(x i x)y i = 1 n. 2. Es seien X und Y Zufallsvariable mit E(X) = µ X, E(Y ) = µ Y. σ αx,βy = αβσ X,Y.

Ubungsskriptum¨

I. Momente von Stichproben und Zufallsvariablen

Verwenden Sie f¨ur die L¨osung der folgenden Aufgaben das Handout ’Moments and Sample Moments’:

1. a) F¨ur die Stichprobenkovarianzs_x,y von x₁, . . . , x_n undy₁, . . . , y_n gilt: 1

sx,y = 1 n

n

X

i=1

xi(yi−y) = 1 n

n

X

i=1

(xi−x)yi= 1 n

n

X

i=1

xiyi−x y.

b) F¨ur α >0 undβ >0 bezeichtetαx die Stichprobeαx1, . . . , αxn, und 1 βydie Stichprobeβy1, . . . , βyn. Damit istsαx,βy =αβsx,y.

F¨ur die Stichprobenkorrelation hingegen gilt, fallsα >0,β >0,s_x,x>0, undsy,y>0, dass

r_αx,βy =r_x,y.

c) Wieso ist, fallssx,x>0 undsy,y >0,−1≤rx,y≤1? 1 2. Es seienX undY Zufallsvariable mitE(X) =µX,E(Y) =µY.

a) F¨ur die Kovarianzσ_X,Y vonX undY gilt: 1

σX,Y =E(X(Y −µY)) =E((X−µX)Y) =E(XY)−µXµY.

b) F¨urα >0 undβ >0 ist 1

σ_αX,βY =αβσ_X,Y.

F¨ur die Korrelation hingegen gilt: istσX,X >0 undσY,Y >0, so ist, f¨ur α >0,β >0

ραX,βY =ρX,Y.

c) Wieso ist−1≤ρX,Y ≤1, fallsσX,X >0 und σY,Y >0? 1

3. a) SindX1, . . . , Xn unkorreliert mitE(X1) =. . .=E(Xn) = 0, so ist 1

E





n

X

i=1

Xi

!2

=

n

X

i=1

E(X_i²).

b) Sind weitersαi, βi∈R(i= 1, . . . , n), so ist 1

Cov

n

X

i=1

αiXi,

n

X

i=1

βiXi

!

=

n

X

i=1

αiβiVar(Xi).

II. Lineare Ein- und Zweivariablen Modelle

In den folgenden 3 Beispielen sei das Modell y_i = a+bx_i+u_i mit den Standardannahmen gegeben (siehe Handout ’Regression Model and Ass- umptions’).

4. a) Weshalb wirdPn

i=1(yi−a−bxi)²durch die LS-Sch¨atzer ˆaund ˆbmini- 2 miert?

b) Warum sind diese Sch¨atzer im gegebenen Modell unverzerrt? 2 5. Welche Beziehungen gelten zwischen ESS, TSS und RSS? Warum gelten 2

diese Beziehungen?

6. Gegeben seien die folgenden Daten

x: 5 6 7 8 9 10 11 12 13 40

y: 1 2 4 2 3 5 7 6 9 10

a) Berechnen Sie die LS-Sch¨atzer ˆaund ˆbf¨ur das Modellyi =a+bxi+ui. 1 b) Veranschaulichen Sie die Einpassung der Regressionsgeraden in den 1 Punktschwarm durch eine Zeichnung.

c) Ermitteln und interpretieren Sie die Stichprobenkorrelationrx,y. 1

Zur geometrischen Interpretation des LS-Sch¨atzers:

Betrachten Sie in den folgenden Beispielen das Modelly_i=a+bx_i+u_if¨ur i= 1, . . . , n in Vektor-Schreibweise: f¨ur ~y = (y1, . . . , yn)⁰,~e= (1, . . . ,1)⁰,

~

x= (x₁, . . . , x_n)⁰, und~u= (u₁, . . . , u_n)⁰ ist

~

y=a~e+b~x+~u.

