Ubungsskriptum¨
I. Momente von Stichproben und Zufallsvariablen
Verwenden Sie f¨ur die L¨osung der folgenden Aufgaben das Handout ’Moments and Sample Moments’:
1. a) F¨ur die Stichprobenkovarianzsx,y von x1, . . . , xn undy1, . . . , yn gilt: 1
sx,y = 1 n
n
X
i=1
xi(yi−y) = 1 n
n
X
i=1
(xi−x)yi= 1 n
n
X
i=1
xiyi−x y.
b) F¨ur α >0 undβ >0 bezeichtetαx die Stichprobeαx1, . . . , αxn, und 1 βydie Stichprobeβy1, . . . , βyn. Damit istsαx,βy =αβsx,y.
F¨ur die Stichprobenkorrelation hingegen gilt, fallsα >0,β >0,sx,x>0, undsy,y>0, dass
rαx,βy =rx,y.
c) Wieso ist, fallssx,x>0 undsy,y >0,−1≤rx,y≤1? 1 2. Es seienX undY Zufallsvariable mitE(X) =µX,E(Y) =µY.
a) F¨ur die KovarianzσX,Y vonX undY gilt: 1
σX,Y =E(X(Y −µY)) =E((X−µX)Y) =E(XY)−µXµY.
b) F¨urα >0 undβ >0 ist 1
σαX,βY =αβσX,Y.
F¨ur die Korrelation hingegen gilt: istσX,X >0 undσY,Y >0, so ist, f¨ur α >0,β >0
ραX,βY =ρX,Y.
c) Wieso ist−1≤ρX,Y ≤1, fallsσX,X >0 und σY,Y >0? 1
3. a) SindX1, . . . , Xn unkorreliert mitE(X1) =. . .=E(Xn) = 0, so ist 1
E
n
X
i=1
Xi
!2
=
n
X
i=1
E(Xi2).
b) Sind weitersαi, βi∈R(i= 1, . . . , n), so ist 1
Cov
n
X
i=1
αiXi,
n
X
i=1
βiXi
!
=
n
X
i=1
αiβiVar(Xi).
II. Lineare Ein- und Zweivariablen Modelle
In den folgenden 3 Beispielen sei das Modell yi = a+bxi+ui mit den Standardannahmen gegeben (siehe Handout ’Regression Model and Ass- umptions’).
4. a) Weshalb wirdPn
i=1(yi−a−bxi)2durch die LS-Sch¨atzer ˆaund ˆbmini- 2 miert?
b) Warum sind diese Sch¨atzer im gegebenen Modell unverzerrt? 2 5. Welche Beziehungen gelten zwischen ESS, TSS und RSS? Warum gelten 2
diese Beziehungen?
6. Gegeben seien die folgenden Daten
x: 5 6 7 8 9 10 11 12 13 40
y: 1 2 4 2 3 5 7 6 9 10
a) Berechnen Sie die LS-Sch¨atzer ˆaund ˆbf¨ur das Modellyi =a+bxi+ui. 1 b) Veranschaulichen Sie die Einpassung der Regressionsgeraden in den 1 Punktschwarm durch eine Zeichnung.
c) Ermitteln und interpretieren Sie die Stichprobenkorrelationrx,y. 1
Zur geometrischen Interpretation des LS-Sch¨atzers:
Betrachten Sie in den folgenden Beispielen das Modellyi=a+bxi+uif¨ur i= 1, . . . , n in Vektor-Schreibweise: f¨ur ~y = (y1, . . . , yn)0,~e= (1, . . . ,1)0,
~
x= (x1, . . . , xn)0, und~u= (u1, . . . , un)0 ist
~
y=a~e+b~x+~u.
Die mit Hilfe der LS-Sch¨atzer berechneten Werte ˆy1, . . . ,yˆn, sowie die Residuen ˆu1, . . . ,uˆn lassen sich entsprechend als Vektoren schreiben:~yˆ= (ˆy1, . . . ,yˆn)0, und~uˆ= (ˆu1, . . . ,uˆn)0=~y−~y.ˆ
7. Gegeben seien die Daten
x: 0 1 2 y: 0 1 1 zu dem Modellyi =a+bxi+ui (i= 1,2,3).
a) Fertigen Sie im R3 eine Zeichnung der Punkte ~e = (1,1,1)0, ~x = 1 (0,1,2)0,~y= (0,1,1)0, und des durch die LS-Sch¨atzer berechneten Punktes
~ˆ
y= (ˆy1,yˆ2,yˆ3)0 an.
b) Berechnen Sie die Winkel zwischen~xund~y−~y, sowie zwischenˆ ~eund 1
~ y−~y.ˆ
c) Zeigen Sie, wie die Beobachtungen aus Punkt b) mit den Normalglei- 2 chungen zusammenh¨angen.
