J} Energien: Eα = XN i=1 εi =−B(m1+m2

(1)

Universit¨at Karlsruhe Institut f¨ur Theorie der Kondensierten Materie

Ubungen zur Theoretischen Physik F¨ SS 08

Prof. Dr. P. W¨olfle Musterl¨osung

Dr. M. Greiter Blatt 3

1. Paramagnetismus lokalisierter Spins (4 Punkte) (a) Mikrozust¨ande: {α}={m1, m2, m3, . . . , mN} , mi ∈ {−J, . . . , J}

Energien: E_α = XN

i=1

ε_i =−B(m₁+m₂+. . .+m_N) Kanonische Zustandssumme:

Z = X

α

e^−βE^α = XJ

m₁=−J

XJ

m₂=−J

. . . XJ

mN=−J

exp βB(m1+m2+. . .+mN)

= YN

i=1

XJ

mi=−J

e^{βB m}ⁱ

!

= YN

i=1

Zi

Die Zi sind offenbar alle gleich (identische Atome),

⇒ Z = (Z1)^N , Z1 = XJ

m=−J

e^{βB m}

Berechnung:

Z1 =e^−βBJ XJ

m=−J

e^βB^(m+J) =e^−βBJ X2J

p=0

e^{βB p} mitp= (m+J)

⇒ Z₁ =e^−βBJ1−e^βB^(2J+1)

1−e^βB = e^−βBJ −e^βB^(J+1) 1−e^βB Das kann man jetzt so lassen; oder:

·e^−βB/2 ⇒ Z1 = e^βB² ^(2J⁺¹⁾−e⁻^βB² ^(2J+1)

e^βB² −e⁻^βB² = sinh βB^2J+1₂ sinh βB¹₂ (b) Magnetisierung:

M =h XN

i=1

mii= XN

i=1

hmii

(2)

hm_ii = 1 Z

X

m₁

X

m₂

. . .X

mN

m_ie^βB^(m¹^+...+m^N⁾

= X

m1

e^{βB m}¹. . .X

mi

m_ie^{βB m}ⁱ. . .X

mN

e^{βB m}^N Z1. . . Zi. . . ZN

= 1

Z_i X

mi

mie^{βB m}ⁱ

⇒ hmii=hm1i ⇒ M =Nhm1i , hm1i= 1 Z1

X

m

m e^{βB m} Berechnung: Offenbar l¨aßt sich das als Ableitung vonZ darstellen:

hm1i= 1 Z1

∂Z1

∂(βB)

⇒ hm1i= sinh βB¹₂ sinh βB^2J₂⁺¹

"

2J+ 1 2

cosh βB^2J+1₂

sinh βB₂¹ − sinh βB^2J+1₂

sinh² βB¹₂ cosh βB1 2

1 2

#

⇒ hm1i=

2J + 1 2

coth βB2J+ 1 2

− 1

2coth βB1 2

(c) Kleines Feld: βB ≪1 : x≪1 : coth(x) = 1

x +x

3 +O(x³)

⇒ hm1i= 1

βB − 1 βB

+ 1

3

"

2J + 1 2

2

− 1

2 2#

| {z }

=J(J + 1)

βB +O(βB)³

⇒ hm1i= B kT

J(J+ 1)

3 +O(B/kT)³ f¨ur B kT ≪1 Großes Feld: βB ≫1 :

x≫1 : coth(x) = e^x+e^−x

e^x−e^−x = 1 +e^−2|x|

1−e^−2|x|sgn(x)

⇒ coth(x) = (1+e^−2|x|)(1+e^−2|x|) sgn(x)+. . .= (1+2e^−2|x|) sgn(x)+O(e^−4|x|) Der Einfachheit halber lassen wir die exponentiell kleinen Korrekturen gleich weg, und es folgt:

⇒ hm1i=Jsgn(B) + O(e^−β|B|) Die Magnetisierung ist also in der S¨attigung.

Die Suszeptibilität ist mit dem Nährungsausdruck für kleines Feld jetzt einfach:

χ(T, N) = lim

B→0

∂M

∂B

T

=N

∂hm1i

∂B

T

⇒ χ= N kT

J(J + 1) 3 ... das bekannte und beliebte Curie-Gesetz.

(3)

2. Klassischer Grenzfall (4 Punkte) (a)

Z^kl = YN

i=1

Z

dΩie^{βB J}^z^(Ωⁱ⁾

= (Z₁^kl)^N , Z₁^kl= Z

dΩe^{βB J}^z^(Ω) Berechnung:

J^z(Ω) =J cos(ϑ) ⇒

Z₁^kl= Z2π

0

dϕ Zπ

0

sin(ϑ)dϑ e^βBJ^cos(ϑ)= 2π Z1

−1

d(cos(ϑ))e^βBJ ^cos(ϑ)

⇒ Z₁^kl= 2π J

ZJ

−J

dm e^{βB m} = 2π J

e^βBJ−e^−βBJ

βB ⇒ Z₁^kl = 4πsinh(βBJ) (βBJ) Das Integral dmwird offenbar reproduziert, indem man im quantenmech. Ausdruck f¨ur Z1 in Aufg. 1 die P

m durch ein Integral ersetzt, d.h., die Quantisierung der Spinrichtung ignoriert.

