(b) Im Fall ρ(p0

J. Cuntz und T. Timmermann WS 13/14

Ubung zu Operatoralgebren¨ Blatt 2 f¨ur den 11.11.13

Wie bei dem ersten Blatt ist dieses wom¨oglich auch f¨ur eine ¨Ubung zu umfangreich und enth¨alt vielleicht einige Komponenten, zu denen Ihnen Vorkenntnisse fehlen. Lassen Sie sich dadurch aber nicht gleich abschrecken!

Aufgabe 1. Wir betrachten die T¨oplitz-Algebra T = C^∗(v : v^∗v = 1). Sei ρ: T → L(H) eine irreduzible Darstellung auf einem Hilbertraum H und sei pk :=v^k(1−vv^∗)v^∗k ∈ T f¨ur k= 0,1,2, . . .. Zeigen Sie:

(a) Die Elemente (p_k)_k sind paarweise orthogonale Projektionen.

(b) Im Fall ρ(p₀) = 0 faktorisiert ρ ¨uber die universelle C^∗-Algebra, die von einem unit¨aren Element erzeugt wird, undH hat Dimension 1.

Sei nun ρ(p0)6= 0.

(c) F¨ur jedes k ≥ 0 schr¨ankt sich ρ(v) zu einem Isomorphismus von ρ(p_k)H nachρ(p_k+1)H ein.

(d) F¨ur jeden Einheitsvektor ξ₀ ∈ρ(p₀)H bilden die Vektoren ξ_k=ρ(v^k)ξ₀ f¨ur k= 0,1,2, . . . eine Orthonormalbasis von H.

(e) Je zwei irreduzible Darstellungen ρ_i: T → L(H_i) (i = 1,2) mit ρ_i(p₀)6= 0 sind unit¨ar ¨aquivalent, d.h. erf¨ullen ρ2(x) = U ρ1(x)U^∗ f¨ur ein Unit¨ares U: H₁ →H₂.

(f) Zeigen Sie, dass das Spektrum von ρ(v) die Kreisscheibe D = {ζ ∈ C :

|ζ| ≤ 1} ist. (Hinweis: Finden Sie im Fall |ζ| < 1 einen Eigenvektor und im Fall|ζ|= 1 “approximative Eigenvektoren”.)

(g) Bezeichne (p₀)⊆ T das von p₀ erzeugte (zweiseitige, norm-abgeschlossene) Ideal. Zeigen Sie: ρ(T)/ρ((p0))∼=C(T) und ρ((p0)) =K(H).

(h) Zeigen Sie, dass ρ ein Isomorphismus ist.

Aufgabe 2. Wir betrachten nochmal die T¨oplitz-Algebra T. Zeigen Sie:

(a) F¨ur jedes ζ ∈ T ={ω ∈ C: |ω| = 1} existiert genau ein Automorphismus γζ von T mit γζ(v) =ζv.

(b) Die Elemente v^kv^∗l mit k, l ≥ 0 sind linear unabh¨angig und ihre lineare H¨ulle ist eine dichte∗-Unteralgebra von T.

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(c) Die Menge D :={x ∈ T :γ_ζ(x) = xf¨ur alleζ ∈ T} ist eine kommutative C^∗-Unteralgebra von T und ihr Spektrum ist eine Cantor-Menge (= ein unendliches Produkt endlicher diskreter R¨aume).

(d) Ist ρ: T → L(H) eine treue Darstellung, so existiert f¨ur jedes ζ ∈ T ein Unit¨ares U_ζ ∈ L(H) mit ρ(γ_ζ(x)) = U_ζρ(x)U_ζ^∗ f¨ur alle x ∈ T. Die Zuordnung ζ 7→U_ζ kann stetig gew¨ahlt werden; insbesondere ist f¨ur jedes x∈ T die Abbildungζ 7→γ_ζ(x) stetig.

(e) Die Abbildung π: T → L(H), x7→R

Tρ(γ_ζ(x))dζ, ist positiv, hat Norm 1, und erf¨ullt π(xyz) =xπ(y)z f¨ur allex, z ∈ D, y∈ T.

(f) π(T) = ρ(D). (Hinweis: Wie wirkt π auf den Elementen aus (b)?)

Den Homomorphismus γ: T → Aut(T) nennt man die Eichwirkung von T auf Aut(T) und ρ⁻¹ ◦ π: T → D ist die zugeh¨orige bedingte Erwartung auf die invariante C^∗-Unteralgebra.

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