Fakult¨at f¨ur Mathematik
Dr. U. Streit 16. Oktober 2018
H¨ohere Mathematik I (f¨ur MB)
3. ¨Ubung : Matrizen und Determinanten Gegeben sind die Matrizen
A= 2 3
−1 4
, B= 3 5
2 −2
, C= 1 2
2 4
, D=
1 3 2
2 5 3
−3 −8 −4
,
F =
2 0 0
6 3 −5
−4 −2 2
, G=
4 2 −3 5 3 −1 2 0 −7
, H=
2 1
3 −2
1 0
,
J =
3 4 1
−1 2 0
, K=
2 3 1
, L=
4 α 2
(α∈R), M=
3 −1
4 2
1 0
,
N=
0 1 0 0 0 1 0 0 0
, P =
0 1 0 0 0 1 1 0 0
, U =
1 4 −1
0 1 2
0 0 β
(β∈R) .
3.1 Berechnen Sie
A+B , 2K−L , H⊤−J , 6D−2F+ 4G⊤. 3.2 Berechnen Sie
AB , BA , BC+CA , HJ , J H , HK⊤, K⊤DL , AB⊤, BA⊤, AM⊤, P D , DP , N2, P3.
3.3 (a) Gibt es Matrizen, die sowohl symmetrisch als auch schiefsymmetrisch sind ?
(b) Zeigen Sie, dass sich jede quadratische MatrixAals Summe einer symmetrischen MatrixB und einer schiefsymmetrischen MatrixC darstellen l¨asst.
Hinweis:B=12(A+A⊤),C=12(A−A⊤) 3.4 Berechnen Sie die Determinanten von
A , A⊤, B , AB , C , D , P , U .
3.5 F¨ur welchet∈R verschwinden die Determinanten ?
3 −1 t+ 6
2 1 4
t−1 0 −2 ,
sint −cost cost sint
Aufgaben und L¨osungen : www.tu-chemnitz.de/∼ustreit
Fakult¨at f¨ur Mathematik
Dr. U. Streit 16. Oktober 2018
H¨ohere Mathematik I (f¨ur MB)
4. ¨Ubung : Rang. Lineare Gleichungssysteme I
Gegeben sind die Matrizen aus ¨Ubung 3 sowie die rechten Seiten:
a=
3 2 5
, b=
1 0 1
, c= 1
2
, d=
8 5 3
.
4.1 Bestimmen Sie den Rang von N , N2, U, indem Sie die Unterdeterminanten der Matrizen untersuchen.
4.2 Bestimmen Sie den Rang von A , C , D , F , L , P, indem Sie die Matrizen in Trapezform ¨uberf¨uhren.
4.3 L¨osen Sie das lineare Gleichungssystem D x=a mit der Cramerschen Regel.
4.4 Invertieren Sie A , F , P mittels Berechnung der Adjunkten.
4.5 L¨osen Sie die linearen Gleichungssysteme.
F x=a , U x=b f¨ur β6= 0
4.6 Bestimmen Sie die Inverse vonU, indem Sie die
Matrixgleichung U X=I als drei lineare Gleichungssysteme mit gleicher Systemmatrix und verschiedenen rechten Seiten auffassen.
4.7 L¨osen Sie die linearen Gleichungssysteme.
C x= 0, C x=c , G x=a , G x=b , H x=d
Aufgaben und L¨osungen : www.tu-chemnitz.de/∼ustreit
