Einfache Beispiele f¨ ur gew¨ ohnliche DGL

Differentialgleichungen f¨ ur Ingenieure WS 06/07

Dozent: Michael Karow

Sprechstunde: Di 14-16 in MA 470.

Ubungsbetrieb:¨ Anna Shumilina

; Zust¨andig f¨ur organisatorische Fragen (aber auch f¨ur fachliche)

Themen heute:

1. Grundbegriffe

2. einfache Beispiele

3. Anwendungen

4. ¨Uberblick ¨uber die Vorlesung

Eine Differentialgleichung (DGL) ist eine Gleichung, in der eine gesuchte Funktion und ihre Ableitung(en) vorkommen.

Beispiele:

1. y^′(x) = 5 y(x) + sin(y(x)²) kurz: y^′ = 5 y + sin(y²) (gew¨ohnliche DGL 1. Ordnung)

2. y^′′′(x) + y^′(x)/y(x) − x = 0 kurz: y^′′′ + y^′/y − x = 0 (gew¨ohnliche DGL 3. Ordnung)

3. x¨(t) = −k x(t) − cx˙(t) kurz: x¨ = −k x − cx˙ (gew¨ohnliche DGL 2. Ordnung)

4.

"

x˙(t) v(t)˙

#

=

"

v(t)

−k x(t) − c v(t)

#

(System gew¨ohnlicher DGL 1. Ordnung)

5. ^∂2u

∂x²(x, y) + ^∂2u

∂y²(x, y) = 0 (partielle DGL 2. Ordnung)

Gegensatz: algebraische Gleichung - Differentialgleichung

Algebraische Gleichung: y² − 4y + 3 = 0 L¨osungen sind Zahlen:

y = 1, y = 4

Differentialgleichung: y^′′ − 4y^′ + 3 = 0 L¨osungen sind Funktionen:

y=y(x)

Einfache Beispiele f¨ ur gew¨ ohnliche DGL

Es ist

tan^′(x) = 1 + (tan(x))². Daher ist

y(x) = tan(x) eine L¨osung der DGL

y^′ = 1 + y². Weitere L¨osungen sind

y(x) = tan(x + c), wobei c ∈ R eine beliebige Konstante ist.

Erinnerung: Die Ableitung des Tangens

tan(x) = sin(x)

cos(x) ⇒ tan^′(x) = sin^′(x) cos(x) − sin(x) cos^′(x) cos(x)²

= cos(x) cos(x) + sin(x) sin(x) cos(x)²

= 1 + sin(x)² cos(x)²

= 1 + tan(x)².

Einfache Beispiele f¨ ur gew¨ ohnliche DGL

F¨ur jeden Exponenten p ∈ R _ist

(x^p)^′ = p x^p−1 = p x x^p. Daher ist

y(x) = x^p eine L¨osung der DGL

y^′ = p x y.

Die weitere L¨osungen sind

y(x) = c x^p, wobei c ∈ R eine beliebige Konstante ist.

Einfache Beispiele f¨ ur gew¨ ohnliche DGL

Es ist

(e^x)^′ = e^x Daher ist

y(x) = e^x eine L¨osung der DGL

y^′ = y.

Weitere L¨osungen sind

y(x) = c e^x, wobei c ∈ R eine beliebige Konstante ist.

Erinnerung: Begr¨undung f¨ur die Identit¨at (e^x)^′ = e^x. Definition von e^x durch eine Potenzreihe:

e^x = exp(x)

=

X∞ k=0

x^k k!

= 1 + x + x²

2 + x³

2 · 3 + x⁴

2 · 3 · 4 + . . . Gliedweises Differenzieren ergibt

(e^x)^′ = 0 + 1 + 2 x

2 + 3 x²

2 · 3 + 4 x³

2 · 3 · 4 + . . .

= e^x

Einfache Beispiele f¨ ur gew¨ ohnliche DGL

Die Differentialgleichung

y^′(x) = a y(x), wobei a ∈ C _konstant hat die L¨osungen

y(x) = c e^ax,

wobei c ∈ C eine beliebige Konstante ist, denn

y^′(x) = (c e^ax)^′ = c a e^ax = a c e^ax = a y(x).

Tatsache: Es gibt keine weiteren L¨osungen. (Beweis sp¨ater.)

