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Lösungsskizzen, 3. Tutorium, SS 2016

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Lösungsskizzen, 3. Tutorium, SS 2016

T9. FREIES TEILCHEN a). System

Die Hamiltonfunktion beschreibt daher ein freies Teilchen in einer Dimension.

b). Phasenraum Γ = R 2

c). Trajektorie Phasenraum

E = const entspricht p = const, d. h. es ergeben sich Geraden parallel zur x-Achse.

dp

dt = 0 → p(t) = p 0 = const

dx dt = p

m = p 0

mx(t) = x 0 + p 0

m t

T10. HARMONISCHER OSZILLATOR a). System

Die Hamiltonfunktion beschreibt einen harmonischer Oszillator.

b). Phasenraum Γ = R × R

c). Kurven im Phasenraum Die Kurven im Phasenraum sind Ellipsen

d). Bewegungsgleichungen

˙ x = ∂H

∂p = p m

˙

p = − ∂H

∂x = −mω 2 x Mithilfe der Randbedingungen x(0) = x 0 und p(0) = p 0 ergibt sich

x(t) = x 0 cos(ωt) + p 0

sin(ωt)

p(t) = p 0 cos(ωt) − mωx 0 sin(ωt)

(2)

2

T11. TONKS GAS a). Phasenraum Γ

Γ =

p N , q N 0 ≤ q 1q 2 · · · ≤ q N −1q NL, p i ∈ R (1)

b). Volumen des Konfigurationsraumes

V (Π) =

Z

0≤q

1

≤q

2

···≤q

N−1

≤q

N

≤L

dq N = L N N !

c). Skizze des Konfigurationsraumes für N = 2 Dazu siehe Abb. 1.

q

1

q

2

L

L

Abbildung 1. Konfigurationsraum Π für N = 2

d). Trajektorie im Konfigurationsraum Es wird folgende Konfiguration gewählt:

q 1 (0) = L/2 q 2 (0) = L/2

p 1 (0) = −p/2

p 2 (0) = p (2)

Mit diesen Anfangswerten ergibt sich folgende Trajektorie Abb. 2. Bei t 1 stößt Teilchen 2 mit der Wand. Ein Stoß q

1

q

2

L

L L/2

L/2 t

0

t

1

t

2

t

3

t

4

b b

b

bb

Abbildung 2. Konfigurationsraum Trajektorie

mit der Wand führt dazu, dass sich der Impuls der Teilchen umkehrt. Bei t 2 kollidiert Teilchen 1 mit der linken Wand.

Stoßen beide Teilchen miteinander tauschen sie ihre Impulse, da wir gleich schwere Teilchen angenommen haben. Dies

ist zum Zeitpunkt t 3 der Fall. Zur Zeit t 4 kollidiert Teilchen 1 wieder mit der linken Wand.

(3)

3

e). Trajektorie Phasenraum

Hierzu betrachten wir aber nur den Unterraum welcher von p 1 und p 2 aufgespannt wird. Es folgt die Trajektorie Abb. 3.

p

1

p

2 p

2

p

-

p

- p

2

p 2

p

-

p

2

- p

b

t

0

b

t

1

b

t

2

b

t

3

b

t

4

Abbildung 3. Trajektorie im Phasenraum

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