn ≥2.

Seien A, B ⊂Rⁿ, A⊂⊂B ist definiert als A⊂B offen, A⊂B und A kompakt.

Wir schreiben Ω(BG), falls Ω⊂Rⁿ ein beschr¨anktes Gebiet (d.h. offen und bogenweise zusammenh¨angend) ist.

Wir schreiben Ω(AG), falls Ω⊂Rⁿ ein Außengebiet ist, d.h. Ω ist offen, zusammenh¨angend und es existiert ein K ⊂Rⁿ mit folgenden Eigenschaften:

K ⊂⊂Rⁿ, 0∈K und Ω = Rⁿ\K (1.1.1)

F¨ur ein Außengebiet sei

R₀(Ω) := inf{R >0 :K ⊂B_R}. (1.1.2)

Seien v_k, g_ik :Rⁿ →R Funktionen f¨ur alle i, k = 1, ..., n.

So sei v :Rⁿ →Rⁿ der Vektor v = (v₁, ..., v_n) mit den Komponenten v_k und g :Rⁿ→R^n×n die Matrix g = (g_ik) mit den Elementen g_ik.

Ist 1< q <∞, so sei q⁰ := q

q−1 der zu q duale Exponent.

Im folgenden sei f¨ur R >0, und x∈Rⁿ B_R(x) :={z ∈Rⁿ :|z−x|< R},

BR:=BR(0) und sei

B_R⁺:={x∈Rⁿ:|x|< R, x_n>0}.

F¨ur x∈Rⁿ sei x⁰ := (x₁, ..., xn−1), alsox= (x⁰, x_n).

Definition 1.2.

Sei 1< q <∞ und sei M ⊂Rⁿ ein Gebiet mit ∂M ∈C⁰. F¨ur m∈N setzen wir:

H^m,q(M) :={u∈L^q(M) :∃D^αu∈L^q(M)∀ |α| ≤m}

L^m,q(M) :=

v ∈L¹_loc(M) :∃D^αv ∈L^q(M)∀ |α|=m L^m,q_G (M) :=







v ∈L^m,q(M) : Z

G

D^αvdx= 0 ∀ |α| ≤m−1







mit 06=G⊂⊂M L^1,q_G (Rⁿ) :=

v :v_i ∈L^1,q_G (Rⁿ)∀i= 1, ..., n mit 06=G⊂⊂Rⁿ Y^1,q(M) :=







u∈L^1,q(M) : Z

M

u∇Ψdx=− Z

M

divuΨdx∀Ψ∈C₀^∞(Rⁿ)







Sei H :={x∈Rⁿ mit x_n>0, n≥2} der obere Halbraum und H− :={x∈Rⁿ:x_n <0, n≥2} der untere Halbraum.

Weiter seien:

Hˆ₀^1,q(M) :={v :M →R messbar, v ∈L^q(M ∩B_r) f¨ur alle r >0,

∇u∈L^q(M)ⁿ und es existiert eine Folge (v_k)⊂C₀^∞(M), so dass kv−v_kk_q,M∩B

r +k∇(v−v_k)k_q,M →0 f¨ur jedes r >0 und k→ ∞o X^1,q_G (H) :=n

v :v_i ∈L^1,q_G (H)∀i= 1, ..., n−1, v_n ∈Hˆ₀^1,q(H)o

mit 06=G⊂⊂H

Bemerkung 1.3.

a) F¨ur v ∈L^m,q(M) zeigt man, dass f¨ur |β| ≤m−1 die schwachen Ableitungen D^βv ∈L^q_loc(M) existieren (Beweis siehe [Si1] Theorem 3.1).

b) F¨ur v ∈L^1,q(H) gilt sogar v ∈

u:H →R messbar und u|_A∩H ∈L^q(A∩H) f¨ur jedes kompakte A⊂H¯ (Beweis siehe [Si2] Lemma 3.9).

c) Y^1,q(M) ist wohldefiniert, da aus [Si1] Theorem 4.3 folgt f¨ur u∈L^1,q(M) ist u∈L^q(M ∩B_R) f¨ur alle R > 0.

Lemma 1.4.

Sei Ω(AG)/(BG), Ki ⊂Rⁿ offen und ∂Ω⊂

m

[

i=1

Ki. Sei R₀(Ω) wie in (1.1.2) erkl¨art und weiter seien:

M := Ω\

m

[

i=1

K_i falls Ω(BG) und

M˜ := Ω∩B_4R0(Ω)

\

m

[

i=1

Ki falls Ω(AG)

Dann gilt M,M˜ ⊂Ω und M,M˜ sind kompakt.

Beweis.

Es ist M = Ω∩

m

\

i=1

{Ki

|{z}

abgeschlossen

abgeschlossen und M ⊂Ω beschr¨ankt.

