vorlesung 7

(1)

Diskrete Mathematik vorlesung ⁷

Steffen ^Reith

6.12.17

(2)

Def

^: ^Zwei

^Zyhel

^# ^C

ⁱⁿ

^... ^.ir ⁾ ^und ^IT ^' ⁼ ⁽

^je

^, ^... ^,

^je ⁾ ^heipen @

elemeutfremd ⁽ disjuuht ⁾

^, ^wean

^{

ⁱⁿ^, ^- ^, ^ir ^}

nlje

^, ^... ^,

_je

^}

=

¢

^.

Def

^: ^Ein

Permutation heipt gentle

^, ^weuu ^sic ^als

^Roduht

liner

geradeu

^Auzahl ^von

Transposition

^en ^dar ^Stell ^bar ^ist ^,

Def

^: ^Sci

G= ⁽

^G ^, ^.

)

^line

_Gruppe

^and ^Ue ^G . Daun ist

( Ui

^.

)

^line

_Uutogruppe

⁽ ^von

G) ^gdw

^.

fir

âke â. ^be Û

gilt

^a

^be

^U ^, ^d. ^h ^. ^U

istabgesehlosseu

^unto ^" ^.^"

und f.

^a ^aeU

gilt

^amah

^at

^EU

⁽ Abgesohlosseuheit ^unto

Tuverseubildung )

^.

(3)

BEP

^: ^. ^-^. ^-

^.p

^-

^.tn

^- ^. ^' ^ride

¥

^Untogruppe

^@

it

^- ^- ^-

→

µ

^trivial

^Uutrgruppe

•

kyi

OH

a b ^. _Or

i^'

ooh

^a

bi

^On

^on ^to ^ELZ

' ^'^' ^o ^b ^;

iii. ai ^isteiue ^Gruppe

•~ | _a _a _b ₀

i.

On ab ^: b b a 1 0 _, and

abt

^oeab

;oe

^- ⁱⁿ

heinellutogruppe

^-

g-

^- ^. ^- ^. ⁱ

ba^° ( heiuueuhales Element )

a ^No

01 ab

^°ba

Die

⁽

22,0 ) ^ist Uutogruppedv ^Ky

^. ^Ka ^ist

beuauut

^uaeh ^Klein

Felix ⁽

^kleinschc

Vierergruppe )

1848 ^- 1925

)

•

SeilZ.aef2geZll1gls-2geZlesgibteiuoje2witg-l.gY.dauuist@ZiHeineUutogruppeuouCZ.t

)

(4)

• C

Zit ) it eiuekutugruppe ⁽

^Q ^,t

⁾

³

Bene ^Sen

^'

_ly

⁼ ⁽ ^G,

. ) line

lyruppe

^and ^A ^line

Uutugruppe

^von

leg _, daun Schreiber win kurz U c- cg ^.

Sat (

Cayley ⁾

^:

Jedeeudliche Gruppe

^do

Ordnung

ⁿ

^ist

isomorph

^zueiuo

_Uutogruppe

^der

^Sn

^.

Bewig ^Sei

_by ⁼

^CG

^, ^.

⁾

^line

^bet

^.

^eudliche _Groppe

^unit ^dem

neutraleu Element

e and do

Orduuug

ⁿ⁼ ^{# G} ^. ^Dir

defimiveu

^line

Families

vow

Abbilduugeu ^Ia

^: ^G ^→ ^G ^unit

^Tacx

⁾ ⁼ ^a- ^x ^, ^wobei

AEG ( _a Links

multiplication

^"⁾

(5)

4

Beh

;

Teck Abbildung ^Ta ^ist bijiktiv

^and ^total

Bew

:

u" bung

^#

Beh

:

Die Algebra IG=aef

²

^Talat (

^G

^}

^, ^°

) ^isteine

Grappe Beo

^:

libung ^#

Dir definiveu z

^: ^G ^→

TG durch zc

^a) ⁼

^Ia

^.

^Nach Definition

ist z sorjehtiv

^and ^total ^.

Weitohinist z iujihtiv

^, ^deuu

weuu

Ia=Iy

_, ^d. ^h^.

f.

^a. ^XEG

gilt

^ax ^=b× ^, ^dauu ^a ^=b ^.

