Hinweise zur Behandlung von Problemen unter Anwendung des Energieerhaltungssatzes 1. Die Hauptfrage stellt sich zuerst: Kann der Energiesatz angewendet werden?
Der Energiesatz der Mechanik gilt, wenn keine Energie durch Arbeit gegen dissipative Kräfte auf- gezehrt wird (z.B. Reibung in Wärme umgewandelt wird oder zu Form- und Strukturwandlungen führt – z.B. unelastischer Stoss).
Potentielle Energie – Fähigkeit eines Systems, Arbeit zu verrichten infolge der Wirkung innerer o- der äußerer Kräfte. Die verrichtete Arbeit äußert sich als Differenz von potentiellen Energien zwi- schen zwei aufeinander folgenden Zuständen
2
1 2 2 1
1
pot pot pot
W → = −∫F ds =W −W
Kinetische Energie – Fähigkeit Arbeit zu verrichten gegen die Trägheitskraft ( 12)
2 2 2
1 m2 v v
Wkin → = − . Somit gilt:
Die Summe aus Potentieller und Kinetischer Energie eines Systems ist konstant.
A) Ekin,1+Epot,1 =Ekin,2+Epot,2 = Eges =const. Damit gleichbedeutend:
B) Wpot1→2 +Wkin1→2 =0 2. Vorgehensweise.
• Es ist eine ausreichend große Skizze zu nutzen.
• Es wird in Bewegungsrichtung eine Koordinatenachse festgelegt (Richtung und Ursprung belie- big) bzw. bei mehrdimensionaler Bewegung ein Koordinatensystem.
• Es sind 2 Zustände zu definieren, die sich unterscheiden in ihren Anteilen an Kinetischer sowie Potentieller Energie an der Gesamtenergie.
• Für jeden Zustand sind Ausdrücke für die einzelnen Energien in der Form A) aufzuschreiben.
Die beiden Zustände können Anfangs- sowie Endpunkt einer Bewegung charakterisieren, aber genauso gut auch dazwischen liegende, die durch Variable wie x und v zu beschreiben sind. In der Regel sind x1, v1 sowie entweder x2 oder v2 bekannt.
• Da die Potentielle Energie nur bis auf eine Konstante festgelegt ist, kann man diese variieren und z.B. durch Verschieben des Koordinatenursprungs oder/und durch Wahl einer geeigneten An- fangsgeschwindigkeit erreichen, dass die Gesamtenergie gleich Null wird. Verwendet man die Formulierung B), hebt sich diese Konstante automatisch durch die bestimmte Integration weg.
• Den so formulierten Energiesatz stellt man nach der gesuchten Größe um. Handelt es sich um ei- ne Bewegung miteinander gekoppelter Massen, resultieren aus der Kinematik weitere Gleichun- gen, und ein Gleichungssystem muss aufgelöst werden. Ist der Zustand 2 variabel, erhält man ei- nen Ausdruck v(x) oder x(v).
3. Anwendungsbeispiel
Aufgabenstellung: Berechnen Sie mittels Energieerhaltungs- satz die Beschleunigung der Masse m2, die Reibung sowie Mas- sen von Rollen und Seil seien vernachlässigbar.
Wie in der Abbildung bereits eingezeichnet, ist die x-Achse nach oben orientiert. Man kann Rollen und Massen zunächst so positionieren, dass beide Massen die Koordinaten x1(0)=x2(0)=0 haben und zu Beginn in Ruhe sind. Hieraus folgt Eges=0. Die Summe der Kinetischen und Potentiellen Energien beider Mas- sen ergeben
2 0
2 2 2
2 2 2 1 1 2 1
1 + +m v +m gx =
gx m m v
mit v1 =xɺ1, v2 =xɺ2.
Da m1 über eine lose Rolle an m2 gekoppelt ist, gilt: x1 =−2x2, v1=−2v2. Die Auflösung des Gleichungssystems ergibt 2
2 1
2 1
2 4
2 2 g x
m m
m
v m
+
= − . Da die Potentielle Energie aus
dem homogenen und zeitlich konstanten Schwerefeld der Erde resultiert, sollte es sich um eine gleichmäßig beschleunigte Bewegung handeln. Für eine solche Bewegung (mit den Nebenbedingun- gen x0 = v0 = 0) gilt: v= 2a x. Für die Beschleunigung von m2 erhält man folglich g
m m
m a m
2 1
2 1
2 4
2 +
= − .
Differentiation des Energiesatzes nach der Zeit
Hierbei handelt es sich um eine elegante Methode, aus dem Energiesatz direkt die Beschleunigung zu bestimmen. Da der Energiesatz aus dem Integral der Bewegungsgleichung abgeleitet werden kann (man nennt den Energiesatz auch Integral der Bewegung), lässt sich umgekehrt die Bewegungsglei- chung aus dem Energiesatz durch Differentiation gewinnen. Diese Methode ist auch deshalb sehr att- raktiv, da der Weg zur Bewegungsgleichung über die Analyse von Kräften und Momenten meist deut- lich aufwendiger ist!
2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 2
2 2 2 2 1 1 2 1
1 2
2 2 0 2 2
2 m v v m gv
gv m v m v gx
m m v
gx m m v
dt
d = = + + +
+ + + ɺ ɺ . Mit den Kopplungsbe-
ziehungen v1 =−2v2, vɺ1 =−2vɺ2e erhält man über
( 2) 2 2 2 2 2 2
1 2 2
14 2 /:
0=m vvɺ +mg − v +mv vɺ +m gv v sofort den Ausdruck für a2 s.o.
4. Häufige Fehler bei der Anwendung des Energiesatzes
• Der Energiesatz ist gar nicht anwendbar (Reibung, unelastischer Stoß, Form- oder Strukturände- rung) usw.
• Potentielle und Kinetische Energien eines (Zwischen-) Zustandes werden nicht als Summe auf- geschrieben sondern getrennt auf beide Seiten einer Gleichung, etwa nach dem leider sehr häufig anzutreffendem Schema Epot = Ekin . Dieser Ausdruck ist immer falsch!
• Die Anerkennung der möglichen Variabilität eines zweiten Zustandes bereitet oft Probleme 5. Energiesatz und Reibungsarbeit
Lassen sich die Energieverluste z.B. durch Reibungsarbeit formal beschreiben, kann man den Aus- druck A) um solche Beiträge erweitern.
∫
− +
= +
2
1 2 , 2 , 1 , 1
, E E E F ds
Ekin pot kin pot reib .
Erfolgt die Bewegung in x-Richtung und handelt es sich um Gleitreibung mit Fx,reib =−µFN , ergibt sich aus dieser Energiebetrachtung die nützliche Beziehung
N pot
kin pot
kin E E E x x F
E ,1+ ,1 = ,2+ ,2+( 2− 1)µ ,
wobei der rechte Summand den Energieverlust durch Reibung beschreibt.
