Das Haarsche Maß

Das Haarsche Maß

Michael Feischl

7. Juli 2009

Inhaltsverzeichnis

1 topologische Gruppen 2

2 Das Haarsche Maß 4

3 Die duale Gruppe und Fourier Transformation 12

3.1 Die Fourier Transformation . . . 14

In diesem Abschnitt werden topologische Gruppen definiert und einige einfache Eigenschaf- ten gezeigt, die f¨ur das Haupthema dieser Arbeit, den Existenz und Eindeutigkeitsbeweis des Haarschen Maßes ben¨otigt werden.

1 topologische Gruppen

Definition 1.1. Sie G im Folgenden eine (multiplikativ geschriebene) Gruppe mit dem Einselement e. Sind A, B ⊆G so schreiben wir

AB :={ab: a∈A, b∈B}

xB :={xb : b ∈B}

Weiters werden die Linkstranslation L(a) und die Rechtstranslation R(a) definiert L(a) :

G→G x7→ax

R(a) :

G→G x7→xa

Definition 1.2. Ein Paar (G,T) heißt eine topologische Gruppe, wenn G ein Gruppe ist und T eine Topolgie auf G ist, sodass die Gruppenoperationen Multiplikation und Inver- senbildung stetig sind. (Das Produkt G ×G ist mit der Produkttopologie versehen) Mit C00(G) bezeichnen wir die stetigen Funktionen mit kompaktem Tr¨ager von G nach R. C₀₀⁺(G) :={f ∈C₀₀(G) : f ≥0} .

Im Folgenden sei (G,T) immer eine topologische Gruppe.

Lemma 1.1. Die Translationen L(a) und R(a) und die Inversenbildung ι:x 7→x⁻¹ sind Hom¨oomorphismen von G in sich.

Beweis. Die Abbildung x 7→ L(a)x kann geschrieben werden als x 7→ (a, x) 7→ ax und ist damit als Zusammensetzung stetiger Abbildungen stetig.Es gilt L(a)⁻¹ = L(a⁻¹) und damit ist L(a)⁻¹ auch stetig. Der Beweis f¨ur R(a) verl¨auft analog. Die Inversenbildung ι ist laut Definition stetig und es gilt ι=ι⁻¹.

Wir nennen eine Menge M ⊆G symmetrisch wenn gilt x∈M ⇔x⁻¹ ∈M. Im Folgenden seiU der Umgebungsfilter von e.

Lemma 1.2.

(i) Die Menge {U ∩U⁻¹ :U ∈ U } ist eine Umgebungsbasis aus symmetrischen Mengen.

(ii) Der Umgebungsfilter von a∈G ist durch {aU :U ∈ U } gegeben.

(iii) F¨ur jedes U ∈ U existiert ein V ∈ U mit V² =V V ⊆U

Beweis. (i) gilt klarerweise wegen Lemma 1.1. F¨ur (ii) benutzt man, dass wegen der Ste- tigkeit der Gruppenmultiplikation eine offene Menge ˜V ∈G×G existiert mitxy ∈ U f¨ur alle (x, y)∈ V˜. Wegen der Definition der Produkttopologie existieren Mengen V₁, V₂ ∈ T mit V₁ ×V₂ ⊆V˜. W¨ahle V =V₁∩V₂, dann ist V wieder offen und es gilt V² ⊆U.

Definition 1.3. Wir nennen eine Funktion f : G → R links-gleichm¨aßig stetig, falls zu jedem >0 eine Umgebung U ∈ U existiert, so dass

|f(x)−f(y)|< , ∀x, y ∈G, x⁻¹y∈U oder ¨aquivalent

|f(x)−f(xu)|< , ∀x∈G, u∈U gilt.

Satz 1.1. Sei (G,T) eine topologische Gruppe, so ist jede Funktion f ∈ C₀(G) links- gleichm¨aßig stetig.

Beweis. Sei >0 fest. Daf stetig ist existiert zu jedemx∈Geine UmgebungU_x ∈ U mit

|f(x)−f(xu)|< f¨ur alle u∈U_x. Laut Lemma 1.2 existiert ˆV ∈ U mit ˆV² ⊆U_x und eine symmetrische Menge Vx ∈ T mit V_x² ⊆ Vˆ. Also gilt V_x³ ⊆ Ux. Da K := supp(f) kompakt ist exisitieren endlich viele Punkte x₁, . . . , x_n, so dass

K ⊆

n

[

i=1

x_iV_xi

gilt. Setze nun V := Tn

i=1V_xi und w¨ahle x ∈ G fest. Ist xV ∩K = ∅ dann ist f(x) = f(xv), v ∈ V und damit auch |f(x)−f(xv)| = 0, v ∈ V. Anderenfalls existiert i ∈ {1, . . . , n} mit xV ∩x_iV_xi 6= ∅ und damit x ∈ x_iV_xiV⁻¹ ⊆ x_iV_x²_i. Also gilt xV ⊆ x_iV_x³_i ⊆ x_iU_xi. Nach der Wahl vonU_xi gilt

|f(x)−f(xv)| ≤ |f(x)−f(x_i)|+|f(x_i)−f(xv)|<2 v ∈V Daher ist f links-gleichm¨aßig stetig.

Wir werden sp¨ater den Darstellungssatz von Riesz verwenden. F¨ur einen Beweis sei zum Beispiel auf [1] verwiesen.