Daher gilt:M ist kompakt.

Wegen∂Ω⊂

m

[

i=1

K_i ist {∂Ω⊃{

m

[

i=1

K_i

!

=

m

\

i=1

{K_i.

Also ist M∩∂Ω = Ω∩∂Ω∩

m

\

i=1

{K_i ⊂Ω∩∂Ω∩{∂Ω

| {z }

=∅

.

Wegen Ω∪∂Ω = Ω und M ⊂Ω ist nunM =M ∩Ω =M ∩Ω∪M ∩∂Ω

| {z }

=∅

⊂Ω.

Lemma 1.5.

Sei 1< q <∞, Ω⊂Rⁿ, und Ω(AG)/(BG) mit ∂Ω∈C⁰. Weiter sei u∈Y^1,q(Ω) und u≡c∈Rⁿ.

Dann istu= 0.

Beweis.

F¨ur alle Ψ∈C₀^∞(Rⁿ) gilt:

Sei nunS = (s_ij)i,j=1,...,n ∈R^n×n eine orthogonale Matrix und sei φ ∈C₀^∞(Rⁿ), dann gilt φ(Sx)∈C₀^∞(Rⁿ) und damit Ψ(x) :=φ(Sx)∈C₀^∞(Rⁿ).

Es ist ∂_iΨ(x) =

n

X

k=1

(∂_kφ)(Sx)s_ki und

n

X

i=1

c_i∂_iΨ(x) =

n

X

i=1

c_i

n

X

k=1

(∂_kφ)(Sx)s_ki =

n

X

k=1

(∂_kφ)(Sx)

n

X

i=1

c_is_ki.

Somit ergibt sich:

0 = Z

Ω n

X

k=1

(∂kφ)(Sx)

n

X

i=1

ciskidx

=

T raf o

Z

S(Ω) n

X

k=1

(∂_kφ)(y)

n

X

i=1

c_is_ki|det(DS^t(y))|

| {z }

=1

dy

= Z

S(Ω) n

X

k=1

(∂_kφ)(y)(Sc)_kdy

Zu jedemc∈Rⁿ existiert ein S ∈O(n,R) mit Sc=|c|e_n, wobeie_n der n-te Einheitsvektor ist.

Sei Ω (BG) :

Sei ohne Einschr¨ankung 0∈Ω und sei B⁰ :=

x∈Rⁿ⁻¹ :|x⁰ −0⁰|< . Da Ω offen ist, existiert ein 1> >0 mit B⁰ × ]−, [ ⊂S(Ω).

Sei nunϕ_r ∈C₀^∞(R) mit 0≤ϕ_r(t)≤1, r >4 und

ϕ_r(t) =

0 f¨ur t≤ −1 und t ≥r+ 1 1 f¨ur t≥1 und t ≤r−1 .

Ω ist ein beschr¨anktes Gebiet. Daraus folgt:S(Ω) ist beschr¨ankt.

Deshalb existiert ein r⁰ >0 mit S(Ω)⊂Br⁰. Sei φ(y) := j(y⁰)ϕ_r⁰⁰y_n

∈C₀^∞(Rⁿ) mit r⁰⁰ := r⁰ + 4

wobeij∈C₀^∞(B(0)) den Gl¨attungskern der Friedrichsschen Gl¨attung bezeichnet.

Wegensupp(∂_nφ)⊂B⁰(0⁰)×]−, [ gilt:

Z

S(Ω)

∂_nφ(y)dy= 1

Z

B⁰(0⁰)×]−,[

j(y⁰)ϕ⁰_r00

y_n

dy

=

F ubini

Z

B⁰(0⁰)

j(y⁰)dy⁰

| {z }

=1

1

Z

−

ϕ⁰_r00

y_n

dy_n

= Z 1

−1

ϕ⁰_r⁰⁰(t)dt=ϕ_r⁰⁰(1)−ϕ_r⁰⁰(−1) = 1 Da aber|c|

Z

S(Ω)

∂_nφ(y)dy= 0 ist, folgt: |c|= 0 Daraus folgtu=c= 0.

Sei Ω (AG) :

Sei ohne Einschr¨ankung 0∈K mit K aus (1.1.1).

Dann existiert ein 1> >0 mit B⁰(0⁰)× ]−, [ ⊂K. Sei R₀(Ω) wie in (1.1.2) definiert. F¨ur R⁰ :=R₀(Ω) + 4 gilt B⁰(0⁰)× ]−+R⁰, +R⁰[ ⊂Ω.