Die mit Hilfe der LS-Sch¨atzer berechneten Werte ˆy1, . . . ,yˆn, sowie die Residuen ˆu₁, . . . ,uˆ_n lassen sich entsprechend als Vektoren schreiben:~yˆ= (ˆy1, . . . ,yˆn)⁰, und~uˆ= (ˆu1, . . . ,uˆn)⁰=~y−~y.ˆ

7. Gegeben seien die Daten

x: 0 1 2 y: 0 1 1 zu dem Modellyi =a+bxi+ui (i= 1,2,3).

a) Fertigen Sie im R³ eine Zeichnung der Punkte ~e = (1,1,1)⁰, ~x = 1 (0,1,2)⁰,~y= (0,1,1)⁰, und des durch die LS-Sch¨atzer berechneten Punktes

~ˆ

y= (ˆy1,yˆ2,yˆ3)⁰ an.

b) Berechnen Sie die Winkel zwischen~xund~y−~y, sowie zwischenˆ ~eund 1

~ y−~y.ˆ

c) Zeigen Sie, wie die Beobachtungen aus Punkt b) mit den Normalglei- 2 chungen zusammenh¨angen.

8. Es sei{~v1, . . . , ~vk} ⊆Rⁿ ein sogenanntesOrthonormalsystem, d.h.

h~vi, ~vji=

( 1 i=j, 0 sonst.

Sei weitersE:=h~v₁, . . . , ~v_kider von diesen Vektoren aufgespannte lineare Teilraum vonRⁿ und~pein beliebiger Vektor imRⁿ.

a) Finde jenen Vektorp~ˆ∈E, der minimalen Abstand zu~phat. 2

b) Zeigen Sie, dass 2

~

p−~pˆ⊥~v₁, . . . , ~v_k.

Das bedeutet zusammen mit a), dass man~porthogonal zerlegt hat in~pˆ∈E und~p−p~ˆ∈E^⊥, wobeiE^⊥ definiert ist als die Menge jener Vektoren im Rⁿ, die normal auf alle Vektoren ausE stehen, also

E^⊥ ={~x∈Rⁿ :h~x, ~vi= 0 f¨ur alle~v∈E}, undorthogonales Komplement zuEheißt.

c) Zeige, dass die obige orthogonale Zerlegung 2

~

p=p~ˆ+ (~p−~p)ˆ

im folgenden Sinne eindeutig ist: Sei~p=~q+~r,~q∈E,~r∈E^⊥eine weitere orthogonale Zerlegung, dann gilt bereits, dass~q=~pˆund~r=p~−~p.ˆ

Hinweis: Berechnen Sie zun¨achst h~p, ~vi f¨ur ~v ∈ E, das eine Mal mit

~

p= ~pˆ+ (~p−~p) und das andere Mal mitˆ ~p=~q+~r. Beachte dann, dass h~v, ~vi= 0 stets~v= 0 impliziert.

9. Zu dem Modell ~y = a~e+b~x+~u mit ~e = (1, . . . ,1)⁰ seien die Daten

~

x= (x1, . . . , xn)⁰ und~y= (y1, . . . , yn)⁰ gegeben.

a) Zeigen Sie, dass der durch die LS-Sch¨atzer gegebene Punkt 1

~ˆ

y= (ˆy1, . . . ,yˆn)⁰ in der von ~xund~eaufgespannten Ebene liegt.

b) Zeigen Sie, dass~yˆ von allen Punkten dieser Ebene den k¨urzesten Ab- 2 stand zu~y hat. (Hinweis: Zeigen Sie, dass der Vektor~y−~yˆorthogonal ist zu~eund zu~x, und argumentieren Sie mit den Resultaten aus 8.)

10. Wie lassen sich, in Anbetracht von Aufgaben 8 und 9 Formeln wie ˆu = 2

1

n~e⁰~uˆ = 0, sx,ˆu = 0, sy,ˆˆu = 0, oder T SS = ESS +RSS geometrisch interpretieren?

