Lösungen zu 3.5.
3.5.1.
Aufsuchen eines Extremums von ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝⎛ −
= r
r r r
Veff 1 1 S )
( 2 durch
3 0 2 ) 1
( 2 3 3 4 ⎥⎦⎤=
⎢⎣⎡ −
−
⎥⎦=
⎢⎣ ⎤
⎡ −
∂
= ∂
∂
∂
r r r r
r r r r
rV
S S
eff
M r
r S 3
2
3 =
= . Maximum oder Minimum? Dazu 2. Ableitung prüfen.
78 0 , 0 39 , 0 18 , 12 1
3 6 ) 2
( 2 3 4 4 5 4 4
2 2
2 ≈ − ≈ >
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ −
⎥⎦=
⎢⎣ ⎤
⎡− +
∂
= ∂
∂
∂
S S
S S
eff r r r
r r
r r r r r
r V
An der Stelle r rS 3M 2
3 =
= hat die 2. Abl. Positive Krümmung, also Maximum.
Zur Fig. : Geplottet mit Zahlenwerten 2M = rS = 3. Man erhält man ein Max. bei r = 4,5;
V(4,5)= 0.016
3.5.2. ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝⎛ −
= r
r r
b
1 S
1 1
2
2 Einsetzen von r rS 3M
2
3 =
= ergibt
2 2
2 27
4
27r M
b = S = oder b=3 3M Die Höhe der Potentialkurve bei r rS 3M 2
3 =
= wird
12
[
r 3M]
27M2b = = .
M
b>3 3 bedeutet 12 max
b <V masselose Teilchen werden zurück gestreut M
b<3 3 bedeutet 12 max
b >V masselose Teilchen werden vom Schw. Loch eingefangen.
3.5.3. Rotverschiebung
1 1 1
12
= +
⎟ =
⎠
⎜ ⎞
⎝⎛ −
=
g rec lab S
em rec
z r
r v
v
λ λ
1 1 73
, 1
1 3 1 3
1 2
12
= +
=
=
⎟ =
⎠
⎜ ⎞
⎝⎛ −
=
g rec lab em
rec
z v
v
λ
λ = 0,577
Die Gravitations-Rotverschiebung beträgt zg =0,73
