J} Energien: Eα = XN i=1 εi =−B(m1+m2

1 a) Mikrozust¨ande: {α}={m1, m2, m3, . . . , mN} , mi ∈ {−J, . . . , J} Energien: Eα =

XN

i=1

εi =−B(m1+m2+. . .+mN) Kanonische Zustandssumme:

Z = X

α

e^−βEα = XJ

m₁=−J

XJ

m₂=−J

. . . XJ

mN=−J

exp βB(m₁+m₂+. . .+m_N)

= YN

i=1

XJ

mi=−J

e^{βB mi}

!

= YN

i=1

Zi

Die Zi sind offenbar alle gleich (identische Atome),

⇒ Z = (Z1)^N , Z1 = XJ

m=−J

e^{βB m}

Berechnung:

Z1 =e^−βBJ XJ

m=−J

e^βB(m+J) =e^−βBJ X2J

p=0

e^{βB p} mitp= (m+J)

⇒ Z₁ =e^−βBJ1−e^βB(2J+1)

1−e^βB = e^−βBJ−e^βB(J+1) 1−e^βB Das kann man jetzt so lassen; oder:

·e^−βB/2 ⇒ Z1 = e^{βB2 (2J+1)}−e^{−βB2 (2J+1)}

e^βB2 −e^−βB2 = sinh βB^2J₂⁺¹ sinh βB¹₂ b) Magnetisierung:

M =h XN

i=1

mii= XN

i=1

hmii

hmii = 1 Z

X

m₁

X

m₂

. . .X

mN

mie^{βB(m1+...+mN)}

= X

m₁

e^{βB m1}. . .X

mi

mie^{βB mi}. . .X

mN

e^{βB mN} Z1. . . Zi. . . ZN

= 1

Zi

X

mi

mie^{βB mi}

⇒ hmii=hm1i ⇒ M =Nhm1i , hm1i= 1 Z₁

X

m

m e^{βB m} Berechnung: Offenbar l¨aßt sich das als Ableitung von Z darstellen:

hm1i= 1 Z₁

∂Z1

∂(βB)

⇒ hm1i= sinh βB¹₂ sinh βB^2J+1₂

"

2J+ 1 2

cosh βB^2J+1₂

sinh βB¹₂ − sinh βB^2J+1₂

sinh² βB¹₂ cosh βB1 2

1 2

#

⇒ hm1i=

2J+ 1 2

coth βB2J+ 1 2

− 1

2coth βB1 2

c) Kleines Feld: βB 1 : x1 : coth(x) = 1

x + x

3 +O(x³)

⇒ hm1i= 1

βB − 1 βB

+1

3

"

2J+ 1 2

2

− 1

2 2#

| {z }

=J(J+ 1)

βB+O(βB)³

⇒ hm₁i= B kT

J(J+ 1)

3 +O(B/kT)³ f¨ur B kT 1 Großes Feld: βB 1 :

x1 : coth(x) = e^x+e^−x

e^x−e^−x = 1 +e^−2|x|

1−e^−2|x|sgn(x)

⇒ coth(x) = (1 +e^−2|x|)(1 +e^−2|x|) sgn(x) +. . .= (1 + 2e^−2|x|) sgn(x) +O(e^−4|x|) Der Einfachheit halber lassen wir die exponentiell kleinen Korrekturen gleich weg, und es folgt:

⇒ hm1i=Jsgn(B) + O(e^−β|B|) Die Magnetisierung ist also in der S¨attigung.

Die Suszeptibilit¨at ist mit dem N¨ahrungsausdruck f¨ur kleines Feld jetzt einfach:

χ(T, N) = lim

B→0

∂M

∂B

T

=N

∂hm1i

∂B

T

⇒ χ= N kT

J(J+ 1) 3 ... das bekannte und beliebte Curie-Gesetz.

2 a) Z^kl =

YN

i=1

Z

dΩie^{βB Jz(Ωi)}

= (Z₁^kl)^N , Z₁^kl = Z

dΩe^{βB Jz(Ω)}

Berechnung:

J^z(Ω) =J cos(ϑ) ⇒

Z₁^kl = Z2π

0

dϕ Zπ

0

sin(ϑ)dϑ e^{βBJ cos(ϑ)} = 2π Z1

−1

d(cos(ϑ))e^βBJcos(ϑ)

⇒ Z₁^kl = 2π J

ZJ

−J

dm e^{βB m} = 2π J

e^βBJ −e^−βBJ

βB ⇒ Z₁^kl= 4πsinh(βBJ) (βBJ)

Das Integral dm wird offenbar reproduziert, indem man im quantenmech. Ausdruck f¨ur Z1 in Aufg. 1 die P

m durch ein Integral ersetzt, d.h., die Quantisierung der Spinrichtung ignoriert.

