Gew¨ ohnliche Differentialgleichungen f¨ ur Lehramt Regelschule (SS 2013)

Dr. H. Kempka

Gew¨ ohnliche Differentialgleichungen f¨ ur Lehramt Regelschule (SS 2013)

Blatt 3

1. Skizzieren Sie das Richtungsfeld f¨ur die folgenden Differentialgleichungen 1.

Ordnung durch Untersuchung der Isoklinen und geben Sie die L¨osungen an:

(a) y⁰ =y (b) y⁰ =x·y (c) y⁰·y+x= 0 (d) y⁰·y= 1 (e) y⁰ =y²

2. L¨osen Sie die folgenden trennbaren Differentialgleichungen:

(a) xy⁰(x) = _ln^y_x, x >0, x6= 1 (b) y⁰(x) = ^1−2x_y2 , y(0) = 2

(c) y⁰(x) = ^x_y (d) y⁰(x) = tanxtany, x, y 6= (2k+ 1)^π₂, k ∈Z (e) y⁰(x) = ^y_x (f) y⁰(x) + 2yx= 0

(g) y⁰(x) = 3y²³ (h) y⁰(x) = 2√

y, y≥0

3. Die Funktion y=ϕ(x) sei L¨osung der Differentialgleichung y⁰(x) = g(Ax+By+C).

Zeigen Sie, dass dann auch die Funktionen F(x) = ϕ(x+cB) +cA, c ∈ R, L¨osungen sind.

4. L¨osen Sie die folgenden homogenen Differentialgleichungen:

(a) y⁰(x) = _x+y^y , (b) y⁰(x) = ^x+2y_x , (c) (x²+y²)y⁰(x) = 2xy, (d) y⁰(x) = ^y_x −e^xy.