Praktische Bedeutung der Dgl y

( x ) = a y ( x )

In den Anwendungen h¨aufig:

y=Menge eines Stoffes oder

Anzahl der Individuen einer Spezies x = t = Zeit

a= Wachstums- oder Zerfallskonstante.

Andere Schreibweisen f¨ur die DGL y^′(x) = a y(x):

y(t) =˙ a y(t), dy

dt = a y(t), dy = a y(t) dt Diese DGL gilt n¨aherungsweise f¨ur

1. das Wachstum einer Population unter optimalen Bedingungen (a > 0) 2. den Zerfall einer radioaktiven Substanz (a < 0)

(Es ist a = −ln 2/Halbwertzeit )

Stromfluss bei Entladung eines Kondensators

Notation:

I=Stromst¨arke U=Spannung R=Widerstand C=Kapazit¨at

R

C

I

Es ist I = C U , U˙ = −R I. Es folgt: U˙ = −R I˙. Einsetzen und Umstellen ergibt die DGL

I˙ = −(1/RC) I mit der L¨osung

I(t) = I(0)e^−(1/RC)t.

Abk¨uhlung/Aufheizung eines K¨orpers in einem W¨armebad

Newtonsches Abk¨uhlungsgesetz:

dθdt = −k (θ − θ_A), k > 0 konstant.

θ

θ

A

wobei θ = r¨aumlich gemittelte Temperatur des K¨orpers θ_A = konstante Temperatur des W¨armebads

L¨osung: Setze y(t) = θ(t) − θ_A. Dann ist

dy

dt = ^dθ_dt = −k(θ − θ_A) = −k y.

Also y(t) = c e^−kt. Also θ(t) = θ_A + c e^−kt.

F¨ur die Konstante c folgt θ(0) = θ_A + c, d.h. c = θ(0) − θ_A. Dies eingesetzt ergibt

θ(t) = θ_A + (θ(0) − θ_A)e^−kt

Einfache Beispiele f¨ ur gew¨ ohnliche DGL

Die Differentialgleichung

y^′(x) = a(x)y(x), a(·) eine stetige Funktion, hat die L¨osungen

y(x) = c e^A(x),

wobei c ∈ C eine beliebige Konstante, und A(·) eine festgew¨ahlte Stammfunktion von a(·) ist, denn

y^′(x) = c e^A(x)′ = c A^′(x) e^A(x) = a(x)c e^A(x) = a(x) y(x).

Jede Stammfunktion von a(·) ist von der Form A(x) =

Z _x

x₀ a(ξ) dξ.

Beweis in der n¨achsten Vorlesung.

DGL des unged¨ampften harmonischen Oszillators:

y¨(t) = −ω² y(t), ω > 0

Physikalische ’Realisierungen’ des harmonischen Oszillators

Feder elektrischer Schwingkreis

000000000000 000000000000 000000000000 000000000000 111111111111 111111111111 111111111111 111111111111

y

y(t) m

s

0

L C

I

U

Beim Schwingkreis: U = −LI˙, I = C U˙ Differentialgleichungen:

y(t) =¨ − s

m y(t) U¨(t) = − 1

LC U(t).

DGL des unged¨ampften harmonischen Oszillators:

y(t) = ¨ −ω

y(t), ω > 0.

Die Funktionen sin(ωt), cos(ωt) sind L¨osungen, aber auch alle Linearkombinationen

y(t) = c₁ sin(ωt) + c₂ cos(ωt), c₁, c₂ ∈ R

ebenso wie die mit Amplitude und Phase versehenen Cosinus-Funktionen A cos(ωt − φ), A ≥ 0, φ ∈ R_.

Es besteht der Zusammenhang

A cos(ωt − φ)= c₁ sin(ωt) + c₂ cos(ωt) mit

A =

q

c²₁ + c²₂, tan(φ) = c₂ c₁.