8. Es sei{~v1, . . . , ~vk} ⊆Rn ein sogenanntesOrthonormalsystem, d.h.
h~vi, ~vji=
( 1 i=j, 0 sonst.
Sei weitersE:=h~v1, . . . , ~vkider von diesen Vektoren aufgespannte lineare Teilraum vonRn und~pein beliebiger Vektor imRn.
a) Finde jenen Vektorp~ˆ∈E, der minimalen Abstand zu~phat. 2
b) Zeigen Sie, dass 2
~
p−~pˆ⊥~v1, . . . , ~vk.
Das bedeutet zusammen mit a), dass man~porthogonal zerlegt hat in~pˆ∈E und~p−p~ˆ∈E⊥, wobeiE⊥ definiert ist als die Menge jener Vektoren im Rn, die normal auf alle Vektoren ausE stehen, also
E⊥ ={~x∈Rn :h~x, ~vi= 0 f¨ur alle~v∈E}, undorthogonales Komplement zuEheißt.
c) Zeige, dass die obige orthogonale Zerlegung 2
~
p=p~ˆ+ (~p−~p)ˆ
im folgenden Sinne eindeutig ist: Sei~p=~q+~r,~q∈E,~r∈E⊥eine weitere orthogonale Zerlegung, dann gilt bereits, dass~q=~pˆund~r=p~−~p.ˆ
Hinweis: Berechnen Sie zun¨achst h~p, ~vi f¨ur ~v ∈ E, das eine Mal mit
~
p= ~pˆ+ (~p−~p) und das andere Mal mitˆ ~p=~q+~r. Beachte dann, dass h~v, ~vi= 0 stets~v= 0 impliziert.
9. Zu dem Modell ~y = a~e+b~x+~u mit ~e = (1, . . . ,1)0 seien die Daten
~
x= (x1, . . . , xn)0 und~y= (y1, . . . , yn)0 gegeben.
a) Zeigen Sie, dass der durch die LS-Sch¨atzer gegebene Punkt 1
~ˆ
y= (ˆy1, . . . ,yˆn)0 in der von ~xund~eaufgespannten Ebene liegt.
b) Zeigen Sie, dass~yˆ von allen Punkten dieser Ebene den k¨urzesten Ab- 2 stand zu~y hat. (Hinweis: Zeigen Sie, dass der Vektor~y−~yˆorthogonal ist zu~eund zu~x, und argumentieren Sie mit den Resultaten aus 8.)
10. Wie lassen sich, in Anbetracht von Aufgaben 8 und 9 Formeln wie ˆu = 2
1
n~e0~uˆ = 0, sx,ˆu = 0, sy,ˆˆu = 0, oder T SS = ESS +RSS geometrisch interpretieren?
Hinweis:Die FormelT SS=ESS+RSSfolgt aus dem Satz von Pytha- goras. Beachten Sie dabei, dass~uˆorthogonal auf~esteht.
In den folgenden Aufgaben sei das homogene (d.h. Intercept ist0) Modell yi =bxi+ui gegeben. Weiters gelte E(ui) = 0,E(u2i) =σ2,E(uiuj) = 0 und xi nicht zuf¨allig.
11. a) F¨ur welchen Wert ˜bistPn
i=1(yi−˜bxi)2 minimal? Wann ist dieses Mi- 1 nimum eindeutig?
b) Nehmen Sie an, das obige Minimum sei wohldefiniert. Zeigen Sie, 1 dass der Sch¨atzer ˜b im gegebenen Modell unverzerrt ist und bestimmen Sie dessen Varianz. Vergleichen Sie mit der Varianz des Sch¨atzers ˆb aus Beispiel 4 (siehe Handout ’Statistical Properties of OLS-Estimators’) c) Weiters sei y = n−1Pn
i=1yi, und f¨ur i = 1, . . . , n sei ˜yi = ˜bxi und 2
˜
ui=yi−y˜i. ¨Uberpr¨ufen Sie, ob in diesem Modell die Beziehung
n
X
i=1
(yi−y)2=
n
X
i=1
(˜yi−y)2+
n
X
i=1
˜ u2i
gilt.