Die Magnetisierung faktorisiert genauso wie in Aufg. 1 b), also:

M^kl =NhJ^z(Ω1)i , hJ^z(Ω1)i= 1 Z₁^kl

Z

dΩJ^z(Ω)e^{βB J}^z^(Ω) = 1 Z₁^kl

∂Z₁^kl

∂(βB)

⇒ M^kl =N

J coth(βBJ)− 1 βB

(b) Das QM-Resultat aus Aufg. 1 b) lautete:

M =N 2J+ 1 2

coth βB2J+ 1 2

− 1

2coth βB1 2

F¨ur J → ∞ wird daraus M → NJ, d.h., wir sollten die Magnetisierung bezogen auf die Spinl¨ange betrachten, und außerdem noch pro Gitterplatz (obwohl das nicht wesentlich ist), betrachte also

J → ∞ : m= M J N →1

Dennoch ist das Resultat trivial, m befindet sich immer in der S¨attigung (f¨ur J →

∞). Um das zu beseitigen, m¨ussen wir das Anwachsen vonJ ¨uber das Magnetfeld auffangen, also das Produkt BJ =const. halten:

J → ∞ : b =BJ =const.

Dazu ist es praktisch, ein “reduziertes” Magnetfeldbeinzuführen. Dieser Schritt ist vor allem nötig, um das Energiespektrum beschränkt zu halten,

J → ∞ : |min,max Eα)|=BJN =bN =const. <∞

(4)

Damit folgt:

Quantenmech. : m = M

NJ = 2J + 1

2J coth βb2J + 1 2J

− 1

2J coth βb 1 2J

und

Klassisch: m^kl = M^kl

NJ = coth(βb)− 1 βb und man stellt fest (mit coth(x)≈1/x),

Jlim→∞m

b=const. =m^kl

Abgesehen von der Längenänderung der Spins, die in b aufgefangen wird, bewirkt der Limes J → ∞ ein Verschwinden der Richtungsquantelung, also den Übergang zum klassischen Modell.

Für das hier betrachtete System freier Spins ist J → ∞ als Näherung natürlich

überflüssig, für wechselwirkende Systeme aber sehr hilfreich (Stichworte Heisenberg- Modell, Spinwellentheorie, 1/J-Entwicklung).

3. Zustandsdichte eines freien Teilchens (2 Punkte) (a) Ebene Wellen:

ψ(r) = 1

√V eⁱ^kr = 1

L^d/2 exp i Xd

µ=1

k_µx_µ Dispersion:

ε(k) = ~²k²

2m , k² =k₁²+k²₂ +. . .+k_d² Periodische Randbedingungen:

ψ(r+Le_µ) =ψ(r) ⇒ e^iL^ke^µ = 1 ⇒ Lke_µ= 2πn_µ ⇒ k_µ = 2π

Ln_µ , n_µ = 0,±1,±2, . . . Summation: betrachte eine beliebige Raumrichtung µ:

1 L

X

kµ

= 1 L

X∞

nµ=−∞

= 1 L

1 dkµ

X∞

kµ=−∞

dkµ L→∞

=⇒ 1 L

1 dkµ

Z∞

−∞

dkµ

mit dem Volumenelement pro Richtung dkµ= 2π

L(nµ+ 1)− 2π

Lnµ= 2π L das f¨ur L→ ∞beliebig klein wird. Also,

1 L

X

kµ

L→∞→ Z∞

−∞

dkµ

2π ⇒ 1

V X

k

L→∞→

Z d^dk (2π)^d

(5)

(b) Mit dem letzten Ergebnis:

N(ε) =

Z d^dk

(2π)^dδ ε− ~²k² 2m

Abh¨angig vond benutzen wir lineare, Polar-, oder Kugelkoordinaten:

d= 1 : d^dk = dk d= 2 : d^dk = kdkdϕ

d= 3 : d^dk = k²dk sin(ϑ) dϑdϕ

Die Winkelintegrationen k¨onnen gleich ausgef¨uhrt werden, es folgt d= 1 : N(ε) = 2

2π Z ∞

0

dk δ ε− ~²k² 2m

d= 2 : N(ε) = 2π (2π)²

Z ∞ 0

kdk δ ε− ~²k² 2m

d= 3 : N(ε) = 4π (2π)³

Z ∞ 0

k²dk δ ε−~²k² 2m

das heißt, kompakt geschrieben, N(ε) = S_d

(2π)^d Z ∞

0

k^d−1dk δ ε− ~²k² 2m

mit der Oberfl¨ache derd-dimensionalen “Einheitskugel”

S1 = 2 , S2 = 2π , S3 = 4π Die Deltafunktion liefert

δ ε− ~²k² 2m

= m

~²k0

δ(k−k0) , k0 =

r2mε

~² falls ε >0 und damit

N(ε) = Sd

(2π)^d m

~²(k0)^d−2θ(ε) nachd aufgedr¨oselt ergibt das

d= 1 : N(ε) = θ(ε)

√2m 2π~

√1

ε ∼ 1

√ε d= 2 : N(ε) = θ(ε) m

2π~² ∼ const.

d= 3 : N(ε) = θ(ε)(2m)^3/2 4π²~³

√ε ∼ √ ε