Hinweis:Die FormelT SS=ESS+RSSfolgt aus dem Satz von Pytha- goras. Beachten Sie dabei, dass~uˆorthogonal auf~esteht.

In den folgenden Aufgaben sei das homogene (d.h. Intercept ist0) Modell yi =bxi+ui gegeben. Weiters gelte E(ui) = 0,E(u²_i) =σ²,E(uiuj) = 0 und x_i nicht zuf¨allig.

11. a) F¨ur welchen Wert ˜bistPn

i=1(yi−˜bxi)² minimal? Wann ist dieses Mi- 1 nimum eindeutig?

b) Nehmen Sie an, das obige Minimum sei wohldefiniert. Zeigen Sie, 1 dass der Sch¨atzer ˜b im gegebenen Modell unverzerrt ist und bestimmen Sie dessen Varianz. Vergleichen Sie mit der Varianz des Sch¨atzers ˆb aus Beispiel 4 (siehe Handout ’Statistical Properties of OLS-Estimators’) c) Weiters sei y = n⁻¹Pn

i=1y_i, und f¨ur i = 1, . . . , n sei ˜y_i = ˜bx_i und 2

˜

ui=yi−y˜i. ¨Uberpr¨ufen Sie, ob in diesem Modell die Beziehung

n

X

i=1

(yi−y)²=

n

X

i=1

(˜yi−y)²+

n

X

i=1

˜ u²_i

gilt.

Hinweis:Gehen Sie so vor wie in Bsp. 5 und verwenden Sie die first order moment condition (FOC) aus Punkt a).

12. a) Formulieren und 1 b) beweisen Sie das Gauß-Markov Theorem f¨ur den Kleinstquadratesch¨atzer 2

˜b des homogenen Modells. Weisen Sie darauf hin, an welchen Stellen Sie die Voraussetzungen des Satzes verwenden.

Hinweis:Ubertragen Sie die Schritte im Beweis f¨¨ ur das inhomogene Mo- dell.

13. Betrachten Sie im Modelly_i=bx_i+u_i unter den Standardannahmen die Sch¨atzer ˇb=y/x(mitx6= 0), ˜b=xy/xx, sowie ˆb= (xy−x y)/(xx−x x).

(a) Sind diese Sch¨atzer linear? 1

(b) Sind diese Sch¨atzer unverzerrt? 1

(c) Welche Aussagen k¨onnen Sie ¨uber die Varianzen der Sch¨atzer ˇb, ˜bund 1 ˆb mit Hilfe des Gauß-Markov Theorems treffen (ohne die Varianzen tats¨achlich auszurechnen)?

(d) Berechnen Sie die Varianzen der Sch¨atzer ˇb, ˜bund ˆb. 1 (e) Welcher der Sch¨atzer ˇb, ˜b und ˆb ist der beste lineare unverzerrte 1

Sch¨atzer f¨urbim Modellyi =bxi+ui(unter den Standardannahmen und ohne Zusatzinformation)?

(f) Welcher der Sch¨atzer ˇb, ˜b und ˆb ist der beste lineare unverzerrte 1 Sch¨atzer f¨ur b im Modell y_i =a+bx_i+u_i (unter den Standardan- nahmen und ohne Zusatzinformation)?

14. Sei ˜bwie in Aufgabe 11. Weiters seien die Daten

x: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

y: 2.3 3.7 5.2 6.0 8.15 15.53 11.3 12.9 14.5 15.9 gegeben.

a) Berechnen Sie ˜b, ˜u_i=y_i−˜bx_i, sowieP10

i=1u˜_i. 1

b) Berechnen Sie zu den Daten und unter der Annahme, dass yi = a+ 1 bx_i+u_i ist, die LS-Sch¨atzer ˆaund ˆb, sowie ˆu_i undP10

i=1uˆ_i. c) Vergleichen Sie die Werte vonP10

i=1u˜i undP10

i=1uˆi. 1

Vergleichen Sie die Werte vonP10

i=1u˜²_i undP10 i=1uˆ²_i.