Hinweis:Gehen Sie so vor wie in Bsp. 5 und verwenden Sie die first order moment condition (FOC) aus Punkt a).
12. a) Formulieren und 1 b) beweisen Sie das Gauß-Markov Theorem f¨ur den Kleinstquadratesch¨atzer 2
˜b des homogenen Modells. Weisen Sie darauf hin, an welchen Stellen Sie die Voraussetzungen des Satzes verwenden.
Hinweis:Ubertragen Sie die Schritte im Beweis f¨¨ ur das inhomogene Mo- dell.
13. Betrachten Sie im Modellyi=bxi+ui unter den Standardannahmen die Sch¨atzer ˇb=y/x(mitx6= 0), ˜b=xy/xx, sowie ˆb= (xy−x y)/(xx−x x).
(a) Sind diese Sch¨atzer linear? 1
(b) Sind diese Sch¨atzer unverzerrt? 1
(c) Welche Aussagen k¨onnen Sie ¨uber die Varianzen der Sch¨atzer ˇb, ˜bund 1 ˆb mit Hilfe des Gauß-Markov Theorems treffen (ohne die Varianzen tats¨achlich auszurechnen)?
(d) Berechnen Sie die Varianzen der Sch¨atzer ˇb, ˜bund ˆb. 1 (e) Welcher der Sch¨atzer ˇb, ˜b und ˆb ist der beste lineare unverzerrte 1
Sch¨atzer f¨urbim Modellyi =bxi+ui(unter den Standardannahmen und ohne Zusatzinformation)?
(f) Welcher der Sch¨atzer ˇb, ˜b und ˆb ist der beste lineare unverzerrte 1 Sch¨atzer f¨ur b im Modell yi =a+bxi+ui (unter den Standardan- nahmen und ohne Zusatzinformation)?
14. Sei ˜bwie in Aufgabe 11. Weiters seien die Daten
x: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
y: 2.3 3.7 5.2 6.0 8.15 15.53 11.3 12.9 14.5 15.9 gegeben.
a) Berechnen Sie ˜b, ˜ui=yi−˜bxi, sowieP10
i=1u˜i. 1
b) Berechnen Sie zu den Daten und unter der Annahme, dass yi = a+ 1 bxi+ui ist, die LS-Sch¨atzer ˆaund ˆb, sowie ˆui undP10
i=1uˆi. c) Vergleichen Sie die Werte vonP10
i=1u˜i undP10
i=1uˆi. 1
Vergleichen Sie die Werte vonP10
i=1u˜2i undP10 i=1uˆ2i.
III. Wiederholung lineare Algebra
15. Gegeben seien die Matrizen
A= 1 0 3
2 −1 1
! , B=
3 4 1
0 −1 5
1 2 −2
undJ =
0 0 1 0 1 0 1 0 0
.
a) Berechnen SieJ A0,J B, 1
b)AJ undBJ. 1
Wie kann man in den Punkten a) und b) die Multiplikation mit J inter- pretieren?
c) Berechnen Sie auch AB und schreiben Sie jede Zeile (Spalte) dieser 1 Matrix als Linearkombination der Zeilen vonB (Spalten vonA).
16. a) Berechnen Sie (AB)0,B0A0, 1
b) (AC)0 undC0A0 f¨ur 1
A= 1 0 3
2 −1 1
! , B=
3 4 1
0 −1 5
1 2 −2
undC=
2
−1 4
.
17. Beschreiben Sie die Begriffe ‘positiv definit’, ‘nicht-negativ definit’, ‘nega- 1 tiv definit’, und ‘indefinit’. Teilen Sie dazu die Menge allern×nMatrizen in geeignete Klassen ein (Venn-Diagramm).
18. Gegeben sei die Matrix
A= 2 −1
−1 2
! .
a) Zeigen Sie sowohl mit Hilfe der Hauptminoren als auch mit Hilfe der 1 Eigenwerte, dass die MatrixApositiv definit ist.
b) Bestimmen Sie Eigenvektoren der L¨ange 1 zu den Eigenwerten der 1 MatrixA.
c) ¨Uberpr¨ufen Sie anhand dieses Beispiels die allgemeine Regel, dass die 1
zu verschiedenen Eigenwerten einer symmetrischen Matrix geh¨orende Ei- genvektoren stets paarweise orthogonal sind.
d) Zeigen Sie allgemein, dass zu verschiedenen Eigenwertenλ16=λ2 einer 2 symmetrischen Matrix A geh¨orende Eigenvektoren v1, v2 stets paarweise orthogonal sind.
