Afg. 10 ∗ : Finden Sie eine kompakte Menge K ⊂ C mit folgenden Eigenschaf- ten:

Ubungen zur Funktionentheorie 1 ¨

SS 2017 Blatt 3 Prof. Fritzsche

9 ) A, B ⊂ C seien zwei kompakte Mengen mit A ∩ B = ∅ . Zeigen Sie, dass es offene Mengen U und V in C gibt, so dass gilt:

A ⊂ U, B ⊂ V und U ∩ V = ∅ .

Afg. 10 ^∗ : Finden Sie eine kompakte Menge K ⊂ C mit folgenden Eigenschaf- ten:

• K besitzt unendlich viele Zusammenhangskomponenten.

• K ^◦ besitzt unendlich viele Zusammenhangskomponenten.

• G := C \ K ist ein Gebiet.

11 ) a) Zeigen Sie f¨ ur Potenzreihen f (z) =

∞

X

n=0

c _n (z − z ₀ ) ⁿ mit c _n 6= 0 f¨ ur fast alle n: Wenn die Folge

c _n c _n+1

konvergiert, dann ist R := lim

n→∞

c _n c _n+1

der Konvergenzradius von f(z).

b) Bestimmen Sie jeweils den Konvergenzradius der beiden folgenden Potenzrei- hen:

f(z) =

∞

X

n=1

n ³

3 ⁿ z ⁿ und g(z) =

∞

X

k=0

3 ^k

k 2

z ^2k .

12 ) Bestimmen Sie jeweils den Konvergenzradius der folgenden Potenzreihen:

1. f 1 (z) =

∞

X

k=0

z ²

.

2. f ₂ (z) =

∞

X

n=1

(−1) ⁿ 3 ⁿ⁺¹ nz ²ⁿ⁺¹ .

3. f 3 (z) =

∞

X

n=1

z ⁿ n ⁿ .

Abgabetermin: Donnerstag, 18.05.2017, 12 Uhr.

Es gibt pro Aufgabe maximal 12 Punkte.

F¨ ur eine richtige und vollst¨ andige L¨ osung der ∗-Aufgabe gibt es sogar 18 Punkte.