Satz 1.2(Darstellungssatz von F. Riesz). Es seienX ein lokal-kompakter Hausdorff-Raum und I :C₀(X) →R eine positive Linearform. Dann existiert genau ein Radon-Maß µ, so dass

I(f) = Z

X

f dµ, f ∈C₀(X)

Lemma 1.3. Sei (G,T) eine lokal-kompakte Hausdorffsche topologische Gruppe und I : C₀(G) → R eine positive linksinvariante Linearform, so existiert genau ein Radon-Maß mit

I(f) = Z

G

f dµ, f ∈C₀(G) (1)

und µ ist linksinvariant. Umgekehrt enspricht jedem linksinvarianten Radon-Maß µ eine linksinvariante positive Linearform I :C₀₀→R.

Beweis. Nach Satz 1.2 existiert zuI genau ein Radon-Maß µ. Man erh¨alt sofort Z

G

f dL(y)µ= Z

G

f◦L(y)dµ=I(f ◦L(y)) =I(f) = Z

G

f dµ, f ∈C₀₀(G)

Also ist µlinksinvariant. Analog folgt aus der Linksinvarianz eines Radon-Maßes auch die Linksinvarianz der durch (1) definierten Linearform.

2 Das Haarsche Maß

Der folgende Beweis zeigt die Existenz eines linksinvarianten Radon-Maßes speziellen Grup- pen. Solch ein Maß heißt Haar-Maß. Wir verwenden einen ¨ahnlichen Ansatz, wie auch A.

Haar in seinem Originalbeweis. Um diesen zu motivieren sei angenommen, ein linksinvari- antes Maßu sei aufG gegeben. Dann w¨ahlen wir ein KompaktumK₀ ⊆G und normieren µ so, dass µ(K₀) = 1 gilt. Sei nun U ∈ U und K ⊆ G kompakt, so existieren endlich viele Punkte x₁, . . . , x_n mit K ⊆ Sn

i=1x_iU. Nun definiert man (K : U) als minimale An- zahl der n¨otigen Punkte f¨ur solche eine ¨Uberdeckung. Die Idee ist nun, U so klein zu w¨ahlen, dass sich die Translate beinahe l¨uckenlos aneinander f¨ugen, denn dann wird N¨ahe- rungsweise gelten µ(K) ≈ (K : U)µ(U) und µ(K₀) ≈ (K₀ : U)µ(U). Also k¨onnen wir µ(K)≈ (K : U)/(K₀ :U) erwarten. Nun will man U gegen {e} schrumpfen lassen. Stellt sich dabei ein Limes ein, so kann man wegen der Linksinvarianz hoffen, einen Kandidaten f¨ur das Haar Maß gefunden zu haben. A. Haar meisterte dieses Zusammenziehen, indem erGals zus¨atzlich metrisierbar und seperabel voraussetzte.U durchl¨auft dann eine Umge- bungsbasis (U_n)n≥1 und daraus l¨asst sich eine konvergente Teilfolge gewinnen. In unserem Beweis umgehen wir diese zus¨atzlichen Voraussetzungen indem wir den Satz von Tychonoff und ein Kompaktheitsargument verwenden.

Satz 2.1 (A.Haar (1932)). Sei (G,T) eine lokal-kompakte Hausdorffsche topologische Gruppe, so gibt es eine linksinvariante positive Linearform I : C₀(G) → R, I 6= 0. I heißt linkes Haar-Integral auf C₀(G)

Beweis. Es seien f, g ∈C₀₀⁺(G), g 6= 0, dann ist die Menge V :=

x∈G:g(x)> ¹₂ kgk_∞ nicht leer und offen. Wegen der Kompaktheit von supp(f) existieren Punktex₁, . . . , x_k f¨ur die gilt

supp(f)⊆

k

[

i=1

x_i·V

Da f¨ur jeden Punkt in V gilt 2g(x)/kgk_∞ >1, folgt sofort f ≤ ^2kf_kgk^k∞

∞

Pk

i=1g◦L(x⁻¹_i ). Es gilt also zumindest eine Ungleichung folgenden Typs

f ≤

k

X

i=1

c_i·g◦L(x⁻¹_i ), k ∈N, c_i ≥0 undx_i ∈G, i= 1, . . . , k (2) Wir definieren nun

(f :g) := inf

k

X

i=1

c_i, f, g ∈C₀₀⁺(G), g 6= 0

Wobei das Infimum ¨uber alle Folgen c₁, . . . , c_k, k ∈ N gebildet wird, f¨ur die eine Unglei- chung des Typs (2) gilt. F¨ur jede positive, linksinvariante LinearformJ :C₀(G)→R, J 6= 0 gilt J(f)≤Pk

i=1c_i ·J(g), also ^J(f_J(g)⁾ ≤Pk

i=1c_i und damit ^J(f)_J(g) ≤(f :g).

Bemerke außerdem dass (f, g)>0, f, g ∈C₀₀⁺(G), f, g 6= 0 gilt. Um einen ersten Kandi- daten f¨ur das gesuchte Funktional I zu erhalten, wollen wir den beschriebenen Ausdruck normieren, und f¨ur festes g als Funktion von f ansehen. Wir w¨ahlen eine feste Vergleichs- funktion f0 ∈C₀₀⁺(G), f0 6= 0. Es gilt (f0, g)>0. Nun definieren wir

I_g(f) := (f :g)

(f₀ :g), f, g ∈C₀₀⁺(G), g 6= 0 Es gelten folgende Eigenschaften f¨ur I_g :C₀₀⁺(G)→R⁺.