III. Wiederholung lineare Algebra

15. Gegeben seien die Matrizen

A= 1 0 3

2 −1 1

! , B=







3 4 1

0 −1 5

1 2 −2





 undJ =







0 0 1 0 1 0 1 0 0





.

a) Berechnen SieJ A⁰,J B, 1

b)AJ undBJ. 1

Wie kann man in den Punkten a) und b) die Multiplikation mit J inter- pretieren?

c) Berechnen Sie auch AB und schreiben Sie jede Zeile (Spalte) dieser 1 Matrix als Linearkombination der Zeilen vonB (Spalten vonA).

16. a) Berechnen Sie (AB)⁰,B⁰A⁰, 1

b) (AC)⁰ undC⁰A⁰ f¨ur 1

A= 1 0 3

2 −1 1

! , B=







3 4 1

0 −1 5

1 2 −2





 undC=





 2

−1 4





.

17. Beschreiben Sie die Begriffe ‘positiv definit’, ‘nicht-negativ definit’, ‘nega- 1 tiv definit’, und ‘indefinit’. Teilen Sie dazu die Menge allern×nMatrizen in geeignete Klassen ein (Venn-Diagramm).

18. Gegeben sei die Matrix

A= 2 −1

−1 2

! .

a) Zeigen Sie sowohl mit Hilfe der Hauptminoren als auch mit Hilfe der 1 Eigenwerte, dass die MatrixApositiv definit ist.

b) Bestimmen Sie Eigenvektoren der L¨ange 1 zu den Eigenwerten der 1 MatrixA.

c) ¨Uberpr¨ufen Sie anhand dieses Beispiels die allgemeine Regel, dass die 1

zu verschiedenen Eigenwerten einer symmetrischen Matrix geh¨orende Ei- genvektoren stets paarweise orthogonal sind.

d) Zeigen Sie allgemein, dass zu verschiedenen Eigenwertenλ16=λ2 einer 2 symmetrischen Matrix A geh¨orende Eigenvektoren v₁, v₂ stets paarweise orthogonal sind.

Hinweis: Zeigen Sie zun¨achst unter Verwendung der Beziehunghv, wi= v⁰w, dass f¨ur eine symmetrische n×n–Matrix A die folgende Gleichung gilt:

hAv, wi=hv, Awi

19. Zeigen Sie, dass jedes Diagonalelement bii positiv ist, falls die Matrix B 2 positiv definit ist. (Hinweis: dr¨ucken Sieb_iiin der Formx⁰Bxf¨ur geeignetes xaus.)

20. Zeigen Sie, dass f¨ur zwei beliebige, geeignet dimensionierte MatrizenA, B gilt:

a) spur(A+B) = spur(A) + spur(B) 1

spur(λA) =λspur(A)

b) spur(AB) = spur(BA). 1

21. Zeigen Sie, dass es unm¨oglich ist, zwei MatrizenAundBzu finden, sodass 1 gilt:AB−BA=I.(Hinweis: Verwenden Sie 20.)

22. Es seien 1

A=







1 3 2 2 6 9 7 6 1





 undB=







0 1 0 1 2 3 0 0 1





.

Uberzeugen Sie sich, dass gilt: det(AB) = det(A) det(B).¨

Verwenden Sie in den n¨achsten 3 Aufgaben u.a. folgendes Resultat: Jede symmetrische n×nMatrix Ω besitzt npaarweise orthogonale Eigenvek- toren ~u1,· · · , ~un. Normiert man diese n Vektoren und fasst sie zu einer MatrixU = (~u₁,· · · , ~u_n) zusammen, so gilt:

U⁰U =I,U⁰=U⁻¹, und Ω =Udiag(λ1,· · · , λn)U⁰,

wobei~u_iEigenvektor zum Eigenwertλ_iist und diag(λ₁,· · · , λ_n) eine Dia- gonalmatrix mit Eintragungenλi in der Hauptdiagonale bezeichnet.

