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Lösungsskizzen, 1. Tutorium, SS 2016
T1. TOTALE DIFFERENTIALE
Wenn die Differentialform w ein totales Differential sein soll, muss das zweimalige Ableiten der Stammfunktion F(V, N, T) nach unterschiedlichen Variablen, dasselbe ergeben. Durch Ableiten einzelner Teile von w kann das über- prüft werden.
a
∂
∂V T
V
T ,N
=− T V2 6= ∂
∂N T N
V2
T ,V
= + T
V2 (1)
w ist kein totales Differential.
b
∂
∂V
lnc V
T ,N
= 1 V = ∂
∂N N
V
T ,V
= 1
V (2)
w ist ein totales Differential mit der Stammfunktion
F(N, V, T) =NlncV + 2T32 (3)
T2. WÜRFEL
a). die Summe Σder erwürfelten Augen
E
"N X
i
Xi
#
=N·3,5 Var
"N X
i
Xi
#
=N·2,92 (4)
Verhältnis im Limes großerN:
lim
N→∞
σ E ∝ lim
N→∞
√1
N →0 (5)
b). das Produkt Q
der erwürfelten Augen
E
"N Y
i
Xi
#
= 3,5N Var
"N Y
i
Xi
#
= E
N
Y
i
Xi
!2
− E
"N Y
i
Xi
#!2
= 91
6 N
− 21
6 2N
(6) Verhältnis:
N→∞lim σ E = lim
N→∞
q
91 6
N
− 2162N 21
6
N =→ ∞ (7)
c). den Logarithmus des Produktes der erwürfelten AugenlnQ
E
"
log
N
Y
i
Xi
#
=N
6 ·log 6! =N·1,09 Var
"
log
N
Y
i
Xi
#
=
N
X
i
Var [logXi] =N·0,37 (8) Das Verhältnis von Erwartungswert zu Varianz im Limes großerN ist gleich wie im Unterpunkt a.
2 d). Makrozustände
Die Anzahl der möglichen Kombination wird durch Abzählen ermittelt. Für eine Summe von Σ1= 13 erhält man 140 mögliche Zustände, Bei einer Summe von Σ2= 23 gibt es 4.
T3. KOMPRESSION EINES IDEALEN GASES
W =− Z V0/2
V0
PdV =P0V0= 2494,34 J, (9)
wobei die Angaben,N0= 1 mol oder 6,022·1023Teilchen,kB= 1,38·10−23J K−1undT = 300 K eingesetzt wurden.
T4. ISOBARE, ISOTHERME UND POLYTROPE PROZESSE a). Benötigte Arbeit:
κ=n(6= 0,1) : ∆W =− Z V2
V1
P dV = P1V1
n−1 V1
V2 n−1
−1
!
(10)
κ= 0 : ∆W =−P2(V2−V1) (11)
κ= 1 : ∆W =−ln V2
V1
P2V2 (12)
b). Änderung der inneren Energie:
∆E= 3
2(P2V2−P1V1) (13)
c). Auftretende Wärme:
κ=n(6= 0,1) :∆Q= 3
2(P2V2−P1V1)− P1V1
n−1 V1
V2 n−1
−1
!
(14) κ= 0 :∆Q= ∆E−∆W = 5
2(P2V2−P1V1) (15)
κ= 1 :∆Q=−∆W (16)
Fürn=53 ist ∆Q= 0 und der Prozess adiabatisch.