I_g(f◦L(y)) = I_g(f), y ∈G (3)

Ig(λf) = λIg(f), λ≥0 (4)

I_g(f₁+f₂) ≤ I_g(f₁) +I_g(f₂) (5) Außerdem gilt noch

I_g(f)∈ 1

(f₀ :f),(f :f₀)

f 6= 0 (6)

Gleichung (3) ergibt sich folgendermaßen. F¨ur alle c_i ≥0 und x_i ∈G, i= 1, . . . , k, f¨ur die (2) gilt, gilt auch (f◦L(y))(x) =f(L(y)x)≤Pk

i=1c_i g◦L(x⁻¹_i )

(L(y)x).

Da g◦L(x⁻¹_i )

(L(y)x) = (g◦L(x⁻¹_i y))(x) ist, gilt die Ungleichung (2) mit den selben c_i und rechtstranslatierten ˜x_i = R(y)x_i. Also erhalten wir I_g(f ◦L(y)) ≤ I_g(f). Die umge- kehrte Ungleichung gilt nat¨urlich gleichermaßen und damit ist I_g(f ◦L(y)) =I_g(f).

Gleichung (4) ist wegen der Definition von (f :g) und I_g trivial.

Wir kommen zu (5). Wenn f₁ die Ungleichung (2) mit a_i ≥ 0 und y_i ∈ G, i = 1, . . . , k, sowief₂ mit b_i ≥0 undz_i ∈G, i= 1, . . . , l erf¨ullen, dann setze

c_i :=a_i, x_i :=y_i, i= 1, . . . , k und

ci :=bi−k, xi :=zi−k, i=k+ 1, . . . , k+l.

Klarerweise gilt nun

f₁+f₂ ≤

k+l

X

i=1

c_i·g◦L(x⁻¹_i )

Bildet man nun die entsprechenden Infima, so folgt Gleichung (5).

Um (6) einzusehen, zeigen wir zun¨achst

(h₁ :h₃)≤(h₁ :h₂)·(h₂ :h₃), h₁, h₂, h₃ ∈C₀₀⁺(G), h₂, h₃ 6= 0

Wir w¨ahlen wieder entsprechendea_i ≥0 undy_i ∈G, i= 1, . . . , k sowie mitb_i ≥0 undz_i ∈ G, i= 1, . . . , l, so dass (2) gilt:

f ≤

k

X

i=1

a_i·g◦L(y_i⁻¹)

g ≤

l

X

i=1

b_i·h◦L(z⁻¹_i )

Dann sch¨atzt man die rechte Seite der ersten Ungleichung mit der zweiten Ungleichung ab und erh¨alt

f ≤

k

X

i=1

a_i ·g◦L(y⁻¹_i )≤

k

X

i=1 l

X

j=1

b_j ·h◦L((z_jy_i)⁻¹) Also folgt (f :h)≤Pk

i=1

Pl

j=1a_ib_j. Bildet man die Infima, so erh¨alt man (h₁ :h₃)≤(h₁ : h₂)(h₂ :h₃). Setzt man h₁ =f, h₂ =f₀ und h₃ =g, so folgt

(f :g)≤(f :f₀)(f₀ :g) Analog ergibt sich mit h₁ =f₀, h₂ =f und h₃ =g

(f₀ :g)≤(f₀ :f)(f :g).

Aus diesen beiden Ungleichungen erhalten wir 1

(f0 :f) ≤ (f :g) (f0 :g)

| {z }

=Ig(f)

≤(f :f₀)

Wir fassenI_gals einen N¨aherung f¨ur die gesuchte linksinvariante LinearformI auf, denn die Eigenschaften (3) und (4) sind bereits passend. Eigenschaft (5) ist aber f¨ur die angestrebte Linearit¨at unzureichend, daher zeigen wir noch eine Ungleichung in umgekehrter Richtung.

Zu allen f1, f2 ∈C₀₀⁺(G) und >0 gibt es eine Umgebung V ∈ U, so dass

I_g(f₁) +I_g(f₂)≤I_g(f₁+f₂) + (7)

f¨ur alle g ∈C₀₀⁺(G), g 6= 0 mit supp(g)⊆V gilt

Um diese Aussage zu beweisen definiere K := supp(f₁+f₂) und w¨ahle einh∈C₀₀⁺(G) mit h|K = 1. Wir setzen F =f₁+f₂+δhwobeiδ so klein gew¨ahlt wird, dass 2δ(h:f₀)< /2 ist. Weiters definieren wir f¨ur j = 1,2 Funktionen φ_j durch

φ_j(x) :=

( _f

j(x)

F(x) , x∈ {x∈G: F(x)>0}

0 , x∈K^c

Damit sind die Funktion φj schon wohldefiniert, da K ⊆ {x∈G: F(x)>0} und f¨ur x ∈ {x∈G: F(x)>0} ∩K^c schon f_j = 0 ist. Wie man leicht erkennt ist φ_j, j = 1,2 auch stetig, da φ_j,j = 1,2 auf den offenen Mengen {x∈G: F(x)>0} undK^cstetig ist.