23. Zeigen Sie die folgenden Aussagen

a) Ist eine Matrix idempotent, so k¨onnen Ihre Eigenwerte nur die Werte 2 0 oder 1 annehmen.

Hinweis: Wegen der Einleitung gibt es zu jeder symmetrischen n×n- Matrix Ω eine invertierbare MatrixU, so dassU⁰ΩU eine Diagonalmatrix ist. Zeige zun¨achst folgende Aussage: ’Wenn Ω idempotent ist, dann auch U⁰ΩU.’

b) F¨ur jede symmetrische, idempotente MatrixAgilt spur(A) = rang(A). 2 Hinweis:F¨uhren Sie folgende Rechnung fort:

spur(A) = spur(InA) = spur(U U⁰·A) =. . .

Beachten Sie dann, dass die Spur und der Rang f¨ur Diagonalmatrizen

¨ubereinstimmen.

c) Bestimmen Sie unter Zuhilfenahme von b) den Rang der Matrix 2 M =I−X(X⁰X)⁻¹X⁰

wobeiX einen×k–Matrix mit rang(X) =kist.

24. a) Zeigen Sie, dass zu jeder symmetrischen und nichtnegativ definiten 2 Matrix Ω eine MatrixR existiert, sodass gilt: Ω =RR⁰.

Hinweis:Wegen der Einleitung gilt Ω =UΛU⁰ (warum?). Versuchen Sie jetzt den rechten Ausdruck in ein Produkt der FormRR⁰ zu zerlegen.

b) Ist Ω symmetrisch und positiv definit, dann ist auchRpositiv definit. 2 IstR invertierbar?

Hinweis:Beachten Sie dass ausAinvertierbar undP positiv definit folgt, dass AP positiv definit ist. Man wende das auf den Faktor R aus der Zerlegung in a) an.

Aufgaben Teil II (25-40)

IV. Das allgemeine Modell in Matrixschreibweise

25. a) Formulieren Sie das Regressionsmodell yi=a+bxi+ui, (i= 1, . . . , n) 1 in Matrix-Schreibweisey=Xβ+u.

b) Bestimmen Sie die Formeln f¨ur die LS-Sch¨atzer f¨ur a und b aus der 2 Formel ˆβ= (X⁰X)⁻¹X⁰y. Weshalb istX⁰X invertierbar?

c) Zeigen Sie insbesondere, dass sich die LS-Sch¨atzer allein durch die 1 Stichprobenmittel x und y, sowie durch die Stichprobenvarianzen und - kovarianzens_x,x,s_y,yunds_x,yausdr¨ucken lassen. Die Vektorkomponenten βˆ1,βˆ2 stimmen also mit den Sch¨atzern ˆa,ˆb aus Aufgabe 4 ¨uberein.

26. Zeigen Sie, daß der LS-Sch¨atzer ˆβ f¨ur β im linearen Modelly =Xβ+u die

a) Bedingung 1. Ordnung, 1

b) Bedingung 2. Ordnung f¨ur ein Minimum von||y−Xβ|| erf¨ullt. 2 Leiten Sie dazu zun¨achst jeweils die Bedingung 1. bzw. 2. Ordnung her.

Zeigen Sie bei b), dassX⁰Xgenau dann positiv definit ist, wenn rang(X) = kgilt.

27. a) Pr¨ufen Sie folgende Eigenschaften des LS-Sch¨atzers ˆβ f¨urβ im linearen 1 Modelly=Xβ+u, wobeiβ∈R^k, undX einen×k-Matrix von vollem Spaltenrang sei.

X⁰uˆ = 0, ˆ

y⁰uˆ = 0,

βˆ = β+ (X⁰X)⁻¹X⁰u.

