[a · b] 4V alsSkalarproduktoperationfürVierervek- toren,wobeiabzw.b Zeilen-bzw.Spaltenvektorensind).

2 Übungsblatt Kern und Teilchenphysik

2.1 (Invarianz durch Hilfe der Lorentz-Transformation)

z.z.:

p · p

^{istinvariant,d.h.}

p · p = p ⁰ · p ⁰

DasSkalarproduktvonVierervektorenistdeniertals

p · p = p 0 · p 0 − ~ p · ~ p

(Konvention:Wirnutzen

[a · b] _4V

^alsSkalarproduktoperationfürVierervek- toren,wobei

a

^bzw.

b

^Zeilen-bzw.Spaltenvektorensind).

Wirbetrachten

p · p

^und

p ⁰ · p ⁰

^explizit:

p · p =



 





 



E

p c x

p y

p z



 

 · ^E _c p x p y p z



 



4V

= E ²

c ² − p ² _x + p ² _y + p ² _z

p ⁰ · p ⁰ =



 





 



E ⁰

p c ⁰ _x

p ⁰ _y p ⁰ _z



 

 ·

E ⁰

c p ⁰ _x p ⁰ _y p ⁰ _z



 



4V

= E ⁰

c 2

−

(p ⁰ _x ) ² + p ⁰ _y 2

+ (p ⁰ _z ) ²

Esgiltjedochmit Lorentz-Transformation(in

x

-Richtung):

p ⁰ =



 



γ − βγ 0 0

− βγ γ 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1



 





 



E

p c x

p y

p z



 



Rechnungführtzu:

p ⁰ · p ⁰ =



 





 



γ ^E _c − βγp x

− βγ ^E _c + γp x

p y

p z



 

 · γ ^E _c − βγp x − βγ ^E _c + γp x p y p z



 



4V

Diesistjedochmit derDenitiondesSkalarproduktsfürVierervektoren:

p ⁰ · p ⁰ =

γ E

c − βγp x

2

−

"

− βγ E c + γp x

2

+ p ² _y + p ² _z

#

Dasistaber:

p ⁰ · p ⁰ = γ ² E ²

c ² − 2βγ ² E

c p x + β ² γ ² p ² _x − γ ² p ² _x + 2βγ ² E

c p x − β ² γ ² E ²

c ² − p ² _y − p ² _z

= γ ² 1 − β ² E ² c ² − p ² _x

− p ² _y − p ² _z

Mit

γ = √ ¹

1−β ²

folgt:

p ⁰ · p ⁰ = E ²

c ² − p ² _x − p ² _y − p ² _z = p · p

DieBerechnungfür

y

^-und

z

^{-Richtunggehen}äquivalent.Dasienichtexpli- zit in der Vorlesung angegeben wurden, gehen wirdavon aus, dasseine extra

BerechnungnichtnotwendigistundderFallfürdie

x

^{-Richtungausreicht.}

2.2 (kombinierte Lorentz-Transformation)

DieLorentztransformationinMatrixdarstellunghatfolgendeForm:

Λ (β) =



 



γ (β) − βγ (β) 0 0

− βγ (β) γ (β) 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1



 



wobeiin

γ (β) = √ ¹

1−β ²

aucheine

β

-Abhängigkeitsteckt.

Esistzuzeigen,dassdieMatrizenmit

β

^{alsParametereine}kontinuierliche Gruppebilden.

1)Abgeschlossenheit

Wirbetrachtendie HintereinanderausführungvonzweiLorentztransforma-

tionen:

Λ (β i ) · Λ (β j ) =



 



γ i − β i γ i 0 0

− β i γ i γ i 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1



 

 ·



 



γ j − β j γ j 0 0

− β j γ j γ j 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1



 



Diesliefert:

Λ (β i ) · Λ (β j ) =



 



γ i γ j + β i γ i β j γ j − γ i β j γ j − β i γ i γ j 0 0

− β i γ i γ j − γ i β j γ j β i γ i β j γ j + γ i γ j 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1



 



umgeschriebenzurÜbersicht:

Λ (β i ) · Λ (β j ) =



 



γ i γ j (1 + β i β j ) − γ i γ j (β i + β j ) 0 0

− γ i γ j (β i + β j ) γ i γ j (1 + β i β j ) 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1



 



Wir könnenvergleichen mit derLorentztransformationund nden die Be-

dingung:

γ (β ) = γ i γ j (1 + β i β j ) ≥ 1

− βγ (β ) = − γ i γ j (β i + β j )

wobei

β ∈ ] − 1, 1[

^{,dasdieBeziehung:}

β ij = β i + β j

(1 + β i β j )

erfüllt, welche wir aus Teilen der zweiten durch die ersten Zeile erhalten.