Nach Satz 1.1 sind die Funktionen phij, j = 1,2 schon links-gleichm¨aßig stetig. Weiters gilt klarerweise 0≤φ₁+φ₂ ≤1.

W¨ahlen wir nun 0< η < ¹₂ so klein, dass 2η(f₁+f₂ :f₀)< /2 gilt, so existiert V ∈ U mit

|φj(x)−φj(xv)|< η, x∈G, v∈V

F¨ur festes g ∈C₀₀⁺(G), g 6= 0 und supp(g)⊆V seien c_i und x_i so gew¨ahlt, dass F ≤

k

X

i=1

cig◦L(x⁻¹_i ) (8)

gilt.Ist (g◦L(x⁻¹_i ))(x) 6= 0 dann muss x ∈ xisupp(g) ⊆ xiV gelten. Also folgt wegen der gleichm¨aßigen Stetigkeit φ_j(x)≤φ_j(x_i) +η und damit

f_j(x) = φ_j(x)F(x)≤

k

X

i=1

c_i(φ_j(x_i) +η)·g(x⁻¹_i x), x∈G, j = 1,2 Wenn man nun diese beiden Ungleichungen addiert so erh¨alt man

f₁(x) +f₂(x) = (φ₁(x) +φ₂(x))F(x)≤

k

X

i=1

c_i(φ₁(x_i) +φ₂(x_i) +η)·g(xi−1x), x∈G.

Daher ist

(f₁ :g) + (f₂ :g)≤

k

X

i=1

c_i(φ₁(x_i) +φ₂(x_i)

| {z }

≤1

+2η)≤

k

X

i=1

c_i(1 + 2η)

Bildet man das Infimum ¨uber alle Folgen c₁, . . . , c_k, k∈N f¨ur die Ungleichung (8) gilt, so folgt

(f₁ :g) + (f₂ :g)≤(F :g)(1 + 2η)≤((f₁+f₂ :g) +δ(h:g))(1 + 2η)

Die zweite Ungleichung folgt aus (3) und (4) da (f_j :g) =I_g(f_j)(f₀ :g) gilt. Wir erhalten also

I_g(f₁) +I_g(f₂)≤(I_g(f₁ +f₂) +δI_g(h))(1 + 2η) Mit (6) und der Wahl von δ und η folgt

2ηI_g(f₁+f₂)≤2η(f₁+f₂ :f₀)< /2 δI_g(h)(1 + 2η)≤2δ(h:f₀)< /2 Damit ist (7) bewiesen.

Nun bleibt ist nur noch der oben angedeutete Prozess des Zusammenziehens zu spezifizieren. Wir betrachten den Produktraum

X = Y

f∈C⁺₀₀(G), f6=0

1

(f₀ :f),(f :f₀)

Dieser ist nach dem Satz von Tychonoff als Produkt kompakter R¨aume wieder kompakt in der Produkttopologie, und nach (6) ist I_g ∈ X f¨ur alle g ∈ C₀₀⁺(G), g 6= 0. F¨ur alle V ∈ U sei nun W(V) definiert als Abschluss der Menge w(V) := {I_g : g ∈ C₀₀⁺(G), g 6=

0, supp(g)⊆V}in X. F¨urV_i ∈ U, i= 1, . . . , k gilt, dass der Durchschnitt

k

\

i=1

W(V_i)⊇

k

\

i=1

w(V_i) =w(

k

\

i=1

V_i)6=∅

nicht leer ist. Da die F(V) als abgeschlossene Teilmengen von X wieder kompakt sind, erf¨ullen sie die endliche Durchschnittseigenschaft und es existiert

I ∈ \

V∈U

F(V)

Die FunktionI ist im Abschluss jeder Menge der Form{I_g :g ∈C₀₀⁺(G), g6= 0, supp(g)⊆ V}und damit gibt zu jedemV ∈ U und jeder UmgebungU von I in der Produkttopologie eine Funktion Ig mit supp(g) ⊆V, so dass Ig ∈ U. Nach Definition der Produkttopologie gibt es also zu allenf₁, . . . , f_k ∈C₀₀⁺(G)\{0}, k∈N, >0 undV ∈ U eing ∈C₀₀⁺(G), g 6=

0 mit supp(g)⊆V f¨ur das gilt

|I(f_j)−I_g(f_j)|< f¨ur alle j = 1, . . . , k.

Durch diese Approximationseigenschaft, bleiben die Eigenschaften (3),(4),(5) und (6), die wir f¨urIg bewiesen haben, auch f¨urI erhalten. Weiters gilt (7) f¨ur alle >0 und wir haben

I(f◦L(y)) = I(f), y ∈G (9)

I(λf) = λI(f), λ≥0 (10)

I(f₁+f₂) = I(f₁) +I(f₂) (11) I(f) ∈

1

(f₀ :f),(f :f₀)

(12)

Nun kann manI auf C₀(G) fortsetzen. Seif ∈C₀₀(G) dann kann manf schreiben alsf = f₁−f₂ und f₁, f₂ ∈C₀₀⁺(G). Man definiertI(f) =I(f₁) +I(f₂). Um die Wohldefiniertheit von I zu zeigen,seien f = f₁ −f₂ und f = ˜f₁ −f˜₂ zwei Zerlegungen von f. Dann folgt f₁+ ˜f₂ = ˜f₁+f₂ und damit