Weiter sei

Φ(y) :=˜ j(y⁰)ϕR0

y_n

∈C₀^∞(Rⁿ). (1.5.1)

Dann gilt:

Z

S(Ω)

∂_nφ(y)dy˜ = 1

Z

B⁰(0⁰)×]−+R⁰,+R⁰[

j(y⁰)ϕ⁰_R0

y_n

dy

=

F ubini

Z

B⁰(0⁰)

j(y⁰)dy⁰

| {z }

=1

1

Z +R⁰

−+R⁰

ϕ⁰_R0

y_n

dy_n

=

Z 1+^R0

−1+^R0

ϕ⁰R0

(t)dt=ϕR0

1 + R⁰

−ϕR0

−1 + R⁰

Da aber|c|

Z

S(Ω)

∂_nφ(y)dy˜ = 0 ist, folgt: |c|= 0 Daraus folgtu=c= 0.

Korollar 1.6.

Sei 1< q <∞,Ω sei (AG) mit ∂Ω∈C⁰.

Weiter sei R₀(Ω) wie in (1.1.2) erkl¨art und R ≥R₀(Ω) + 2.

Sei u∈L^1,q(Ω∩B_R) und Z

Ω∩B_R

u∇Ψdx=− Z

Ω∩B_R

divuΨdx f¨ur alle Ψ∈C₀^∞(B_R).

Dann folgt ebenfalls ausu≡c∈Rⁿ, u= 0.

Beweis.

φ(y) aus (1.5.1) ist ebenfalls aus˜ C₀^∞(BR). Deshalb folgt die Aussage des Korollars analog.

Definition 1.7.

Sei G⊂Rⁿ ein Gebiet. F¨ur 1< q <∞ setzen wir:

k∇vk_q,H :=





n

X

i=1

Z

H

|∂_iv|^q





1 q

f¨ur v ∈L^1,q(H) oder v ∈Hˆ₀^1,q(H)

kzk_q,G :=





n

X

i=1

Z

G

|z_i|^q





1 q

f¨ur z ∈L^q(G)

g

q,G

:=





n

X

i,k=1

Z

G

|g_ik|^q





1 q

f¨ur g ∈L^q(G)

k∇uk_q,G :=





n

X

i,k=1

Z

G

|∂_iu_k|^q





1 q

f¨ur u∈L^1,q(G) kpk_1,q,G:=

kpk^q_q,G+k∇pk^q_q,G¹_q

f¨ur p∈H^1,q(G) F¨ur beschr¨anktes φ ∈C⁰(Rⁿ) sei kφk_∞:= sup

x∈Rⁿ

|φ(x)|.

Lemma 1.8.

Sei 1< q <∞, Ω⊂Rⁿ und Ω(AG)/(BG) mit ∂Ω∈C⁰. Dann ist a) k∇.k_q,Ω Norm auf Y^1,q(Ω)

und b) k∇.k_q,H Norm auf L^1,q_G (H) und Hˆ₀^1,q(H).

Beweis.

a) Aus 0∈Y^1,q(Ω) folgt k∇uk_q,Ω = 0.

Aus k∇uk_q,Ω = 0 folgt u=c, da Ω zusammenh¨angend ist. Weiter gilt wegen Lemma 1.5 u= 0.Die restlichen Eigenschaften folgen trivial.

b) Mit [Na/Si] Lemma 4.1 und [Si2] Theorem 3.2 folgt die Behauptung.

Lemma 1.9.

Die R¨aume (X^1,q_G (H),k∇.k_q,H), (L^1,q_G (Rⁿ),k∇.k_q,

Rⁿ) sind reflexive Banachr¨aume.

Beweis.

Sei f :X^1,q_G (H)→L^q(H) mit f(Φ) → ∇Φ. Es ist k∇Φk_q,H =kf(Φ)k_q,H f¨ur alle Φ∈X^1,q_G (H). Daher ist (X^1,q_G (H),k∇.k_q,H) isometrisch isomorph zu (f(X^1,q_G (H)),k.k_q,H). f(X^1,q_G (H)) ist abgeschlossener Unterraum vonL^q(H), daL^1,q_G (H) und ˆH₀^1,q(H) vollst¨andig sind.

Durch die Reflexivit¨at von L^q erh¨alt man nun mit [Al] Lemma 5.8, die Reflexivit¨at von f(X^1,q_G (H)) und weiter mit [Al] Lemma 5.9 folgt, dass X^1,q_G (H) reflexiv ist.

Analog erh¨alt man die Reflexivit¨at von L^1,q_G (Rⁿ).

Mit [Si1] Theorem 3.4 folgt dann die Behauptung.

Lemma 1.10.