Die Magnetisierung faktorisiert genauso wie in Aufg. 1 b), also:

M^kl =NhJ^z(Ω1)i , hJ^z(Ω1)i= 1 Z₁^kl

Z

dΩJ^z(Ω)e^{βB Jz(Ω)} = 1 Z₁^kl

∂Z₁^kl

∂(βB)

⇒ M^kl=N

J coth(βBJ)− 1 βB

b) Das QM-Resultat aus Aufg. 1 b) lautete:

M =N 2J+ 1 2

coth βB2J+ 1 2

−1

2coth βB1 2

F¨urJ → ∞wird darausM →N J, d.h., wir sollten die Magnetisierung bezogen auf die Spinl¨ange betrachten, und außerdem noch pro Gitterplatz (obwohl das nicht wesentlich ist), betrachte also

J → ∞ : m= M J N →1

Dennoch ist das Resultat trivial, m befindet sich immer in der S¨attigung (f¨ur J → ∞). Um das zu beseitigen, m¨ussen wir das Anwachsen vonJ ¨uber das Magnetfeld auffangen, also das Produkt BJ =const.halten:

J → ∞ : b=BJ =const.

Dazu ist es praktisch, ein “reduziertes” Magnetfeld b einzuf¨uhren. Dieser Schritt ist vor allem n¨otig, um das Energiespektrum beschr¨ankt zu halten,

J → ∞ : |min,max Eα)|=BJN =bN =const. <∞ Damit folgt:

Quantenmech. : m= M

N J = 2J+ 1

2J coth βb2J+ 1 2J

− 1

2J coth βb 1 2J

und

Klassisch: m^kl = M^kl

N J = coth(βb)− 1 βb und man stellt fest (mit coth(x)≈1/x),

J→∞lim m

b=const. =m^kl

Abgesehen von der L¨angen¨anderung der Spins, die in b aufgefangen wird, bewirkt der Limes J → ∞ein Verschwinden der Richtungsquantelung, also den ¨Ubergang zum klassischen Modell.

F¨ur das hier betrachtete System freier Spins ist J → ∞ als N¨aherung nat¨urlich ¨uberfl¨ussig, f¨ur wechselwirkende Systeme aber sehr hilfreich (Stichworte Heisenberg-Modell, Spinwellentheorie, 1/J-Entwicklung).

3 a) Ebene Wellen:

ψ(r) = 1

√V e^ikr= 1

L^d/2 exp i Xd

µ=1

kµxµ

Dispersion:

ε(k) = ~²k²

2m , k² =k²₁+k₂²+. . .+k_d² Periodische Randbedingungen:

ψ(r+Leµ) =ψ(r) ⇒ e^iLkeµ = 1 ⇒ Lke_µ = 2πn_µ ⇒ k_µ= 2π

L n_µ , n_µ= 0,±1,±2, . . . Summation: betrachte eine beliebige Raumrichtung µ:

1 L

X

kµ

= 1 L

X∞

nµ=−∞

= 1 L

1 dkµ

X∞

kµ=−∞

dkµ L→∞

=⇒ 1 L

1 dkµ

Z∞

−∞

dkµ

mit dem Volumenelement pro Richtung dkµ = 2π

L(nµ+ 1)− 2π

L nµ = 2π L das f¨urL→ ∞ beliebig klein wird. Also,

1 L

X

kµ

L→∞

→ Z∞

−∞

dkµ

2π ⇒ 1

V X

k

L→∞

→

Z d^dk (2π)^d

b) Mit dem letzten Ergebnis:

N(ε) =

Z d^dk

(2π)^dδ ε− ~²k² 2m

Abh¨angig von d benutzen wir lineare, Polar-, oder Kugelkoordinaten:

d= 1 : d^dk = dk d= 2 : d^dk = kdkdϕ

d= 3 : d^dk = k²dk sin(ϑ) dϑdϕ

Die Winkelintegrationen k¨onnen gleich ausgef¨uhrt werden, es folgt d= 1 : N(ε) = 2

2π Z ∞

0

dk δ ε−~²k² 2m

d= 2 : N(ε) = 2π (2π)²

Z ∞ 0

kdk δ ε− ~²k² 2m

d= 3 : N(ε) = 4π (2π)³

Z ∞ 0

k²dk δ ε− ~²k² 2m

das heißt, kompakt geschrieben, N(ε) = Sd

(2π)^d Z ∞

0

k^d−1dk δ ε− ~²k² 2m

mit der Oberfl¨ache der d-dimensionalen “Einheitskugel”

S1 = 2 , S2 = 2π , S3 = 4π Die Deltafunktion liefert

δ ε− ~²k² 2m

= m

~²k0

δ(k−k0) , k0 =

r2mε

~² falls ε >0 und damit

N(ε) = Sd

(2π)^d m

~²(k0)^d−2θ(ε) nach d aufgedr¨oselt ergibt das

d= 1 : N(ε) = θ(ε)

√2m 2π~

√1

ε ∼ 1

√ε d= 2 : N(ε) = θ(ε) m

2π~² ∼ const.

d= 3 : N(ε) = θ(ε)(2m)^3/2 4π²~³

√ε ∼ √ ε