Merke: Die ¨Uberlagerung einer Sinus- und einer Cosinus-

Schwingung mit gleicher Kreisfrequenz ω ergibt eine phasen- verschobene Cosinus-Schwingung mit derselben Kreisfrequenz

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−3

−2

−1 0 1 2 3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−3

−2

−1 0 1 2 3

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

−2 0 2

+

=

A cos(ω t −φ) c1 sin(ω t)

c2 cos(ω t)

Die Beziehungen zwischen den Schwingungen sind:

A =

q

c²₁ + c²₂, tan(φ) = c₂ c₁. Begr¨undung auf der n¨achsten Seite.

y(t) = c₁ sin(ωt) + c₂ cos(ωt)

=

q

c²₁ + c²₂

| {z } A











c₁

qc²₁ + c²₂

| {z } η

sin(ωt) + c₂

qc²₁ + c²₂

| {z } ξ

cos(ωt)











= A(η sin(ωt) + ξ cos(ωt))

Es ist ξ² + η² = 1. Der Punkt (ξ, η) liegt also auf dem Einheitskreis.

Es gibt daher einen Winkel φ ∈ [−π, π], so dass

ξ = cos(φ), η = sin(φ), tan(φ) = η

ξ = c₂ c₁. Siehe Bild auf der n¨achsten Seite. Damit hat man

y(t) = A(sin(φ) sin(ωt) + cos(φ) cos(ωt))

Nun benutzt man das Additionstheorem f¨ur Cosinus in der Form cos(α − β) = sin(β) sin(α) + cos(β) cos(α)

mit α = ωt, β = φ. Man bekommt so

y(t) = Acos(ω t − φ)

Merke: Zu jedem Punkt (ξ, η) auf dem Einheitskreis gibt es einen Winkel φ, so dass

ξ = cos(φ), η = sin(φ), tan(φ) = η ξ.

cos( ) sin( )φ

φ

φ η

ξ (ξ,η) 1

Komplexe L¨osungen f¨ur Differentialgleichungen Die Differentialgleichung des harmonischen Oszillators

y(t) =¨ −ω² y(t) hat die komplexwertigen L¨osungen

y(t) = z₁ e^{iω t} + z₂ e^{−iω t}, z₁, z₂ ∈ C_.

Beweis durch Nachrechnen. Alle reellen L¨osungen yR bekommt man, indem man z.B. vom ersten Summanden den Realteil nimmt:

yR(t) = ℜ(z₁ e^{iω t})

= ℜ( (c₂ − i c₁)(cos(ω t) + i sin(ω t))), z₁ = c₂ − c₁ i, c₁, c₂ ∈ R

= c₁ sin(ω t) + c₂ cos(ω t).

Beim L¨osen von Differentialgleichungen wird oft mit komplexen Zahlen gerechnet.

Beispiel f¨ur ein System von Differentialgleichungen 2. Ordnung

0000000000000 0000000000000 0000000000000 0000000000000 1111111111111 1111111111111 1111111111111 1111111111111

00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 00 0

11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 1

000 111 000 111 000 111 000 111

0 0

m

m u

u2

1

2

s

s

1

1

2

f

Notation:

u_k=Auslenkung von Masse k aus der Ruhelage s_k=Steifigkeit von Feder k

m_k=Masse k

f(t)=¨aussere Kraft auf Masse 2 Bewegungsgleichungen:

m₁ ¨u₁ = −s₁ u₁ + s₂ (u₂ − u₁) m₂ ¨u₂ = −s₂ (u₂ − u₁) + f(t)

Bewegungsgleichungen in Matrixform:

"

u¨₁ u¨₂

#

= −

"

(s₁ + s₂)/m₁ −s₂/m₁

−s₂/m₂ s₂/m₂

# "

u₁ u₂

#

+

"

0 f(t)/m₂

#

Systeme von gew¨ohnlichen Differentialgleichungen Diese treten auf bei der Beschreibung von Systemen mit mehreren aber endlich vielen Freiheitsgraden. Beispiele:

1. Feder-Masse-D¨ampfer-Systeme, Systeme starrer K¨orper.

2. Elektrische Netzwerke.

3. Bewegung eines Massepunkts in einem Kraftfeld:

m¨x ₌ F_(t,x_, x˙_).

Dabei ist x ₌ x_{(t) ∈} Rⁿ die Bahn des Massepunkts,

4. Bewegung eines materiellen Punktes in einer Str¨omung:

˙

x ₌ v_(t, x₎

Dabei ist v_(t,x₎ das Geschwindigkeitsfeld der Str¨omung.

5. gekoppelte chemischen Reaktionen (→ Ubungsblatt).¨

Beispiel: Bewegung eines Planeten im Kraftfeld der Sonne

Sei (x₁(t), x₂(t), x₃(t)) = x_{(t) ∈} R³ die Position des Planeten zur Zeit t.