Sei 1< q <∞, Ω⊂Rⁿ und sei Ω(AG)/(BG) mit ∂Ω∈C⁰. Sei R0(Ω) wie in (1.1.2) erkl¨art, R > R0(Ω) + 2 und seien weiter:

Ω := Ω˜ falls Ω(BG) und Ω := Ω˜ ∩B_R falls Ω(AG)

Dann existiert ein C =C( ˜Ω, q)>0 mit kuk_q,Ω˜ ≤Ck∇uk_q,Ω˜ f¨ur alle u∈Y^1,q(Ω).

Beweis.

Angenommen, die Behauptung ist falsch. Dann existiert eine Folge (u_ν)⊂Y^1,q(Ω) mit ku_νk_q,Ω˜ = 1 und k∇u_νk_q,Ω˜ →0.

F¨ur alle k= 1, ..., nsei u^(k)_ν die k-te Komponente von u_ν. Weiter sei c^(k)_ν := 1

|Ω|˜ Z

Ω˜

u^(k)_ν . Mit der H¨olderungleichung folgt dann:

c^(k)_ν ≤ 1

|Ω|˜

u^(k)_ν q,Ω˜

| {z }

≤1

Ω˜

1 q0

≤

Ω˜

−¹

q

Daraus folgt die Existenz einer Teilfolge c^(k)_νj mit c^(k)_νj →c^(k). Sei nunv_j^(k) :=u^(k)_νj −c^(k)_νj .

Dann gilt:

Z

Ω˜

v_j^(k)= 0 (1.10.1)

Mittels der Poincar´eungleichung folgt dann :

v_j^(k)−v^(k)_l

q,Ω˜ ≤C_p ∇

v_j^(k)−v^(k)_l

q,Ω˜ =C_p ∇

u^(k)_j −u^(k)_l

q,Ω˜ →0 Daraus folgt die Existenz von v^(k) ∈L^q( ˜Ω) mit

v^(k)−v^(k)_j

q,Ω˜ →0.

F¨ur alle Φ∈C₀^∞( ˜Ω) und i, k= 1, ..., n gilt:

Z

Ω˜

v^(k)∂iΦdx= lim

j→∞

Z

Ω˜

v^(k)_j ∂iΦdx

=−lim

j→∞

Z

Ω˜

∂_iv_j^(k)Φdx

=−lim

j→∞

Z

Ω˜

∂_iu^(k)_νj Φdx

= 0

Daraus folgt∂_iv^(k)= 0 und damit d_k:=v^(k)=const f¨ur alle k = 1, ..., n.

Wegen (1.10.1) ist Z

Ω˜

v_j^(k) = 0 f¨ur alle j ∈N. Mittels der H¨olderungleichung folgt dann

|dk|

Ω˜ ≤

Z

Ω˜

v^(k)dx

= Z

Ω˜

v^(k)−v_j^(k)dx

≤

Ω˜

1 q0

| {z }

<∞

v^(k)−v_j^(k)

q,Ω˜ →0 und weiter v :=

n

X

k=1

v^(k)e_k = 0.

Weiter gilt:

u^(k)_ν

j −u^(k)_ν

l

q,Ω˜

=

v_j^(k)+c^(k)_ν

j −v^(k)_l −c^(k)_ν

l

q,Ω˜

≤

v_j^(k)−v_l^(k) q,Ω˜ +

c^(k)_νj −c^(k)_νl

Ω˜

1 q →0

Daher existiert einu^(k) ∈L^q( ˜Ω) mit u^(k)= lim

j→∞u^(k)_νj und u^(k)

q,Ω˜ = 1.

Es giltu^(k) = lim

j→∞v_j^(k)−c^(k)_νj =v^(k)−c^(k). Daraus folgtu^(k) =const

n

F¨ur alle Φ∈C₀^∞( ˜Ω) und i, k= 1, ..., n gilt:

Z

Ω˜

u^(k)∂iΦdx= lim

j→∞

Z

Ω˜

u^(k)_j ∂iΦdx

=−lim

j→∞

Z

Ω˜

∂_iu^(k)_j Φdx

=− Z

Ω˜

0Φdx

Daher gilt:

∂iu^(k) = 0 undu∈L^1,q( ˜Ω) (1.10.2)

Sei R₀(Ω) wie in (1.1.2) erkl¨art und seiR > R₀(Ω) + 2.

Sei M :=Rⁿ falls Ω (BG) und M :=B_R falls Ω (AG).

Mittels der H¨olderungleichung gilt f¨ur alle Ψ∈C₀^∞(M) : Z

Ω˜

(u−u_j)∇Ψdx≤

u−u_j q,Ω˜

| {z }

→0

k∇Ψk_q0,Ω˜

| {z }

≤C

und Z

Ω˜

div(u−u_j)Ψdx≤

∇(u−u_j) q,Ω˜

| {z }

→0

kΨk_q0,Ω˜

| {z }

≤C

F¨ur alle Ψ∈C₀^∞(M) gilt:

Z

Ω˜

u∇Ψdx= lim

j→∞

Z

Ω˜

u_j∇Ψdx

=−lim

j→∞

Z

Ω˜

divu_jΨdx

=− Z

divuΨdx

Aus (1.10.2) folgtu=const.