Weitohiu gilt z

⁽ ^a.

b)

⁼

_Tab

⁽^× ⁾ ⁼ ⁽ ^a.

^b)

^× ⁼ ^a ⁽ ^b. ^x

)

⁼ ^a.

Tb

⁽ ^x ⁾⁼

(6)

=Ia (

Is

⁽^x⁾

)

⁼

Iaoty

⁼

z(

^a)

°z( ^b)

⁵

⇒

zist

US _, ^liu

Homomorphismus Isomorphism

^und

sogareiu

Also

GEIG

. I

Gbesteht

nor aus

Permutation

en

c der Elemeutevou G _, ^d. ^h ^. GETG ^and IG _est

isomorph

~

get ^,

aggcg

^eiw

,Zu Uutogroppedo ^SC ^G)

^Esn ^,

^#

Isu

⇒ GESN

Deft

^: ^Sci ^by ⁼

^{( G.}

^.

⁾

^line

lgruppe

^and ^U ⁼

⁽

^U ^, ^.

)

^line

Uutogruppe

^von ^leg ^.

(7)

* 6

For

jedes

^AEG

hlipt _Die

Uutogruppe 2-1,1

^}

msn.IIIIYI.hn/::ik9YIYehEIt

Klassen :

{

^× _, ^- x

} f.

^a

U ^. a ⁼ deg

2

X.

al

^XEU

}

^XEQ

\2÷

Rechtsnebeuklasse

von U _.

Bsf

^:

Die Uutogruppe

⁽ ⁵² ^, ⁺

⁾

^oou ⁽

²

^, ^t

) ^besiht

^die

folgeudeufeinf ^Nelsen

^klassen

52=2×1 x=5y

,

get ^}

⁼

20,15

, ± 10

, I ¹⁵

, ^...

}

*

52+1=2×1 x=5yt1

^,

YEZ ^}= ²¹

^, ^-4 , 6_, -9

, ^... ^.

vorlesung 7

Diskrete Mathematik vorlesung 7

Steffen Reith

6.12.17

Def

Zyhel

in

je

je ) heipen @

elemeutfremd ( disjuuht )

{

nlje

je

¢

Def

Permutation heipt gentle

Roduht

geradeu

Transposition

Def

G= (

)

Gruppe

( Ui

)

Uutogruppe

G) gdw

fir

gilt

be

istabgesehlosseu

und f.

gilt

at

( Abgesohlosseuheit unto

Tuverseubildung )

BEP

.p

.tn

¥

@

it

µ

Uutrgruppe

kyi

OH

ooh

bi

on to ELZ

iii. ai isteiue Gruppe

i.

abt

;oe

heinellutogruppe

g-

Die

22,0 ) ist Uutogruppedv Ky

beuauut

Felix (

Vierergruppe )

)

)

Zit ) it eiuekutugruppe (

)

Bene Sen

ly

lyruppe

Uutugruppe

Cayley )

Jedeeudliche Gruppe

Ordnung

ist

isomorph

Uutogruppe

Sn

Bewig Sei

CG

)

bet

eudliche Groppe

Diskrete Mathematik vorlesung ⁷

Steffen ^Reith

^Zyhel

ⁱⁿ

^je

^je ⁾ ^heipen @

elemeutfremd ⁽ disjuuht ⁾

^{

_je

^Roduht

G= ⁽

_Gruppe

_Uutogruppe

G) ^gdw

^be

^at

⁽ Abgesohlosseuheit ^unto

^.p

^.tn

^@

^Uutrgruppe

^on ^to ^ELZ

iii. ai ^isteiue ^Gruppe

22,0 ) ^ist Uutogruppedv ^Ky

Felix ⁽

Zit ) it eiuekutugruppe ⁽

⁾

Bene ^Sen

_ly

Cayley ⁾

^ist

_Uutogruppe

^Sn

Bewig ^Sei

^CG

⁾

^bet

^eudliche _Groppe

Abbilduugeu ^Ia

^Tacx

Teck Abbildung ^Ta ^ist bijiktiv

^Talat (

^}

) ^isteine

libung ^#

^Ia

^Nach Definition

_Tab

^b)

°z( ^b)

,Zu Uutogroppedo ^SC ^G)

^#

^{( G.}

⁾

⁽

hlipt _Die

⁾

²