I(f₁) +I( ˜f₂) =I(f₁+ ˜f₂) =I( ˜f₁+f₂) = I( ˜f₁) +I(f₂) also

I(f1)−I(f2) =I( ˜f1)−I( ˜f2)

Nun rechnet man leicht nach, dass die so definierte Fortsetzung I :C₀(G)→Rauch linear ist. Im Folgenden seif =f⁺−f⁻eine beliebige Zerlegung vonf in positiven und negativen Anteil. Es gilt

I(f₁+f₂) =I(f₁⁺−f₁⁻+f₂⁺−f₂⁻) =I(f₁⁺+f₂⁺−(f₁⁻+f₂⁻)) =I(f₁⁺+f₂⁺)−I((f₁⁻+f₂⁻)) =

=I(f₁⁺) +I(f₂⁺)−I(f₁⁻)−I(f₂⁻) =I(f₁) +I(f₂), also ist I additiv. Sei σ das Vorzeichen von λ∈R dann gilt

I(λf) = I(σ|λ|f⁺−σ|λ|f⁻) =σI(|λ|f⁺)−σI(|λ|f⁻) =

=σ|λ|I(f⁺)−σ|λ|I(f⁻) =λI(f)

Somit ist gezeigt, dass I linear ist. F¨ur ein f ∈C₀₀⁺(G) gilt wegen (12) I(f)≥ 1

(f₀ :f) >0

Daher ist I ein positives Funktional. Der Existenzbeweis ist damit abgeschlossen.

Nach Lemma (1.3) ist dieser Satz ¨auqivalent zu folgender Aussage.

Satz 2.2. Sei (G,T) eine lokal-kompakte Hausdorffsche topologische Gruppe, so existiert ein linksinvariantes Radon-Maß µ auf G.

Bevor wir die Eindeutigkeit beweisen, ben¨otigen wir noch folgendes Resultat.

Lemma 2.1. Jede Funktion f ∈C₀(G×G) ist B(G)× B(G) messbar.

Beweis. Man betrachte die lineare H¨ulle M ⊆C₀(G×G), aller Funktionen der Bauart f ·g : (x, y)7→f(x)·g(x) f, g∈C₀(G)

Dann ist M gegen¨uber der Multiplikation abgeschlossen, denn es gilt X

k

fk·gk

! X

j

hj ·rj

!

=X

k,j

(fkhj)·(gkrj) ∈M

Also ist M eine Algebra. Ist (x₁, x₂) 6= (y₁, y₂) und O.B.d.A x₁ 6= x₂, dann w¨ahle eine Funktion f ∈C₀(G) mit f(x₁)6= f(y₁). W¨ahle weiters g ∈C₀(G) mit g(x₂) = g(y₂) = 1.

Dann gilt

f·g ∈M und

(f·g)(x₁, x₂)6= (f ·g)(y₁, y₂)

Also istM punktetrennend, und wir k¨onnen den Satz von Stone-Weierstrass f¨ur lokalkom- pakte Haussdorfr¨aume anwenden. Damit erhalten wir M^k·k∞ =C₀₀(G×G) und insbeson- dere M^k·k∞ ⊇C₀(G×G). Die Funktionen der Bauart f·g ∈M sind wie folgt darstellbar

f·g = ˆf ·ˆg mit

fˆ: (x, y)7→f(x) gˆ: (x, y)7→g(y)

F¨ur jede offene Menge O ∈ R gilt klarerweise ˆf⁻¹(O) = f⁻¹(O) × G und ˆg⁻¹(O) = G×g⁻¹(O). Die Urbilder offener Mengen sind also Elemente vonB(G)× B(G) und daher sind die beiden Funktionen messbar. F¨ur jede Funktion ausM gilt, dass sie als Summe von Produkten von Messbaren Funktionen selbst messbar ist. Jedes Element aus C₀₀(G×G) l¨asst sich durch eine Folge aus M approximieren und ist daher messbar.

Satz 2.3 (Eindeutigkeit des Haarschen Maßes). Das Haarsche-Maß ist bis auf einen posi- tiven konstanten Faktor eindeutig bestimmt.

Beweis. Seienµ₁ undµ₂ zwei linksinvariante, nicht verschwindende Radon-Maße. Betrach- te folgende Funktion f¨ur ein f ∈C₀(G) mit < f, µ₁ >:=R

Gf(t)dµ₁(t)6= 0

∇f :G→R, x7→ 1

< f, µ₁ >

Z

g

f(tx)dµ2(t) Dann ist ∇f stetig. Dazu betrachtet man

Z

G

f(tx)dµ₂(t)− Z

G

f(ty)dµ₂(t)

≤ Z

G

|f(tx)−f(ty)|dµ₂(t)

Wegen Satz 1.1 istf links-gleichm¨aßig stetig, also gibt es f¨ur alle >0 ein U ∈ U mit

|f(tx)−f(ty)|< , ∀x, y ∈G: x⁻¹t⁻¹ty =x⁻¹y ∈U

Da G lokal-kompakt ist und x7→x⁻¹ stetig ist, k¨onnen wir U n¨otigenfalls so verkleinern, dassU⁻¹ ⊆U₀ f¨ur irgend eine kompakte Umgebung vonegilt. F¨urx⁻¹y∈U undf(ty)6= 0 folgt t ∈ supp(f)y⁻¹ ⊆ supp(f)U⁻¹x⁻¹ ⊆ supp(f)U₀x⁻¹. Analog erkennt man das f¨ur f(tx)6= 0 giltt∈supp(f)U₀x⁻¹. Nun erh¨alt man

Z

G

|f(tx)−f(ty)|dµ2(t) = Z

supp(f)U0x⁻¹

|f(tx)−f(ty)|dµ2(t)≤·µ2(supp(f)U0x⁻¹) =C

Wegen der lokalen Endlichkeit von Radon-Maßen und da supp(f)U₀x⁻¹ kompakt ist gilt C <∞. Daher die Funktion stetig.