Mit Lemma 1.5 f¨ur Ω (BG) und Korollar 1.6 f¨ur Ω (AG) folgt dann u= 0.

Dieses steht aber im Widerspruch zu kuk_q,Ω˜ = 1.

Definition 1.11.

Sei M ⊂Rⁿ ein Gebiet.

F¨ur ein meßbares v :M →R erkl¨aren wir den Tr¨ager durch supp(v) := M\n

x∈M :∃ >0, so dass B(x)⊂M und v|_B

(x) = 0 f.¨u.o .

Lemma 1.12.

Sei 1< q <∞ und sei Ω(AG)/(BG) mit ∂Ω∈C⁰. Dann ist(Y^1,q(Ω),k∇.k_q,Ω) ein reflexiver Banachraum.

Beweis.

Nach [Si1] Theorem 3.5 folgt, dassL^1,q(Ω) ein linearer Vektorraum ist.

Sei u, v ∈Y^1,q(Ω), µ∈R. Es ist:

Z

Ω

(µu+v)∇Ψdx=µ Z

Ω

u∇Ψdx+ Z

Ω

v∇Ψdx=−µ Z

Ω

divuΨdx− Z

Ω

divvΨdx

=− Z

Ω

div(µu+v))Ψdx f¨ur alle Ψ∈C₀^∞(Rⁿ)

Daraus folgt die Linearit¨at von Y^1,q(Ω).

Zeige nun die Vollst¨andigkeit von Y^1,q(Ω) bez¨uglich k∇.k_q,Ω. Sei u_ν ∈Y^1,q(Ω) mit

∇(u_ν −u_µ)

q,Ω →0.

Sei Ω (BG) :

Mit Lemma 1.10 undC >0 gilt:

u_ν−u_µ

q,Ω ≤C

∇(u_ν−u_µ)

q,Ω →0 Somit folgt die Existenz einesu∈L^q(Ω) mit:

ku−u_νk_q,Ω →0 (1.12.1)

Aus

∂_iu_ν−∂_iu_µ

q,Ω→0, folgt die Existenz eines f

i ∈L^q(Ω) mit:

f

i−∂iu_ν

q,Ω →0 f¨ur allei= 1, ...n F¨ur alle φ∈C₀^∞(Ω) gilt:

Z

Ω

u∂_iφdx= lim

ν→∞

Z

Ω

u_ν∂_iφdx =−lim

ν→∞

Z

Ω

∂_iu_νφdx=− Z

Ω

fiφdx

Daher gilt:

∂_iu=f

i und k∂_iu−∂_iu_νk_q,Ω →0 f¨ur alle i= 1, ...n (1.12.2) Es gilt wegen (1.12.1) und (1.12.2):

Z

Ω

u∇Ψdx+ Z

Ω

divuΨdx

≤ Z

Ω

(u−u_ν)∇Ψdx+ Z

Ω

u_ν∇Ψdx+ Z

Ω

divu_νΨdx

| {z }

=0

+ Z

Ω

div(u−u_ν)Ψdx

≤ ku−u_νk_q,Ω

| {z }

→0

k∇Ψk_∞

| {z }

≤C₁

+kdiv(u−u_ν)k_q,Ω

| {z }

→0

kΨk_∞

| {z }

≤C₂

Daraus folgt:u∈Y^1,q(Ω)

Sei nun Ω (AG) :

Weiter sei m0 ∈N mit m0 > R0(Ω) (R0(Ω) aus (1.1.2)) und sei Ω_m := Ω∩B_m f¨ur allem ∈N mit m≥m₀.

Mit Lemma 1.10 undC_m >0 gilt:

u_ν−u_µ

q,Ωm ≤C_m

∇(u_ν −u_µ)

q,Ωm →0 Daraus folgt die Existenz eines u^(m) ∈L^q(Ω_m) mit

u^(m)−u_ν

q,Ωm →0 f¨ur alle m≥m₀.

Des Weiteren gilt:

u^(m+1)−u_ν

q,Ωm ≤

u^(m+1)−u_ν

q,Ωm+1 →0 Somit ist u^(m+1)

Ωm =u_m fast ¨uberall. Durch eine ¨Anderung auf einer Nullmenge aus Ω_m, ist u^(m+1)

Ωm =u_m sogar ohne Einschr¨ankung ¨uberall.