Hinweis: Zeigen Sie zun¨achst unter Verwendung der Beziehunghv, wi= v0w, dass f¨ur eine symmetrische n×n–Matrix A die folgende Gleichung gilt:
hAv, wi=hv, Awi
19. Zeigen Sie, dass jedes Diagonalelement bii positiv ist, falls die Matrix B 2 positiv definit ist. (Hinweis: dr¨ucken Siebiiin der Formx0Bxf¨ur geeignetes xaus.)
20. Zeigen Sie, dass f¨ur zwei beliebige, geeignet dimensionierte MatrizenA, B gilt:
a) spur(A+B) = spur(A) + spur(B) 1
spur(λA) =λspur(A)
b) spur(AB) = spur(BA). 1
21. Zeigen Sie, dass es unm¨oglich ist, zwei MatrizenAundBzu finden, sodass 1 gilt:AB−BA=I.(Hinweis: Verwenden Sie 20.)
22. Es seien 1
A=
1 3 2 2 6 9 7 6 1
undB=
0 1 0 1 2 3 0 0 1
.
Uberzeugen Sie sich, dass gilt: det(AB) = det(A) det(B).¨
Verwenden Sie in den n¨achsten 3 Aufgaben u.a. folgendes Resultat: Jede symmetrische n×nMatrix Ω besitzt npaarweise orthogonale Eigenvek- toren ~u1,· · · , ~un. Normiert man diese n Vektoren und fasst sie zu einer MatrixU = (~u1,· · · , ~un) zusammen, so gilt:
U0U =I,U0=U−1, und Ω =Udiag(λ1,· · · , λn)U0,
wobei~uiEigenvektor zum Eigenwertλiist und diag(λ1,· · · , λn) eine Dia- gonalmatrix mit Eintragungenλi in der Hauptdiagonale bezeichnet.
23. Zeigen Sie die folgenden Aussagen
a) Ist eine Matrix idempotent, so k¨onnen Ihre Eigenwerte nur die Werte 2 0 oder 1 annehmen.
Hinweis: Wegen der Einleitung gibt es zu jeder symmetrischen n×n- Matrix Ω eine invertierbare MatrixU, so dassU0ΩU eine Diagonalmatrix ist. Zeige zun¨achst folgende Aussage: ’Wenn Ω idempotent ist, dann auch U0ΩU.’
b) F¨ur jede symmetrische, idempotente MatrixAgilt spur(A) = rang(A). 2 Hinweis:F¨uhren Sie folgende Rechnung fort:
spur(A) = spur(InA) = spur(U U0·A) =. . .
Beachten Sie dann, dass die Spur und der Rang f¨ur Diagonalmatrizen
¨ubereinstimmen.
c) Bestimmen Sie unter Zuhilfenahme von b) den Rang der Matrix 2 M =I−X(X0X)−1X0
wobeiX einen×k–Matrix mit rang(X) =kist.
24. a) Zeigen Sie, dass zu jeder symmetrischen und nichtnegativ definiten 2 Matrix Ω eine MatrixR existiert, sodass gilt: Ω =RR0.
Hinweis:Wegen der Einleitung gilt Ω =UΛU0 (warum?). Versuchen Sie jetzt den rechten Ausdruck in ein Produkt der FormRR0 zu zerlegen.
b) Ist Ω symmetrisch und positiv definit, dann ist auchRpositiv definit. 2 IstR invertierbar?
Hinweis:Beachten Sie dass ausAinvertierbar undP positiv definit folgt, dass AP positiv definit ist. Man wende das auf den Faktor R aus der Zerlegung in a) an.
Aufgaben Teil II (25-40)
IV. Das allgemeine Modell in Matrixschreibweise
25. a) Formulieren Sie das Regressionsmodell yi=a+bxi+ui, (i= 1, . . . , n) 1 in Matrix-Schreibweisey=Xβ+u.
b) Bestimmen Sie die Formeln f¨ur die LS-Sch¨atzer f¨ur a und b aus der 2 Formel ˆβ= (X0X)−1X0y. Weshalb istX0X invertierbar?
c) Zeigen Sie insbesondere, dass sich die LS-Sch¨atzer allein durch die 1 Stichprobenmittel x und y, sowie durch die Stichprobenvarianzen und - kovarianzensx,x,sy,yundsx,yausdr¨ucken lassen. Die Vektorkomponenten βˆ1,βˆ2 stimmen also mit den Sch¨atzern ˆa,ˆb aus Aufgabe 4 ¨uberein.