Die Bewegungsgleichung lautet

m¨x_{(t) =} ^{γ m MS}

|x_{S(t) −} x_(t)|²

x_{S(t) −} x_(t)

|x_{S(t) −} x_(t)|^{. (∗)} Dabei ist

m Planetenmasse M_S Sonnenmasse

γ Gravitationskonstante x_S(t) Position der Sonne Der Vektor

x_{S(t) −} x_(t)

|x_{S(t) −} x_(t)|

ist der Einheitsvektor, der vom Planeten zur Sonne zeigt.

Wenn man annimmt, dass x_{S(t) =} const, dann hat die DGL (∗) Ellipsen, Parabeln und Hyperbeln als L¨osung.

(Siehe Animation in der Vorlesung)

Ausblick: partielle Differentialgleichungen in der Physik

Gew¨ohnliche Differentialgleichungen sind solche, in denen nur Ableitungen nach einer Variablen vorkommen. Differentialgleichungen, in denen

Ableitungen nach mehreren Variablen vorkommen, heissen partielle Differentialgleichungen.

Auf den folgenden Seiten sind einige partielle DGL angegeben, die in der Vorlesung behandelt werden.

Differentialgleichung der Biegelinie eines Balkens

000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000 000000

111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111 111111

x w(x,t)

0 L

p

Notation:

w(x, t)=Auslenkung der neutralen Faser an der Stelle x zur Zeit t

p(x, t)=Lastsch¨uttung

µ(x)=’Masse’ einer Querschnittsfl¨ache I(x)=Fl¨achentr¨agheitsmoment

E(x)=Elastizit¨atsmodul

Bewegungsgleichung: µw¨ + (EI w^′′)^′′ = p.

Statischer Fall: (EI w^′′)^′′ = p.

Hinzu kommen 4 Randbedingungen. Man hat damit ein

Randwertproblem mit einer partiellen DGL 4. Ordnung

Differentialgleichung der schwingenden Saite

0 x L

u(x,t)

Notation:

u(x, t)=Auslenkung der Saite

an der Stelle x zur Zeit t ρ=Dichte

σ=Spannung in der Ruhelage f(x, t)=Kraftdichte

Bewegungsgleichung: ρu¨ − σ u^′′ = f

Andere Formulierung: u¨ − c²u^′′ = f /ρ, c = ^qσ/ρ Dies ist die eindimensionale Wellengleichung.

c= Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle.

Differentialgleichung der schwingenden Membran

0 5

10 15

20 25

0 5 10 15 20 25

−8

−6

−4

−2 0 2 4 6 8

Notation:

u(x_{, t})=Auslenkung der Membran an der Stelle x zur Zeit t ρ=Dichte

σ=Spannung in der Ruhelage f(x, t)=Kraftdichte

Laplace-Operator: ∆ = ∂²/∂x² + ∂²/∂y² Bewegungsgleichung: ρu¨ − σ ∆u = f

Andere Formulierung: u¨ − c²∆u = f /ρ, c = ^qσ/ρ Dies ist die 2-dimensionale Wellengleichung.

c= Ausbreitungsgeschwindigkeit der Welle.

Die Wellengleichung

u(¨ x_{, t) − c}²_∆u(x_{, t) = p(}x_{, t)}

beschreibt (approximiert) z.B.

• Wellen in elastischen Medien

• Ausbreitung von Schall in idealen Fluiden

• Ausbreitung elektomagnetischer Wellen

• Oberfl¨achenwellen im flachen Wasser

Die W¨armeleitungsgleichung

u˙(x_{, t) − k}²_∆u(x_{, t) = p(}x_{, t)}

beschreibt (approximiert) z.B.

• W¨armeausbreitung bei Abwesenheit von Konvektion u = Temperatur

• Diffusion

u = Konzentration eines Stoffes.

Klausur

Termine: Mi 21.2. und Mi 11.4. jeweils ab 17:00 Anmeldung ¨uber Moses-Seite

Die Klausur hat 2 Teile: Rechenteil+Verst¨andnisteil (jeweils 1 Stunde) Mein Tipp zum Bestehen der Klausur:

• Veranstaltungen besuchen.

• Regelm¨assig Ubungsaufgaben rechnen.¨

• Fragen stellen, wenn etwas unklar ist.