Sei nunx∈Ω. Wegen Ω =

∞

[

m=m0

Ω_m existiert ein m₁ ∈ N mit x∈Ω_m f¨ur alle m≥m₁ und es gilt u^(m1+k)(x) =u^(m1)(x) f¨ur alle k∈N. Sei nunu(x) := lim

m→∞u^(m)(x) f¨ur alle x∈Ω.

Dann gilt f¨ur allem ∈N:

u∈L^q(Ω_m) und ku−u_νk_q,Ω

m ≤

u^(m)−u_ν

q,Ωm →0 (1.12.3)

Aus

∂_iu_ν−∂_iu_µ

q,Ω→0 folgt die Existenz eines f

i ∈L^q(Ω) mit

f

i−∂_iu_ν q,Ω

→0 f¨ur allei= 1, ...n.

Sei nunφ ∈C₀^∞(Ω) beliebig, dann existiert ein m2 ∈N mit supp(φ)⊂Bm2. Es ist:

Z

Ω

u∂_iφdx= Z

Ωm2

u^(m2)∂_iφdx

= lim

ν→∞

Z

Ωm2

u_ν∂_iφdx

=−lim

ν→∞

Z

Ωm2

∂_iu_νφdx

=− Z

Ω

fiφdx

Daher gilt:

∂iu=f

i und k∂iu−∂iu_νk_q,Ω →0 f¨ur alle i= 1, ...n. (1.12.4) Sei nun Ψ∈C₀^∞(Rⁿ) beliebig, dann existiert einm₃ ∈N mit supp(Ψ) ⊂B_m3. Wegen (1.12.3) und (1.12.4) gilt:

Z

Ω

u∇Ψdx+ Z

Ω

divuΨdx

≤

Z

Ωm3

(u−u_ν)∇Ψdx+ Z

Ω

u_ν∇Ψdx+ Z

Ω

divu_νΨdx

| {z }

=0

+ Z

Ω

div(u−u_ν)Ψdx

≤ ku−u_νk_q,Ω

| {z }

→0

k∇Ψk_∞

| {z }

≤C₁

+k∇(u−u_ν)k_q,Ω

m3

| {z }

→0

kΨk_∞

| {z }

≤C₂

Daraus folgtu∈Y^1,q(Ω).

Die Reflexivit¨at folgt analog zum Beweis des Lemmas 1.9.

2 Funktionaldarstellung in H

Satz und Definition 2.1.

Seien (X,k.k_X) und (Y,k.k_Y) je reflexive reelle Banachr¨aume.

Weiter sei B :X×Y →R eine beschr¨ankte Bilinearform, d.h. es gibt ein C >0, so dass f¨ur alle (x, y)∈X×Y gilt:

|B(x, y)| ≤Ckxk_Xkyk_Y (2.1.1)

Dann sind folgende Aussagen ¨aquivalent:

1) Es existieren Konstanten C_X >0, C_Y >0 mit i) kxk_X ≤C_X sup

06=y∈Y

B(x, y)

kyk_Y f¨ur alle x∈X ii) kyk_Y ≤C_Y sup

06=x∈X

B(x, y)

kxk_X f¨ur alle y∈Y

2) ZuF^∗ ∈X^∗ (bzw. G^∗ ∈Y^∗) existiert genau ein y_F^∗ ∈Y (bzw. x_G^∗ ∈X) mit F^∗(x) =B(x, y_F^∗) f¨ur alle x∈X

G^∗(y) =B(x_G^∗, y) f¨ur alle y ∈Y.

Es gibt weiter Konstanten D_X >0, D_Y >0 mit:

i) D_Y ky_F^∗k_Y ≤ kF^∗k_X∗ ≤Cky_F^∗k_Y f¨ur alle F^∗ ∈X^∗ ii) D_Xkx_G^∗k_X ≤ kG^∗k_Y∗ ≤Ckx_G^∗k_X f¨ur alle G^∗ ∈Y^∗

Siehe hierzu auch [Ha] Theorem 2. und [Sa].

Wir nennen im Folgenden:

Die Eigenschaft 1)

Ein Paar dualer Variationsungleichungen bez¨uglich der Bilinearform B(., .) auf X×Y.

Die Eigenschaft 2)

Beweis.

A) Es gelte 1)

F¨uryF^∗ ∈Y seiF^∗(x) :=B(x, yF^∗) f¨ur alle x∈X. Wegen (2.1.1) gilt F^∗ ∈Y^∗. Sei σ:Y →X^∗, σ(y) =B(., y) f¨ur y∈Y.

