Das hatten wir schon in Blatt 3, Aufg

Universit¨at Karlsruhe Institut f¨ur Theorie der Kondensierten Materie

Ubungen zur Theoretischen Physik F¨ SS 08

Prof. Dr. P. W¨olfle Musterl¨osung

Dr. M. Greiter Blatt 10

1. Molekularfeldtheorie des Antiferromagneten (10 Punkte) (a) Z^eff ist die Zustandssumme von nicht-wechselwirkenden Spins im Magnetfeld. Das hatten wir schon in Blatt 3, Aufg. 1 ; allerdings ist jetzt das Magnetfeld f¨ur jeden der N Spins unterschiedlich, die Zustandssumme faktorisiert nat¨urlich trotzdem:

Z^eff = Tr[e^−βHeff] = X

α

e^−βEα = YN

i=1

Z_i

mit

Zi =Z1(B+Bi) , Z1(h) = XS

m=−S

e^{βh m} , Z1(h) = sinh βh^2S+1₂ sinh βh¹₂ (siehe Blatt 3, Aufg. 1 a) )

Genauso haben wir in Blatt 3 schon die Magnetisierung berechnet:

hS_i^zi= 1

Z^effTr[e^−βHeffS_i^z] =~ 1 Zi

XS

mi=−S

mie^β(B+Bi)mi

Mit Blatt 3, Aufg. 1 b) folgt hS_i^zi=~m(B+Bi) mit

m(h) = ∂

∂ βhln Z1(h)

= 2S+ 1

2 coth βh2S+ 1 2

−1

2coth βh1 2

F¨ur die Erwartungswerte der anderen Spinkomponenten gilt hS_i^xi=hS_i^yi= 0 ⇒ hS_ii=hS_i^zie_z

denn unter der Spur Tr[e^−βHeff. . . ] , die ja in einer beliebigen Basis, also z.B. der S^z-Eigenbasis ausgewertet werden kann (wie bisher geschehen), tragen S^x und S^y nicht bei, z.B.:

hS_i^xi= 1 Zi

XS

mi=−S

e^β(B+Bi)mihm_i|S_i^x|m_ii , S^x = 1

2(S⁺+S⁻) , hm|S^±|mi= 0 Seite 1 von 4

F¨ur die Korrelationsfunktion kann man sich wieder zunutze machen, daß alles fak- torisiert:

hSiS_ji = 1

Z^effTr[e^−βHeffS_iS_j]

= 1

ZiZj

XS

mi=−S

XS

mj=−S

e^β(B+Bi)mie^β(B+Bj)mjhm_i|S_i|m_ii hm_j|S_j|m_ji

= hSii hSji

Mit dem Ergebnis f¨ur den Erwartungswert von eben gilt also hS_iS_ji=hS_i^zi hS_j^zi

(b) Die verallgemeinerte freie Energie (das Variationsfunktional) ist jetzt schnell erle- digt:

Fe(T, B,{Bi}) = J 2~²

XN

i=1

X

j=(n.N. i)

hS_i^zihS_j^zi + 1

~ XN

i=1

BihS_i^zi − kT XN

i=1

ln Zi

mit

hS_i^zi=~m(B+Bi) , m(h) =. . . aus (a).

(c) Ansatz:

Bi =

B^A f¨ur i∈ A BB f¨ur i∈ B

(Wegen B 6= 0 ist im Allgemeinen nicht BA =BB oder BA =−BB!! ) Damit folgt

hS_i^zi=

~m(B+BA)≡~mA f¨ur i∈ A

~m(B+BB)≡~mB f¨ur i∈ B In Fe gilt damit

XN

i=1

X

j=(n.N. i)

hS_i^zihS_j^zi=N z~²mAmB

denn wenn i ∈ A, dann ist j ∈ B und umgekehrt. z = 4 ist die Anzahl n¨achster Nachbarn (Koordinationszahl). Die anderen Terme in Fe ergeben einfach N/2 mal den Beitrag von einem Platz aus einem Untergitter und N/2 mal den Beitrag von einem Platz aus dem anderen,

⇒ Fe(T, B, BA, BB) = N 2

zJ mAmB + (BAmA+BBmB) − kT ln ZA)−kT ln ZB)

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mit

m^A/B =m(B+B^A/B) , Z^A/B =Z1(B+B^A/B) DamitFe station¨ar ist, muß gelten:

∂Fe

∂BA

= 0 , ∂Fe

∂BB

= 0 also z.B.:

0 = ∂Fe

∂BA

= N 2

zJ∂mA

∂BA

m^B + m^A + B^A∂mA

∂BA

− kT ∂

∂BA

ln Z^A (m^B und Z^B h¨angen nicht explizit von B^A ab ! )

Mit den bisherigen Ergebnissen gilt kT ∂

∂B^A ln Z^A

= ∂

∂ βhln Z1(h)

h=B+BA

=m(B+B^A) =m^A damit f¨allt das explizite mA raus,

⇒ 0 = ∂m^A

∂B^A zJ m^B+B^A

F¨ur das andere Untergitter ergibt sich eine analoge Gleichung. Dies ergibt die Selbstkonsistenz-Gleichungen

B^A = −zJ m^B = −zJ m(B+B^B) BB = −zJ mA = −zJ m(B+BA) mit dem m(h) aus (a).

(d) Ohne ¨außeres Magnetfeld:

B = 0 ⇒ BA = −zJ m(BB) B^B = −zJ m(B^A) Mitm(−h) =−m(h) hat dies die L¨osung

B^A =B , B^B =−B mit B =zJ m(B) Aquivalent dazu ist dann¨

m^A =m , m^B =−m mit m=m(zJ m)

Phasen¨ubergang: Durch plotten von m(h) f¨ur ein paar Werte vonS kann man sich

¨

uberzeugen, daß unterhalb einer bestimmten Temperatur m 6= 0 , und damit auch B 6= 0 wird. Diese Temperatur heißt beim Antiferromagneten N´eel-Temperatur T_N (im Unterschied zur Curie-TemperaturTC beim Ferromagneten). Um den genauen Wert von TN zu bekommen, nutzt man aus, daß f¨ur

T ≈TN ⇒ B ≈0 ⇒ βB ≈ B

kT_N ⇒ βB ≪1

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Damit kann m(B) f¨ur kleine βB entwickelt werden, wie in Aufg. 1 c) auf Blatt 3 schon geschehen, wenn die Temperatur infinitesimal unterhalb TN gesetzt wird:

T =TN : B =zJ m(B) =zJ B kTN

S(S+ 1)

3 ⇒ kTN = z

3S(S+ 1)J mit z = 4.

(e) Mit ¨außerem Magnetfeld: Mit

mA =m(B+BA) , mB =m(B+BB)

h¨angt die Untergittermagnetisierung sowohl explizit als auch implizit (¨uberB) von B ab:

χA(T) = ∂mA

∂B

B=0

= ∂m(h)

∂h

h=BA

1 + ∂BA

∂B

B=0

Jetzt muß die Selbstkonsistenz-Gleichung ran:

BA =−zJ mB ⇒ ∂BA

∂B

B=0

=−zJ ∂mB

∂B

B=0

=−zJ χB(T)

⇒ χ^A = ∂m(h)

∂h

h=BA

[ 1−zJ χ^B]

F¨ur T > T_N ist nat¨urlich BA = BB = 0 , und zusammen mit dem analogen Aus- druck f¨urχB ergibt sich

χ^A = χ0[ 1−zJ χ^B]

χB = χ0[ 1−zJ χA] , χ0 = ∂m(h)

∂h

h=0

χ₀ ist offenbar die Suszeptibilit¨at im GrenzfallJ = 0 ; diese wurde in Aufg. 1 c) auf Blatt 3 berechnet: Curie-Gesetz,

χ0(T) = 1 kT

S(S+ 1) 3

Das Gleichungssystem f¨ur dieχ l¨aßt sich leicht l¨osen:

χ⁻₀¹ zJ zJ χ⁻₀¹

χA

χ^B

= 1

1

⇒

χA

χ^B

=

χ⁻₀¹ zJ zJ χ⁻₀¹

⁻1 1 1

⇒ χ^A =χ^B = 1

χ⁻₀¹+zJ ⇒ χ(T) = χ0(T)

1 +zJ χ₀(T) , χ0(T) = S(S+ 1) 3k T Das l¨aßt sich mit dem Ergebnis f¨ur T_N noch als Curie–Weiß-Gesetz schreiben,

⇒ χ(T) = S(S+ 1) 3k

1 T + TN

Man beachte das + im Nenner. Das ist also eigentlich kein Curie–Weiss-Gesetz wie beim Ferromagneten (dort steht −). Die Suszeptibilit¨at divergiert hier also nicht beiTN, sondern hat tats¨achlich ein Maximum. Beim Ferromagneten divergiertχ(T) an der ¨Ubergangstemperatur TC.

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