Nun gilt f¨ur g ∈C₀(G)

< f, µ₁ >

Z

G

g(t⁻¹)dµ₂ = Z

G

f(s)dµ₁(s)· Z

G

g(t⁻¹)dµ₂(t) = Z

G

Z

G

f(s)g(t⁻¹)dµ₂(t)dµ₁(s) Wegen der Linksinvarianz von µ2 ist dieser Ausdruck gleich

Z

G

Z

G

f(s)g(t⁻¹s)dµ2(t)dµ1(s) = Z

G

Z

G

f(s)g(t⁻¹s)dµ1(s)dµ2(t) = Beachte f((s⁻¹t)⁻¹)) =f(t⁻¹s)

= Z

G

Z

G

f(ts)g(s)dµ₁(s)dµ₂(t) = Z

G

Z

G

f(ts)g(s)dµ₂(t)dµ₁(s) =

=< f, µ₁ >· Z

G

g(s)∇_f(s)dµ₁(s)

Es bleibt zu zeigen, dass hier der Satz von Fubini anwendbar ist. Probleme bereitet, dass die Maße im Allgemeinen nichtσ-endlich sind. Die Messbarkeit der Integrandenh₁(x, y) :=

f(s)g(t⁻¹s) und h2(x, y) :=f(ts)g(s) wird durch Lemma 2.1 gesichert.

Seien K₁ := supp(f) und K₂ := supp(g) definiert dann l¨asst sich leicht nachrechnen dass supp(h1)⊆K1×K1K₂⁻¹, supp(h2)⊆K2×K1K₂⁻¹

gilt. Diese Mengen sind wieder kompakt und auch B(G)×B(G) messbar. Daher sind die Maße µ1, µ2 auf diesen Mengen endlich, und wir k¨onnen die Maße darauf einschr¨anken, und das Integral ¨uber den Produktraum definieren als

Z

G

Z

G

h₁(x, y)dµ₁(x)dµ₂(y) = Z

G

Z

G

h₁(x, y)dµ₁(x)|_K1dµ₂(y)|_K

1K₂⁻¹

Analoges gilt auch f¨ur h₂. Die eingeschr¨ankten Maße sind endlich, also insbesondere σ- endlich, und die Integranden beschr¨ankt, also auf jeden Fall integrierbar, daher kann man den Satz von Fubini anwenden.

K¨urzt man nun durch < f, µ₁ > so erh¨alt man Z

G

g(t⁻¹)dµ₂ = Z

G

g(s)∇_f(s)dµ₁(s)

Da die linke Seite nicht von der Wahl von f abh¨angig ist gilt nun f¨ur beliebige g, h, f ∈ C0(G) mit < h, µ1 >6= 0 und < f, µ1 >6= 0

Z

G

g(s)∇f(s)dµ1(s) = Z

G

g(s)∇h(s)dµ1(s)

Da ∇_f stetig ist folgt

∇_f =∇_g und damit ∇f(e) = _<f,µ¹

1>

R

gf(t)dµ2(t) = C also C < f, µ1 >=< f, µ2 >. Die linearen Funktionale C <·, µ₁ >und<·, µ₂ >stimmen also auf dem Komplement der Hyperebene

< f, µ₁ >= 0 ¨uberein, und sind damit gleich. Da beide Maße positiv sind folgt insbesondere C >0. Wegen der Eindeutigkeitsaussage in Satz 1.2 ist Cµ₁ =µ₂.

3 Die duale Gruppe und Fourier Transformation

Im Folgenden sei (G,T) eine lokal-kompakte, hausdorffsche, abelsche Gruppe. Die Gruppe wird additiv geschrieben. Die ben¨otigten Maße, sind die eindeutigen Haarschen Maße der Gruppen.

Definition 3.1. Eine Funktion γ : G → C heißt Charakter von (G,T), falls |γ(x)| = 1 f¨ur alle x∈G und falls die Funktionalgleichung

γ(x+y) =γ(x)·γ(y), ∀x, y ∈G

erf¨ullt ist. Die Menge aller stetigen Charakter von (G,T) bildet eine Gruppe Γ falls die Addition mit

(γ₁+γ₂)(x) = γ₁(x)·γ₂(x), x∈G, γ_1,2 ∈Γ

definiert wird. Γ heißt die duale Gruppe von G. Wegen der Dualit¨at von Γ und G ist es sinnvoll die Notation (x, γ) :=γ(x) einzuf¨uhren.

Es ist einfach zu sehen, das folgende Eigenschaften erf¨ullt sind.