Wo verwendet man, dassX Rangk hat?

b) Welche dieser Eigenschaften gelten auch im einfachen Modell yi = 1 a+bxi+ui?

28. Betrachten Sie das lineare Modelly=Xβ+u, wobeiβ∈R^k, undX eine n×k–Matrix von vollem Spaltenrang sei.

a) Zeigen Sie, dass sich der Residuenvektor ˆudarstellen l¨asst als ˆu=M u. 1 b) Zeigen Sie, dass die MatrixM folgende Eigenschaften hat: 1

M X = 0, M⁰ = M, M² = M,

c) 1

rang(M) = spur(M) =n−k.

29. Bestimmen Sie Erwartungswert und Varianz-Kovarianz Matrix des LS- 1 Sch¨atzers ˆβim linearen Modelly=Xβ+uunter den Standardannahmen.

Erklren Sie, wo diese Annahmen verwendet werden.

30. Bestimmen Sie unter Verwendung von Aufgabe 29 den Erwartungswert 1 der Varianzsch¨atzers

ˆ

σ²= 1 (n−k)

n

X

t=1

ˆ u²_t

im linearen Modelly=Xβ+uunter den Standardannahmen.

31. Zeigen Sie im Modell y=Xβ+udie Beziehung 2

n

X

t=1

(yt−y)¯ ²=

n

X

t=1

(ˆyt−y)ˆ²+

n

X

t=1

ˆ u²_t

unter der Annahme, dassX den Spaltenvektor (1, ...,1)⁰ enth¨alt.

V. Normalverteilung und Lineare Transformationen

32. SeiZ∼N(0, I₂) bivariat normalverteilt, und seiaein 1×2–Zeilenvektor, 1 a6= (0,0)⁰. Geben Sie die Verteilung von aZ an. Besitzt aZ eine Dichte?

Was erhlt man speziell f¨ura= (1,0)⁰.

33. Sei Z ∼ N(0, I2) bivariat normalverteilt, und sei A eine 2 ×2-Matrix mit vollem Rang. Geben Sie die Verteilung und (durch Einsetzen in die Formel) auch die Dichte vonAZ an, und zwar f¨ur

a) 1

A= 1 2

−1 1

! ,

b) 1

A= a_1,1 a_1,2 a2,1 a2,2

! .

34. Zeigen Sie, dass jede Varianz/Kovarianz Matrix symmetrisch und nicht- 2 negativ definit ist.

35. Sei Z eine auf Rⁿ normalverteilte Zufallsvariable mit Erwartungswert 0 2 (der Null-Vektor) und Varianz-Kovarianz Matrix Σ; d.h. Z ∼ N(0,Σ).

Zeigen Sie: Ist Σ regul¨ar, so existiert eine regul¨aren×n-MatrixS, sodaß S⁻¹Z ∼N(0, I_n). (Hinweis: Verwenden Sie Aufgabe 23.)

36. Es seiZ= (Z1, Z2) ein bivariat normalverteilter Zufallsvektor mit Erwar- 2 tungswert (µ1, µ2) und VC-MatrixP. Zeigen Sie, dass, sofernZ1 undZ2

unkorreliert sind, diese auch unabh¨angig sind.

37. Gegeben sei folgende reellwertige Funktion auf R²:

f(x, y) = ( 1

πexp^{−x2 +y}

2

2 fallsx >0,y >0 oderx <0,y <0

0 sonst

Zeigen Sie:

a) Die Funktionf(x, y) ist eine Dichte aufR²; d.h.f(x, y) ist nicht-negativ, 1 undR∞

−∞

R∞

−∞f(x, y)dxdy= 1. Verwenden Sie dazuR∞

−∞

√1

2πe^s22 ds= 1.

b) IstW = (Wx, Wy) eine bivariate Zufallsvariable mit der Dichtef(x, y), 1 so sindWx undWy normalverteilt.

c) IstW = (W_x, W_y) eine bivariate Zufallsvariable mit der Dichtef(x, y), 2 so sindWx undWy unkorreliert aber nicht unabh¨angig.