26. Zeigen Sie, daß der LS-Sch¨atzer ˆβ f¨ur β im linearen Modelly =Xβ+u die
a) Bedingung 1. Ordnung, 1
b) Bedingung 2. Ordnung f¨ur ein Minimum von||y−Xβ|| erf¨ullt. 2 Leiten Sie dazu zun¨achst jeweils die Bedingung 1. bzw. 2. Ordnung her.
Zeigen Sie bei b), dassX0Xgenau dann positiv definit ist, wenn rang(X) = kgilt.
27. a) Pr¨ufen Sie folgende Eigenschaften des LS-Sch¨atzers ˆβ f¨urβ im linearen 1 Modelly=Xβ+u, wobeiβ∈Rk, undX einen×k-Matrix von vollem Spaltenrang sei.
X0uˆ = 0, ˆ
y0uˆ = 0,
βˆ = β+ (X0X)−1X0u.
Wo verwendet man, dassX Rangk hat?
b) Welche dieser Eigenschaften gelten auch im einfachen Modell yi = 1 a+bxi+ui?
28. Betrachten Sie das lineare Modelly=Xβ+u, wobeiβ∈Rk, undX eine n×k–Matrix von vollem Spaltenrang sei.
a) Zeigen Sie, dass sich der Residuenvektor ˆudarstellen l¨asst als ˆu=M u. 1 b) Zeigen Sie, dass die MatrixM folgende Eigenschaften hat: 1
M X = 0, M0 = M, M2 = M,
c) 1
rang(M) = spur(M) =n−k.
29. Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz-Kovarianz Matrix des LS- 1 Sch¨atzers ˆβim linearen Modelly=Xβ+uunter den Standardannahmen.
Erklren Sie, wo diese Annahmen verwendet werden.
30. Bestimmen Sie unter Verwendung von Aufgabe 29 den Erwartungswert 1 der Varianzsch¨atzers
ˆ
σ2= 1 (n−k)
n
X
t=1
ˆ u2t
im linearen Modelly=Xβ+uunter den Standardannahmen.
31. Zeigen Sie im Modell y=Xβ+udie Beziehung 2
n
X
t=1
(yt−y)¯ 2=
n
X
t=1
(ˆyt−y)ˆ2+
n
X
t=1
ˆ u2t
unter der Annahme, dassX den Spaltenvektor (1, ...,1)0 enth¨alt.
V. Normalverteilung und Lineare Transformationen
32. SeiZ∼N(0, I2) bivariat normalverteilt, und seiaein 1×2–Zeilenvektor, 1 a6= (0,0)0. Geben Sie die Verteilung von aZ an. Besitzt aZ eine Dichte?
Was erhlt man speziell f¨ura= (1,0)0.
33. Sei Z ∼ N(0, I2) bivariat normalverteilt, und sei A eine 2 ×2-Matrix mit vollem Rang. Geben Sie die Verteilung und (durch Einsetzen in die Formel) auch die Dichte vonAZ an, und zwar f¨ur
a) 1
A= 1 2
−1 1
! ,
b) 1
A= a1,1 a1,2 a2,1 a2,2
! .
34. Zeigen Sie, dass jede Varianz/Kovarianz Matrix symmetrisch und nicht- 2 negativ definit ist.
35. Sei Z eine auf Rn normalverteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert 0 2 (der Null-Vektor) und Varianz-Kovarianz Matrix Σ; d.h. Z ∼ N(0,Σ).
Zeigen Sie: Ist Σ regul¨ar, so existiert eine regul¨aren×n-MatrixS, sodaß S−1Z ∼N(0, In). (Hinweis: Verwenden Sie Aufgabe 23.)
36. Es seiZ= (Z1, Z2) ein bivariat normalverteilter Zufallsvektor mit Erwar- 2 tungswert (µ1, µ2) und VC-MatrixP. Zeigen Sie, dass, sofernZ1 undZ2
unkorreliert sind, diese auch unabh¨angig sind.