Zudemistsomitgezeigt,dassfürdiekombinierteLTdiesgilt.

Damitgiltalso:

Λ (β i ) · Λ (β j ) = Λ (β k )

mit

γ k = γ i γ j (1 + β i β j ) β k = β i + β j

(1 + β i β j )

2)Einselement

WirsuchendasEinselementfürdieseGruppe.Die4x4-Einheitsmatrixkann

sofortalsEinslementidentiziertwerden:

E

=



 



1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1



 



3)InversesElement

Wir prüfen, ob jedes Element der Gruppe ein inverses besitzt. Der erste

Ansatzistesfür

β

folgerrichtig

− β

^{zuprobieren(mit}

γ (β) = √ ¹

1−β ² = γ ( − β)

^).

Diesführtauf:

Λ ( − β) =



 



γ (β ) − βγ (β) 0 0

− βγ (β) γ (β) 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1



 





 



γ (β) βγ (β) 0 0 βγ (β) γ (β) 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1



 



DieMatrizenmultiplikationsolltedasEinselementEliefern:

Λ (β) .Λ ( − β) =



 



γ (β) − βγ (β) 0 0

− βγ (β) γ (β) 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1



 





 



γ (β) βγ (β ) 0 0 βγ (β) γ (β) 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1



 



diesliefert:

Λ (β) .Λ ( − β) =



 



γ ² (β) − β ² γ ² (β) βγ ² (β ) − βγ ² (β) 0 0

− βγ ² (β) + βγ ² (β) − β ² γ ² (β) + γ ² (β) 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1



 



mit

γ ² (β) − β ² γ ² (β ) = γ ² (β) 1 − β ²

= _(1−β ^{1 2} ₎ 1 − β ²

= 1

^{folgt wie}

gefordert:

Λ (β) .Λ ( − β) =



 



1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1



 

 =

^E

4)Assoziativgesetz

DasAssoziativgesetzgiltallgemeinfürdieMatrizenmultiplikation,alsoauch

speziell fürdie Multiplikation derMatrizender Lorentztransformation,d.h.es

gilt:

[Λ (β i ) · Λ (β j )] · Λ (β k ) = Λ (β i ) · [Λ (β j ) · Λ (β k )]

SomitbildendieseMatrizeneinekontinuierlicheGruppe.

5)Kommutativgesetz

Esistweiterhinzuprüfen obdieGruppeabelsch ist.Wir prüfendie Kom-

mutativität:

Λ (β i ) · Λ (β j ) = Λ (β ^? j ) · Λ (β i )

Esgilt:

Λ (β j ) · Λ (β i ) =



 



γ j γ i (1 + β j β i ) − γ j γ i (β j + β i ) 0 0

− γ j γ i (β j + β i ) γ j γ i (1 + β j β i ) 0 0

0 0 1 0

0 0 0 1



 

 = Λ (β i ) · Λ (β j )

somitalsoauch:

β ji = β j + β i

(1 + β j β i ) = β ij

d.h. die Gruppe ist unter dieser Operation kommutativ, somit also auch

abelsch.

