Lösungen zu 2.6.
2.6.1. Die Einsteingleichung lässt sich auch in der Form schreiben
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ −
= T g T
Rkl kl kl 2 κ 1
wobei T definiert ist als folgende Summe T = gklTkl .
Starten mit Einstein Gl. . Multiplizieren mit gik und Summieren
ik ik kl
ik g R T g
R − =κ ⋅
2 1
ik ik ik
ik ik
ikg g g R T g
R − =κ
2
1
____________________________
T R R− ⋅4 =κ
2 1
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝⎛−
⋅
=
− 2
gkl
T
R κ
T g R
gkl kl
2 1 2
1 =−κ
+ Addiere Einstein Gl.
Rik− gklR=κTik 2
1
____________________________
Das Resultat hat die gewünschte Form ⎟
⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛ −
= T g T
Rkl kl kl 2 κ 1
2.6.2. Metrik der Kugeloberfläche ds2 =r2dθ2 +r2sin2θdφ Daraus Lagrangefkt. 2L=mr2θ&2 +mr2sin2θφ&2
Aus
∫
Ldt =Extremum folgt dtd ⎜⎝⎛∂∂x&Lk ⎟⎠⎞−∂∂xLk =0 mit x1 =θ, x2 =φ=0
∂
−∂
⎟⎠
⎜ ⎞
⎝
⎛
∂
∂ θ θ
L L dt
d
& Festlegung der Randbed. , 0
2 =
=π θ
θ &
0 cos
sin 2
2
2θ&&−r θ θφ& =
mr ergibt θ&&=0
=0
∂
−∂
⎟⎟⎠
⎜⎜ ⎞
⎝
⎛
∂
∂
φ φ
L L dt
d
& 2mr2sin2θφ&&=0 folgt mr2φ&= J =const. Drehimjpuls ist
konstant (auf dem Äquator) ein Großkreis ist geodätische Bahn.
Die Bahn in der Äquator-Ebene kann in φ(t);r =konst.berechnet werden.
∫
=
−
2
1 1 2
2 dt
r m φ J
φ
2.6.3. Unter welchem Winkel erscheint das Schwarze Loch im Zentrum unserer Galaxie?
Durchmesser des Schw. Lochs 2rS =4⋅106⋅2⋅2,95 km Abstand von Erde D=8,3⋅103⋅3,08⋅1013 Beobachtet wird
D tg 2rS
δ = gefragt ist 2 .
sek Mikrobogen D in
arctg rS
. 19
10 23 ,
9 ⋅ 11≅ Mikrobogensek
= −
δ Numerik
>
2rS/D=v
arctg 2rS/D in Bogensek. 19
Fakultative Aufgabe :
l km m il m lm l ik l
k il l
l ik
Rik =Γ , −Γ , +Γ Γ −Γ Γ
= Γ Γ
− Γ Γ + Γ
− Γ
= l l ll l lmm ml lm R00 00, 0,0 00 0 0
= α′′exp2(α −β)+2α′(α′−β′)exp2(α −β)−0+Γ001Γ1mm −Γ0mlΓ0lm
) ( 2
2exp
1 00 0
10Γ =α′ α −β
Γ
−
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ + + ′
⋅
′ −
= Γ
Γ α α β β
r r
m m
1 ) 1
( 2
1 exp
1 00
⎥⎦⎤
⎢⎣⎡ ′+ ′ ′− ′
′+
− ′ + ′
− ′′
= 2 2
00
2 2 2
) ( 2
exp α β α α αβ α αβ α
R r
2 0 )
( 2
exp 2
00 ⎥⎦⎤=
⎢⎣⎡ ′
′+
− ′ + ′
− ′′
= r
R α β α α αβ α Ergebnis
l m m l m lm l l
l l
R11 =Γ11,l −Γ1,1+Γ11Γ −Γ1 Γ1
[ ]
+
Γ Γ
− Γ Γ
− Γ Γ
− Γ Γ
− Γ + Γ + Γ + Γ Γ + Γ
− Γ
− Γ
− Γ
′′ −
=
100,1 111,1 122,1 133,1 111 100 111 122 133 100 100 111 111 122 122 133 13311
β
R
2 2 3
1 , 13 2
1 , 12 1
1 , 11 0
1 , 10
1 1
r r +
′′+
′′−
−
= Γ
− Γ
− Γ
− Γ
− α β
r r
r
β β β α β
α
β ⎥⎦⎤= ′ ′+ ′ + ′
⎢⎣⎡ ′+ ′+ +
= ′
Γ 1 1 2
[] 2
1
11 =
2 2
2 2
−r
− ′
− ′
=
−
−
−
− α β
2 2 2 2
11 2
2 2
2
r r
R r ′− ′ − ′ −
′ +
′+ + ′
′′+
′′−
′′−
=β α β αβ β β α β
2 2 0
11 ′− ′ =
′+ + ′
− ′′
= α αβ β α
R r Ergebnis
_____________________________________________________