(0, γ) = (x,0) = 1, x∈G, γ ∈Γ (−x, γ) = (x,−γ) = (x, γ)⁻¹

Wegen (x, γ) = (x, γ + 0) = (x, γ)(x,0) folgt, dass (x,0) = 1 gilt. Genauso sieht man (x, γ) = (0 + x, γ) = (0, γ)(x, γ) ⇒ (0, γ) = 1. Da 1 = (0, γ) = (x, γ)(−x, γ) und 1 = (x,0) = (x, γ)(x,−γ) gilt, folgen die ¨ubrigen Aussagen sofort.

Bevor wir nun Γ mit einer Topologie versehen, zeigt der n¨achste Satz, dass man Γ mit der Menge aller Homomorphismen der BanachalgebraL¹(G) identifizieren kann. Dazu ben¨otigen wir allerdings folgendes Lemma

Lemma 3.1. Sei A eine Banachalgebra und h:A→C ein komplexer Homomorphismus, dann gilt khk ≤1

Beweis. Angenommen es existiert ein x0 ∈ A mit |h(x0)| > kx0k. Setze x = _h(x^x0

0) und s_n =−x−x²− · · · −xⁿ. Da kxⁿk ≤ kxkⁿ gilt folgt f¨urn < m

ksm−snk ≤ kx^m+1k+· · · kxⁿk ≤

n

X

k=m+1

kxk^k.

Sie SummePn

k=m+1kxk^k geht wegen kxk<1 gegen Null. Also ists_n eine Cauchyfolge. Da Avollst¨andig ist existiert einy mitks_n−yk →0. Man sieht sofort dasx+s_n =xs_n−1 gilt.

Geht man zum Grenzwert ¨uber, folgt x+y=xy. Nun erhalten wir den Widerspruch 1 +h(y) = h(x) +h(y) = h(x)h(y) =h(y).

Satz 3.1. F¨ur γ ∈Γ und

f(γ) =ˆ Z

G

f(x)(−x, γ)dx f ∈L¹(G) (13)

ist die Abbildung f 7→ fˆ(γ) ein nichtverschwindender, komplexer Homomorphismus auf L¹(G). Umgekehrt kann man jeden nicht verschwindenden komplexen Homomorphismus auf L¹(G) in obiger Weise eindeutig darstellen.

Beweis. Es seien f, g∈L¹(G) dann gilt f[∗g(γ) =

Z

G

(f ∗g)(x)(−x, γ)dx= Z

G

(−x, γ) Z

G

f(x−y)g(y)dydx=

= Z

G

g(y)(−y, γ) Z

G

f(x−y)(−x+y, γ)dxdy

Wegen der Translationsinvarianz vondx, dy ist dieser Ausdruck ¨aquivalent zu Z

G

g(y)(−y, γ)dy Z

G

f(x)(−x, γ)dx= ˆg(γ) ˆf(γ)

Also ist die Abbildung multiplikativ und klarerweise ist sie auch linear. Daher ist die Funktion f 7→ f(γ) ein Homomorphismus. F¨ˆ ur die Umkehrung sei angenommen, dass h ein komplexer Homomorphismus von L¹(G) ist und h 6= 0 gilt. Laut Lemma 3.1 ist h ein beschr¨ankes lineares Funktional mit Norm kleiner gleich 1. Man kann h nun wie folgt darstellen.

h(f) = Z

G

f(x)φ(x)dx f¨ur ein φ∈L^∞(G) mit kφk_L^∞ ≤1. Wir schreiben nun

Z

G

h(f)g(y)φ(y)dy =h(f)h(g) =h(f ∗g) = Z

G

(f ∗g)(x)φ(x)dx=

= Z

G

g(y) Z

f(x−y)φ(x)dxdy= Z

G

g(y)h(f_y)dy Wobei f_y =f(x−y) ist. Da g beliebig war gilt nun

h(f)φ(y) =h(f_y), f.¨u. in G

Da die Translation sowie h stetig sind folgt das φ fast ¨uberall mit einer stetigen Funktion

¨ubereinstimmt. Also k¨onnen wir φ als stetig annehmen. Ersetzt man im obigen Beweis y mit x+y und f mit f_x dann erh¨alt man

h(f)φ(x+y) =h(f_x+y) =h((f_x)_y) =h(f_x)φ(y) =h(f)φ(x)φ(y)

Sei f ∈ L¹(G) eine Funktion mit h(f) 6= 0, dann folgt φ(x+y) =φ(x)φ(y). Wie schon in Definition 3.1 gesehen impliziert diese Gleichung φ(−x) = φ(x)⁻¹. Angenommen es gibt ein Element x ∈ G mit |φ(x)| <1, so erh¨alt man den Widerspruch φ(−x) = φ(x)⁻¹ > 1.

Also ist φ∈Γ.

Schlussendlich sei ˆf(γ₁) = ˆf(γ₂) dann folgt aus (13) das (−x, γ1) = (−x, γ2)

f¨ur fast alle x∈Ggelten muss. Da γ_1,2 stetige Funktionen sind folgt also γ₁ =γ₂.

3.1 Die Fourier Transformation

Definition 3.2. F¨ur alle Funktionen f ∈ L¹(G), definieren wir die Abbildung fˆ: Γ → C durch

f(γ) =ˆ Z

G

f(x)(−x, γ)dx γ ∈Γ fˆheißt Fourier Transformierte von f.

Wir nennen die Menge aller ˆf nun A(Γ) und versehen Γ mit der durch A(Γ) induzierten initialen Topologie. Wie wir in Satz 3.2 sehen werden ist A(Γ) punktetrennend, daraus folgt das Γ ein Hausdorffraum ist. Die Menge C0(Γ) bezeichne von nun an alle stetigen Funktionen von Γ nach C die im Unendlichen verschwinden.