2.3 (Schwellenenergie)

Aus der Vorlesung kennen wir die Schwellenenergie für die Antiprotonenpro-

duktion fürden Fall eines ruhenden Target-Protons. Wir betrachten nun den

Fall, dassdie Protonen und Neutronen innerhalbeines Kernes einen nicht zu

vernachlässigendenImpulsbesitzen.DiesnenntmanFermi-Eekt,wobeidieser

die Schwellenenergieerheblich erniedrigt. Es ist zu zeigen, dassunter Berück-

sichtigungdiesesEektesdieSchwellenenergieetwa

E ⁰

SCHW

≈

1 − p m p c

E

SCHW

beträgt. Fürdie Antiprotonenproduktiongiltdie Reaktion:

p + p → p + p + p + ¯ p

WirnutzenunserWissen ausAufgabe 3:

EsgiltimLaborsystem:

p

Lab

= p A + p B

mit

p A

^und

p B

^denProtonenimpulsen.Wir quadrieren:

p

Lab

· p

Lab

= p A · p A + p B · p B + 2p A · p B

UnterderVerwendungderBeziehung

p · p = ^E _c ^{2 2} − ~ p ² = m ² c ²

^folgt:

p ²

Lab

= m ² _A c ² + m ² _B c ² + 2 E A E B

c ² − 2~ p A · ~ p B

mitderEnergie-Impuls-BeziehungderSRT

p ²

Lab

= m ² _A c ² + m ² _B c ² + 2 E A

p ~ p ² _B c ² + m ² _B c ⁴

c ² − 2~ p A · ~p B

UnterderAnnahme,dassdieImpulse

~ p A

^und

~ p B

entgegengesetztsind(dies führtzurminimalenSchwellenenergie),folgtmit

~ p A · ~ p B = − | ~ p A | · | ~ p B |

^:

p ²

Lab

= m ² _A c ² + m ² _B c ² + 2 E A

p ~ p ² _B c ² + m ² _B c ⁴

c ² + 2 | ~ p A | · | ~p B |

Weiter können wir davon ausgehen, dass

~ p A

^das beschleunigteProton ist, während

p ~ B

^{dasKernproton ist,welchesdenFermieekt}verursacht,dannist

| p ~ A |

^{groÿ. Somit folgt dann für}

| ~ p A | c =

q p ~ ² _A c ² ≈

q p ~ ² _A c ² + m ² _p c ⁴ = E A

^.

Einsetzen liefert(wobeiwirgleich

m A = m B = m p

einsetzen):

p ²

Lab

= 2m ² _p c ² + 2 E A

q ~ p ² _B c ² + m ² _p c ⁴

c ² + 2 E A

c · | ~ p B |

BetrachtenwirnundasCM-System(centerofmomentum),

p

Lab

= p A + p B + p C + p D

mit

p A

^,

p B

^,

p C

^denProtonenimpulsenund

p D

^demAntiprotonenimpuls.Für dasCM-Systemgilt

~ p tot = 0

^,somit:

p

CM

=



 

 P ^N

i=1 E i

0 c

0 0



 

 =



 



E A

c + ^E _c ^B + ^E _c ^C + ^E _c ^D 0

0 0



 

 =



 

 4m p c

0 0 0



 



wobeiwirangenommenhaben,dassdieMassenvonProtonenundAntipro-

tonenidentischsind.

AufGrundderLorentzinvarianzgiltnun:

p ²

CM

= p ²

Lab

(4m p c) ² = 2m ² _p c ² + 2 E A

q

~

p ² _B c ² + m ² _p c ⁴ c ² + 2 E A

c · | ~ p B | 16m ² _p c ² − 2m ² _p c ² = 2E A





q ~ p ² _B c ² + m ² _p c ⁴

c ² + | ~ p B | c





E A = 7m ² _p c ² √

~

p ² _B c ² +m ² _p c ⁴ c ² + ^{|~ p} _c ^{B |}

Umgeschrieben:

E A = m p c ²

q ~ p ² _B c ² + m ² _p c ⁴ + | ~ p B | c · 7m p c ²

EsbleibtderVorfaktorzuentwickeln,wobeiwirbereits

7m p c ²

^als

E

SCHW ,

E A

^als

E ⁰

SCHW

und

| ~ p B |

^als

p

identizierenkönnen:

E ⁰

SCHW

= 1

q 1 + _m ^p 2 ² p c ² + _m ^p

p c

· E

SCHW

WirkönnendenNennernochum

p

m p c = x = 0

entwickeln.Hierzuberechnen wirzuerstdieersteAbleitungvon

f (x) = 1

√ 1 + x ² + x = p

1 + x ² + x −1

Dieseliefert:

f ⁰ (x) = −

1

2 1 + x ² − ¹ ₂

· 2x + 1

√ 1 + x ² + x ²

= − 1 + x ² − ¹ ₂

x + √ 1 + x ²

√ 1 + x ² + x ²

= − 1

√ 1 + x ² √

1 + x ² + x

= − 1

1 + x ² + x √ 1 + x ²

DieTaylorentwicklungliefert:

E ⁰

SCHW

= 1

p 1 + x ² ₀ + x 0

− 1

1 + x ² ₀ + x 0

p 1 + x ² ₀ p

m p c − x 0

± O p ²

m ² _p c ²

!

x 0 =0

· E

SCHW

VernachlässigungvonTermenhöhererOrdnungführtunssogleichauf:

E ⁰

SCHW

≈

1 − p m p c

E

SCHW

MitderFormelfürdieSchwellenenergiemitFermi-Eekt,

E

SCHW

= 7 m p c ²

und

p = 250

^MeV

_c

^{als einen typischen Wert für den Betrag eines mittleren}

ImpulseseinesProtonsinnerhalbeinesKernsfolgtfürdieSchwellenenergiemit

Fermieekt

E ⁰

SCHW :

E ⁰

SCHW

=

1 − p m p c

7 m p c ² = 7 · m p c ² − pc

= 4.82

^GeV

D.h.ca.

3

4

^{desWertesohnedenFermi-Eekt.}

2.4 (Teilchenunterscheidung)

Wir betrachtenzwei Teilchentypen mit den Massen

m 1

^und

m 2

^{mit dem ge-}

meinsamen Impuls

p

^{,welcheeineStrecke}

L

^zwischenzweiSzintillationszählern durchlaufen.Esistzuzeigen,dassderUnterschiedderFlugzeiten

∆t = t 2 − t 1

(

t i = t (m i )

^,

i = 1, 2

^{)fürgroÿeImpulsemit}

p ⁻²

^{abnimmt.EsgiltfürdieFlug-}

zeit:

t = L v

DieGeschwindigkeiterhaltenwirausdemImpuls

p = v _c ^{E 2} ⇔ v = ^pc _E · c

^,mit

derEnergie

E = p

p ² c ² + m ² c ⁴

^:

v = pc

p p ² c ² + m ² c ⁴ · c = 1 q

1 + ^m _p ^{2 2 c 2} · c ⇔ 1 v =

s

1 + m ² c ² p ²

1 c

Unter der Annahme groÿer Impulse ist

v ≈ c

^{, d.h.}

q

1 + ^m _p ^{2 2 c 2} ≈ 1

^{. Wir}

könnenalsoum

mc p

2

= 0

^dieWurzelentwickeln:

1

v = 1 + 1 2

m ² c ²

p ² ∓ O mc p

4 !!

· 1 c

Unter Vernachlässigung der Terme höherer Ordnung erhalten wir also für

dieGeschwindigkeitfürgroÿeImpulse:

1 v =

1 + 1

2 m ² c ²

p ²

· 1 c

DarausfolgtfürdenUnterschiedderFlugzeit:

∆t = | t 2 − t 1 |

= L 1 v 2 − 1

v 1

= L

1 + 1 2

m ² ₁ c ² p ²

· 1 c −

1 + 1

2 m ² ₂ c ²

p ²

· 1 c

= L 1 2

m ² 1 c p ² − 1

2 m ² 2 c

p ²

= L 1 2

c

p ² m ² ₁ − m ² ₂

= Lc 2

m ² ₁ − m ² ₂

| {z }

c

· p ⁻²

SomitfolgtfürgroÿeImpulse:

∆t = c · 1 p ²

Es ist der minimal erforderliche Flugweg

L

^{zu bestimmen, mit dem man}

PionenvonKaonenunterscheidenkann.EsgiltfürdenFlugweg:

L = 2p ² c ²

| (m ² ₁ c ⁴ − m ² ₂ c ⁴ ) | · c∆t

Mit

∆t = 200

^{ps, einemImpuls von}

p = 3

^GeV

/c

^,

m _π ⁰ = 139.57018

^MeV

/c ²

und

m _K ⁰ = 497.648

^MeV

/c ²

^{folgtfürdenminimalzur}Unterscheidungerforder- lichenFlugweg:

L = 4.71

^m