σ ist linear und stetig und es gilt σ(y)∈X^∗. Wegen 1) ii) folgt f¨ur alley ∈Y

kyk_Y ≤C_Y sup

06=x∈X

B(x, y)

kxk_X =C_Y sup

06=x∈X

(σ(y))(x)

kxk_X =C_Y kσ(y)k_X∗. (2.1.2) Sei f¨ur k∈NL^∗_k ⊂σ(Y), L^∗ ∈X^∗ und kL^∗_k−L^∗k_X∗ →0 f¨urk → ∞.

Zu L^∗_k gibt es wegen (2.1.2) genau ein y_k ∈Y mit σ(y_k) =L^∗_k. Weiter folgt aus (2.1.2)

ky_k−y_lk_Y ≤C_Y kσ(y_k−y_l)k_X∗ =C_Y kσ(y_k)−σ(y_l)k_X∗ →0 (l, k→ ∞) und damit die Existenz vony∈Y mit ky_k−yk_X∗ →0 (k → ∞).

Dann ist aber auch kσ(y_k)−σ(y)k_X∗ →0 (k → ∞) und daher L^∗_k =σ(y_k)→σ(y), andererseits ist L^∗_k→L^∗, also L^∗ =σ(y).

Daher istσ(Y) abgeschlossener Unterraum von X^∗. Angenommenσ(Y)(X^∗.

Dann gibt es nach Hahn-Banach einL^∗∗ ∈X^∗∗ mit L^∗∗ 6= 0 und L^∗∗|_σ(Y) = 0.

Wegen der Reflexivit¨at vonX gibt es zu L^∗∗ genau ein x∈X derart, dass gilt:

L^∗∗(x^∗) =x^∗(x) f¨ur alle x^∗ ∈X^∗ WegenL^∗∗6= 0 ist x6= 0.

Andererseits ist f¨ury∈Y durch x^∗(x) :=B(x, y) =σ(y)(x) f¨ur alle x∈X ein x^∗ ∈X^∗ definiert.

Wegen 0 =L^∗∗(σ(y)) = σ(y)(x) =B(x, y) f¨ur alley∈Y folgt nach 1) i) kxk_X ≤CX sup B(x, y)

kyk = 0 im Widerspruch zu x6= 0.

Also ist σ(Y) = X^∗ und f¨ur jedes F^∗ ∈X^∗ gibt es ein y∈Y mit F^∗(x) = B(x, y) f¨ur allex∈X. Wegen 1) ii) folgt:

kF^∗k_X∗ = sup

06=x∈X

F^∗(x) kxk_X

= sup

06=x∈X

B(x, y) kxk_X

≥C_Y⁻¹kyk_Y

und

kF^∗k_X∗ ≤Ckyk_Y

Also gilt 2) i) mit D_Y =C_Y⁻¹, woraus auch die Eindeutigkeit des erzeugenden Elementsy ∈Y folgt. V¨ollig analog folgt die Darstellung der Funktionale G^∗ ∈Y^∗ verm¨oge 1) i) und 1) ii) sowie die Absch¨atzung 2) ii) mit D_X =C_X⁻¹.

B) Es sei 2) erf¨ullt.

Isty ∈Y, so ist durch F^∗(x) := B(x, y) f¨ur alle x∈X ein F^∗ ∈X^∗ definiert.

Wegen 2) gibt es genau einy_F^∗ ∈Y mit F^∗x=B(x, y_F^∗) f¨ur alle x∈X.

Daher istB(x, y) =B(x, y_F^∗) f¨ur allex∈X und wegen der Eindeutigkeit des erzeugenden Elementsy_F^∗ ∈Y folgty=y_F^∗.Daher ist nach 2) i)

D_Y ky_F^∗k_Y ≤ kF^∗k_X∗ = sup

06=x∈X

F^∗(x) kxk_X

= sup

06=x∈X

B(x, y_F^∗) kxk_X

≤

(2.1.1)

Cky_F^∗k_Y ,

woraus 1) ii) mit CY =D_y⁻¹ folgt. Analog folgt 1) i) aus 2) ii).

Definition 2.2.

Sei M ⊂Rⁿ Gebiet undλ ∈R. Es sei X ⊂L^1,q(M) und Y ⊂L^1,q0(M) derart, dass k∇.k_q,M Norm auf X bzw. k∇.k_q0,M Norm auf Y ist. Weiter seien (X,k∇.k_q,M) und (Y ,k∇.k_q0,M) je reflexive reelle Banachr¨aume.

Mit u∈X und Φ∈Y sei

<∇u,∇Φ>_M:=

n

X

i,k=1

Z

M

∂_iu_k∂_iΦ_kdx.

Mit _ik(u) :=∂_iu_k+∂_ku_i f¨ur i, k = 1, ..., n sei

< (u), (Φ)>_M:=

n

X

i,k=1

Z

M

_ik(u)_ik(Φ)dx.