Lemma 3.2. F¨ur alle f ∈ L¹(G) gilt fˆ ∈ C₀(Γ). Außerdem ist Γ lokal-kompakt und Hausdorffsch.

Beweis. Wegen der Wahl der Topologie aufA(Γ) ist ˆf ∈C(G) klar.

Bezeichne mit ∆ die Menge aller komplexen Homomorphismen von A := L¹(G) die nicht verschwinden. Satz 3.1 zeigt, dass man ∆mitΓ identifizieren kann. Also k¨onnen wir Γ = ∆ ⊆ A^∗ auch mit einer relativ Topologie von A^∗, der ω^∗-Topologie versehen. Diese Topologie ist die initiale Topologie bez¨uglich der Abbildungen

ι(f)(h) :=h(f) = ˆf(γ_h), h∈∆, γ_h ∈Γ, f ∈A

Wobei γ_h durch Satz 3.1 festgelegt wird. Also gilt auf Γ dass die Abbildungsfamilien A(Γ) und die Einbettung von A in den Bidualraum ¨ubereinstimmen. Daher ist die initiale To- pologie bez¨uglich A(Γ) auf Γ gleich der relativen ω^∗-Topologie. Wegen khk ≤ 1 f¨ur alle

h∈∆, gilt dass ∆⊆S^∗, wobei S^∗ die abgeschlossene Einheitskugel von A^∗ bezeichnet. Es gilt

∆∪ {0}= \

f∈L¹(G)

ι(f)⁻¹

Ukfk_L1(0)

∩ \

f,g∈L¹(G)

(ι(f)·ι(g)−ι(f +g))⁻¹(0)

wobeiι(f)·ι(g) punktweise definiert ist. Als Durchschnitt von Urbildern stetiger Funktionen von abgeschlossenen Mengen ist ∆∪ {0} abgeschlossen in der w^∗-Topologie. Damit ist

∆∪ {0} nach dem Satz von Banach-Alaoglu w^∗-kompakt. Nun ist ∆∪ {0} ein kompakter Hausdorffraum und ∆ lokal-kompakt und hausdorffsch. Es bleibt noch ˆf ∈C₀(Γ) zu zeigen.

Sei dazu ˆf ∈A(Γ) und >0 vorgegeben, dann definiere K = ˆf⁻¹

Ukfk_L1(0)\U(0)

K ist abgeschlossen und als Teilmenge von S^∗ kompakt in der w^∗-Topologie die mit der Topologie von Γ ¨ubereinstimmt. F¨ur einγ /∈K gilt klarerweise dann |f(γ)|ˆ < und damit fˆ∈C₀(Γ).

Satz 3.2.

(i) A(Γ) ist eine separierende, selbst-adjungierte Unteralgebra von C₀(Γ), und ist laut dem Satz von Stone Weierstrass A(Γ) dicht in C₀(Γ) .

(ii) Die Fourier Transformierte von f∗g ist fˆg.ˆ (iii) fˆ_x(γ) = (−x, γ) ˆf(γ)

(iv) Betrachtet man die Fourier Transformation als Abbildung von L¹(G) nach C₀(Γ), dann ist diese Abbildung stetig. Also kfˆk∞≤ kfk_L¹

(v) F¨ur f ∈L¹(G) und γ ∈Γ gilt (f ∗γ)(x) = (x, γ) ˆf(γ).

Beweis. (i) Sei f ∈L¹(G), dann gilt f¨ur ˜f :x7→f(−x), ˜f ∈L¹(G) und fˆ˜= ˆf.

fˆ(γ) = Z

G

f(x)(−x, γ)dx= Z

G

f(x)(x, γ)dx = Z

G

f(−x)(−x, γ)dx =fˆ˜(γ)

Die Abgeschlossenheit gegen¨uber den algebraischen Operationen folgt aus Satz 3.1. Seien γ1, γ2 ∈ Γ verschieden. Wegen der Stetigkeit existiert eine offene Menge U aus G sodass O.B.d.A γ₁(x) < γ₂(x) f¨ur alle x ∈ U gilt. W¨ahle eine Funktion f aus L¹(G) mit Tr¨ager inU dann gilt trivialerweise ˆf(γ₁)<f(γˆ ₂). Also ist A(Γ) separierend.

Der Punkt (ii) wurde bereits in Satz 3.1 gezeigt.

(iii)

fˆ_x(γ) = Z

G

f(y−x)(−y, γ)dy= (−x, γ) Z

G

f(y−x)(x−y, γ)dy = (−x, γ) ˆf(γ) F¨ur (iv) betrachtet man

f(γ) =ˆ Z

G

f(x)(−x, γ)dx≤ Z

G

|f(x)|dx=kfk_L¹

Auch (v) braucht man nur nachrechen.

(f ∗γ)(x) = Z

G

f(x−y)(y, γ)dy= (x, γ) Z

G

f(x−y)(−(x−y), γ)dy = (x, γ) ˆf(γ)

Literatur

[1] J¨urgen Elstrodt. Maß- und Integrationstheorie, Springer-Verlag Berlin Heidelberg [2] Walter Rudin. Fourier Analysis on Groups, Interscience Publishers