VI. Statistische Hypothesen

38. Betrachten Sie das ModellY =Xβ+umitβ∈R^k und Stichprobengr¨osse n unter den Standardannahmen. Es sei ˆβ der LS-Sch¨atzer aus diesem Modell und es sei β^∗ der restringierte LS-Sch¨atzer unter der Restriktion Rβ=r. Dabei seiReine (q×k)–Matrix vom Rangq, undreinq–Vektor.

Entsprechend sei ˆu=Y −Xβˆ der Vektor der unrestringierten Residuen und RSS deren Quadratsumme, sowie u^∗ = Y −Xβ^∗ der Vektor der restringierten Residuen und RSS^∗ deren Quadratsumme. Zeigen Sie:

a)u^∗= ˆu+X( ˆβ−β^∗). 1

b)u^∗0u^∗= ˆu⁰uˆ+ ( ˆβ−β^∗)X⁰X( ˆβ−β^∗) 1 c) Die F-Statistik zum Testen der Hypothese H₀ : Rβ = r l¨asst sich 2 schreiben als

F = RSS^∗−RSS RSS ·n−k

q .

39. Die Einfuhr von Ceylontee in die USA wird durch folgende Gleichung 1 modelliert:

logQ=β₀+β₁logP_C+β₂logP_I+β₃logP_B+β₄logY +u, wobei

• Qdie Importe von Ceylontee in die USA,

• P_C den Preis von Ceylontee,

• P_I den Preis von Indischem Tee,

• P_B den Preis von Brasilianischem Kaffee, und

• Y das verf¨ugbare Einkommen

bezeichnen. Ausn= 22 Beobachtungen ergaben sich folgende OLS Sch¨atzer:

• Unter der Hypothese H0: β1 = −1, β2 = 0 ergeben sich die re- stringierten Sch¨atzer β₀^∗ =−0.738 (0.820), β₃^∗ = 0.199 (0.155), und β₄^∗ = 0.261 (0.165), wobei die Zahlen in Klammer die gesch¨atzten Standardabweichungen angeben. Die Residuenquadratsumme im re- stringierten Modell betr¨agt RSS^∗= 0.6788.

• Unter der Alternativhypothese H1 ergeben sich die unrestringierten Sch¨atzer ˆβ0= 2.837 (2.000), ˆβ1=−1.481 (0.987), ˆβ2= 1.181 (0.690), βˆ3 = 0.186 (0.134), und ˆβ4 = 0.257 (0.370). Die Residuenquadrat- summe im unrestringierten Modell betr¨agt RSS = 0.4277.

Testen Sie die HypotheseH0gegenH1auf dem Signifikanzniveauα= 0.05 und diskutieren Sie die ’¨okonomischen Implikation’ des Ergebnisses.

40. In der Cobb-Douglas-Produktionsfunktion Y = γA^αK^β ist von Inter- 2 esse, ob α+β > 1 ist (,,zunehmende Skalenertr¨age”). Nach einer lo- garithmischen Transformation gelangen wir zu einer linearen Funktion logY = logγ+αlogA+βlogK. Mit Hilfe von Querschnitts- oder Zeitrei- hendaten k¨onnen nun α und β gesch¨atzt werden und anschließend die Linearkombinationα+β. Erh¨alt man ˆα+ ˆβ >1, so ist das nicht unbe- dingt ein Indiz daf¨ur, dass wirklich α+β >1 ist. Vielmehr muß ˆα+ ˆβ signifikant gr¨oßer als Eins sein. Das aber kann nur gepr¨uft werden, wenn die Varianz von ˆα+ ˆβbekannt ist. Man berechne die Varianz von ˆα+ ˆβund entwickle daraus einen Test f¨ur die HypotheseH₀ :α+β = 1, unter der Annahme, dass die Meßwerte logY mit i.i.d. N(0, σ²)-verteilten Fehlern behaftet sind.