37. Gegeben sei folgende reellwertige Funktion auf R2:
f(x, y) = ( 1
πexp−x2 +y
2
2 fallsx >0,y >0 oderx <0,y <0
0 sonst
Zeigen Sie:
a) Die Funktionf(x, y) ist eine Dichte aufR2; d.h.f(x, y) ist nicht-negativ, 1 undR∞
−∞
R∞
−∞f(x, y)dxdy= 1. Verwenden Sie dazuR∞
−∞
√1
2πes22 ds= 1.
b) IstW = (Wx, Wy) eine bivariate Zufallsvariable mit der Dichtef(x, y), 1 so sindWx undWy normalverteilt.
c) IstW = (Wx, Wy) eine bivariate Zufallsvariable mit der Dichtef(x, y), 2 so sindWx undWy unkorreliert aber nicht unabh¨angig.
VI. Statistische Hypothesen
38. Betrachten Sie das ModellY =Xβ+umitβ∈Rk und Stichprobengr¨osse n unter den Standardannahmen. Es sei ˆβ der LS-Sch¨atzer aus diesem Modell und es sei β∗ der restringierte LS-Sch¨atzer unter der Restriktion Rβ=r. Dabei seiReine (q×k)–Matrix vom Rangq, undreinq–Vektor.
Entsprechend sei ˆu=Y −Xβˆ der Vektor der unrestringierten Residuen und RSS deren Quadratsumme, sowie u∗ = Y −Xβ∗ der Vektor der restringierten Residuen und RSS∗ deren Quadratsumme. Zeigen Sie:
a)u∗= ˆu+X( ˆβ−β∗). 1
b)u∗0u∗= ˆu0uˆ+ ( ˆβ−β∗)X0X( ˆβ−β∗) 1 c) Die F-Statistik zum Testen der Hypothese H0 : Rβ = r l¨asst sich 2 schreiben als
F = RSS∗−RSS RSS ·n−k
q .
39. Die Einfuhr von Ceylontee in die USA wird durch folgende Gleichung 1 modelliert:
logQ=β0+β1logPC+β2logPI+β3logPB+β4logY +u, wobei
• Qdie Importe von Ceylontee in die USA,
• PC den Preis von Ceylontee,
• PI den Preis von Indischem Tee,
• PB den Preis von Brasilianischem Kaffee, und
• Y das verf¨ugbare Einkommen
bezeichnen. Ausn= 22 Beobachtungen ergaben sich folgende OLS Sch¨atzer:
• Unter der Hypothese H0: β1 = −1, β2 = 0 ergeben sich die re- stringierten Sch¨atzer β0∗ =−0.738 (0.820), β3∗ = 0.199 (0.155), und β4∗ = 0.261 (0.165), wobei die Zahlen in Klammer die gesch¨atzten Standardabweichungen angeben. Die Residuenquadratsumme im re- stringierten Modell betr¨agt RSS∗= 0.6788.
• Unter der Alternativhypothese H1 ergeben sich die unrestringierten Sch¨atzer ˆβ0= 2.837 (2.000), ˆβ1=−1.481 (0.987), ˆβ2= 1.181 (0.690), βˆ3 = 0.186 (0.134), und ˆβ4 = 0.257 (0.370). Die Residuenquadrat- summe im unrestringierten Modell betr¨agt RSS = 0.4277.
Testen Sie die HypotheseH0gegenH1auf dem Signifikanzniveauα= 0.05 und diskutieren Sie die ’¨okonomischen Implikation’ des Ergebnisses.
40. In der Cobb-Douglas-Produktionsfunktion Y = γAαKβ ist von Inter- 2 esse, ob α+β > 1 ist (,,zunehmende Skalenertr¨age”). Nach einer lo- garithmischen Transformation gelangen wir zu einer linearen Funktion logY = logγ+αlogA+βlogK. Mit Hilfe von Querschnitts- oder Zeitrei- hendaten k¨onnen nun α und β gesch¨atzt werden und anschließend die Linearkombinationα+β. Erh¨alt man ˆα+ ˆβ >1, so ist das nicht unbe- dingt ein Indiz daf¨ur, dass wirklich α+β >1 ist. Vielmehr muß ˆα+ ˆβ signifikant gr¨oßer als Eins sein. Das aber kann nur gepr¨uft werden, wenn die Varianz von ˆα+ ˆβbekannt ist. Man berechne die Varianz von ˆα+ ˆβund entwickle daraus einen Test f¨ur die HypotheseH0 :α+β = 1, unter der Annahme, dass die Meßwerte logY mit i.i.d. N(0, σ2)-verteilten Fehlern behaftet sind.