Weiter sei

B₁(u,Φ, λ, M) :=<∇u,∇Φ>_M +λ < divu, divΦ>_M und

B₂(u,Φ, λ, M) :=<∇u,∇Φ>_M +

n

X

i,k=1

Z

M

∂_iu_k∂_kΦ_idx+ (λ−1)< divu, divΦ>_M

= 1

2 < (u), (Φ) >_M + (λ−1)< divu, divΦ>_M . Lemma 2.3.

Sei 1< q <∞. Dann gilt:

Y^1,q(H) = n

v :vi ∈L^1,q(H)∀i= 1, ..., n−1, vn ∈Hˆ₀^1,q(H) o

Beweis.

Sei u∈Y^1,q(H).

Zeigeu∈n

v :vi ∈L^1,q(H)∀i= 1, ..., n−1, vn ∈Hˆ₀^1,q(H) o

:

Sei Φ∈C₀^∞(Rⁿ) und η∈C^∞(R), 0≤η ≤1 mitη(t) :=

0 f¨ur t≤1 1 f¨ur t≥2 0 f¨ur t≤ ¹

Sei nun Φ_k(x) := Φ(x)η_k(x_n). Daraus folgt Φ_k|_H ∈C₀^∞(H).

F¨uri= 1, ..., n−1 ist ∂_iΦ_k(x) = (∂_iΦ(x))η_k(x_n).

Sei R >0 derart gew¨ahlt, dass gilt: supp(Φ)⊂B_R Wegenu_i ∈L^q(B_R∩H) gilt dann :

Z

H

u_i(x)∂_iΦ(x)dx= lim

k→∞

Z

H

u_i(x) (∂_iΦ(x))η_k(x_n)dx

= lim

k→∞

Z

H

ui(x)∂iΦk(x)dx

=−lim

k→∞

Z

H

∂_iu_i(x)Φ_k(x)dx

=− Z

H

∂_iu_i(x)Φ(x)dx

Es ist also f¨ur i= 1, ..., n−1 und f¨ur alle Φ∈C₀^∞(Rⁿ) : u_i ∈L^1,q(H)⇔u_i ∈L^1,q(H) mit

Z

H

u_i(x)∂_iΦ(x)dx=− Z

H

∂_iu_i(x)Φ(x)dx (2.3.1)

Aus Z

H

u∇Φdx=− Z

H

divuΦdx folgt dann:

Z

H

un(x)∂nΦ(x)dx=− Z

H

∂nun(x)Φ(x)dx (2.3.2)

Sei v(x) :=

u_n(x) f¨ur x_n>0

0 f¨ur xn≤0 und (Dv)(x) :=

∂_nu_n(x) f¨urx_n >0 0 f¨urxn ≤0 . F¨ur alle Φ∈C₀^∞(Rⁿ) gilt dann:

Z

Rⁿ

v∂_nΦdx= Z

H

u_n∂_nΦdx

2.3.2= − Z

H

∂_nu_nΦdx

Also existiert∂_nv =Dv. (2.3.3) Ausun ∈L^1,q(H) folgt wieder f¨ur i= 1, ..., n−1 und f¨ur alle Φ∈C₀^∞(Rⁿ) :

Z

Rⁿ

v(x)∂_iΦ(x)dx= Z

H

u_n(x)∂_iΦ(x)dx

= lim

k→∞

Z

H

u_n(x) (∂_iΦ(x))η_k(x_n)dx

= lim

k→∞

Z

H

u_n(x)∂_iΦ(x)_kdx

=−lim

k→∞

Z

H

∂iun(x)Φ(x)kdx

=− Z

H

∂_iu_n(x)Φ(x)dx

=− Z

Rⁿ

∂_iv(x)Φ(x)dx

Also existiert∂_iv(x) :=

∂iun(x) f¨ur xn>0

0 f¨ur x_n≤0 und ∂_iv ∈L^q(Rⁿ). (2.3.4) Somit ist alsov ∈L^1,q(Rⁿ).

Sei δ >0, v_δ(x) :=v(x−δe_n), wobei e_n der n-te Einheitsvektor ist.

Dann gilt f¨ur allei= 1, ..., n−1 und Φ ∈C₀^∞(Rⁿ) : Z

Rⁿ

v_δ(x)∂_iΦ(x)dx= Z

Rⁿ

v(x−δe_n)∂_iΦ(x)dx

=

(xn=yn+δ)

Z

Rⁿ

v(y) (∂_iΦ) (y+δe_n)dy

= Z

Rⁿ

v(y)∂_i[Φ(y+δe_n)]dy

=

(2.3.4)− Z

Rⁿ

∂_iv(y)Φ(y+δe_n)dy

= −

Z

(∂_iv) (x−δe_n)Φ(x)dx