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Lösungsskizzen, 2. Tutorium, SS 2016

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Lösungsskizzen, 2. Tutorium, SS 2016

T5. POISSONVERTEILUNG a). als Grenzwert der Binominalverteilung Ausgehend von der gegebenen Binominalverteilung,

P(k) = n

k

pkq(n−k) (1)

kann umgeformt werden,

n k

pkq(n−k)=

genau k Terme

z }| { (n−k+ 1)·...·(n−1)·n

k!

nkpk nk

(1−p)n

(1−p)k. (2)

Eine weitere Umgruppierung führt auf, nk+ 1

n

nk+ 2

n ·...·n−1

n ·1·pknk k!

(1−p)n

(1−p)k =:αpknk k!

(1−p)n

(1−p)k (3)

Falls maximal ein Grenzwertα divergiert, bzw. gegen 0 konvergiert, kann der Grenzwert des obigen Ausdrucks aus dem Produkt der Grenzwerte erhalten werden,

n→∞lim lim

p→0α= lim

n→∞

1−

→0

z }| { k−1

n

·

1−k−2 n

·...·1 = 1 (4)

n→∞lim lim

p→0

pknk k! = λk

k! wobei die Grössepn=const (5)

n→∞lim lim

p→0(1−p)n=e−1·λ (6)

p→0lim(1−p)k= 1. (7)

(8) Man erhält also

n→∞lim lim

p→0P(k) =λke−λ

k! die Poissonverteilung (9)

b). Normierung

X

k=0

PP oisson(λ, k) =e−λ

X

k=0

λk

k! = 1. (10)

c). Erwartungswert

E[X] =

X

k=0

kPP oisson(λ, k) =

X

k=0

ke−λ

k! =λ (11)

(2)

2 d). Varianz

E[X2] =

X

k=0

k2λke−λ k! =

X

k=0

(k−1) λke−λ (k−1)!+

X

k=0

λke−λ

(k−1)! =λ2+λ (12)

V ar[X] =λ2+λλ2=λ (13)

T6. SYSTEMBESTIMMUNG a). Sa(E, V, N) =kBN lnV

N E N

3/2

1 T =

∂Sa

∂E

V,N

= 3 2N kB

1

EE= 3

2N kBT (14)

P T =

∂S

∂V

E,N

= kBN

VP V =N kBT (15)

Das System ist daher ein 1-atomiges ideales Gas in 3 Dimensionen.

b). Sb(E, V, N) =kBN lnV N

E N

1 T =

∂Sa

∂E

V,N

= kBN

EE=N kBT (16)

P T =

∂S

∂V

E,N

= kBN

VP V =N kBT (17)

Das System ist daher ein 1-atomiges ideales Gas in 2 Dimensionen.

T7. GRUNDGLEICHUNG DER THEROMODYNAMIK (Integrabilitätsbedingung)

∂E

∂V

T

=T ∂P

∂T

V

P. (18)

a). P V =N kBT undE=bT2

Einsetzen in Gl.18, führt zu einer wahren Aussage, somit ist die Grundgleichung der TD erfüllt.

0 =TN kB

VP = 0 (19)

(3)

3 b). P V =N kBT undE=bT+V

Einsetzen in Gl.18, führt zu einem Widerspruch.

1 =TN kB

VP = 0 (20)

c). P V =N kBT+aT2/V undE=bT Einsetzen in Gl.18, führt zu einem Widerspruch.

0 =T N kB

V +2aT V2

N kBT VaT2

V2 =aT2

V2 (21)

d). P V =N kBT+aT2/V undE=bTaT2/V

Einsetzen in Gl.18, führt zu einer wahren Aussage, somit ist die Grundgleichung der TD erfüllt.

aT2 V2 =T

N kB V +2aT

V2

N kBT VaT2

V2 = aT2

V2 (22)

T8. BERECHUNG DER ZUSTANDSGLEICHUNGEN:

a). kalorische Zustandsgleichung

∂S

∂E

V

= 1

T =cV1/43/4E−1/4 E(T, V) = (c3/4)4V T4

b). thermische Zustandsgleichung

∂S

∂V

S

= p

T =c E

|{z}

(c3/4)4V T4 3/41

4V−3/4 p(T, V) =c433 44T4

Referenzen

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