Elementare Funktionen

Elementare Funktionen

Aufgabe 1. Seien a > 0,b > 0 undı D p

a²Cb² > 0 sowie der positive Ast der Hyperbel mit den Brennpunktenz_C D .ı; 0/ 2 C undz D . ı; 0/ 2 Csowie den Halbachsenaundbdurch die Funktionf WR!Cvorgegeben, welche durch

f .t /D.acosht; bsinht / fürt 2R definiert wird. Sei ferner 2 Rein beliebig fixierter Punkt.

1. Man weise nach, daßjf . / z j jf . / z_Cj D2agilt, somit die Kreislinien

˚x 2Cj jx z j D2a und ˚

x2 Cj jx f . /j D jz_C f . /j genau einen Punktx_C 2Cund die Kreislinien

˚x 2Cj jx z_Cj D2a und ˚

x 2Cj jx f . /j D jz f . /j genau einen Punktx 2Cgemeinsam haben!

2. Wird die Linearisierungg WR!C, welchef in tangential berührt, durch g.t /Df . /CDf . /.t / fürt 2 R

gegeben, so zeige man, daß es Punktet_C 2 Rundt 2 Rmitg.t_C/ D ¹₂.x_CCz_C/ undg.t /D ¹₂.x Cz /gibt und außerdemjg.tC/j D jg.t /j Dagilt! ³

f . /

0 z_C

z

x x_C

Lösung. 1.1. Wegena²Dı² b² und cosh² sinh² D1gilt für das Quadrat jf . / z_˙j²D.acoshı/²C.bsinh /²

Da²cosh² 2aıcoshCı²Cb²sinh²

Dı²cosh²2aıcosh C.ı² b²/D.ıcosh a/²; woraus sich aufgrund von0 < a < ıdie Beziehungen

jf . / z_Cj Dıcosh a und jf . / z j DıcoshCa und somitjf . / z j jf . / z_Cj D2aergeben.

1.2. Fürx_C2 Cmitjx_C z j D2aundjf . / x_Cj D jf . / z_Cjgilt demnach jf . / z j D jf . / z_Cj C2a D jf . / x_Cj C jx_C z j:

Die Punktez ,x_C,f . /liegen somit auf einer Strecke. Es gibt daher einen Parameter _C 20; 1Œ, so daß die Darstellungx_C D_Cf . /C.1 _C/z gilt. Daraus folgt

2a D jx_C z j D_Cjf . / z j D_C.ıcosh Ca/ und _CD 2a ıcoshCa: 1.3. Fürx 2Cmitjx z_Cj D2aundjf . / x j D jf . / z jgilt genauso

jf . / x j D jf . / z j D jf . / z_Cj C2a D jf . / z_Cj C jzC x j:

Die Punktex ,z_C,f . /liegen daher auf einer Strecke. Es gibt somit einen Parameter < 0, so daß die Darstellungx D f . /C.1 /z_Cgilt. Daraus folgt

2aD jx z_Cj D jf . / z_Cj D .ıcosh a/ und D 2a ıcosh a: 2.1. Wegenz_CCz D0ergibt sich demnach für die Streckenmittelpunkte

x_˙Cz_˙

2 D x_˙ z

2 und somit ˇ ˇ ˇ ˇ

x_˙Cz_˙ 2

ˇ ˇ ˇ ˇD 2a

2 Da:

2.2. Die LinearisierunggWR!C, welchef in tangential berührt, wird durch g.t /D.acosh; bsinh /C.t /.asinh; bcosh / fürt 2Rgegeben:

Um jeweils eine Lösungt_˙2 Rder linearen Gleichungg.t_˙/D ¹₂.x_˙Cz_˙/zu finden, untersucht man Real- und Imaginärteil

.t_˙ / asinh D ˙a.acosh ˙ı/

ıcosh ˙a acosh D ıasinh² ıcosh˙a .t_˙ / bcosh D ˙absinh

ıcosh ˙a bsinh D ıbsinhcosh ıcosh ˙a : Somit erfüllt der durch

t_˙ D ısinh ıcosh˙a

gegebene Punktt_˙ 2Rjeweils die Gleichungg.t_˙/D ¹₂.x_˙Cz_˙/.

Aufgabe 2. Man beweise, daß die elementaren Grenzwertbeziehungen

lim!1

ln./

^x D0 und lim

!0

x 1

Dln.x/ für jedesx2 Rmitx > 0 sowie

lim!1

^x

exp./ D0 und lim

!0.1C/^x= Dexp.x/ für jedesx2 R

gelten! ±

Lösung. 1. Da die Exponentialreihe für allex,y 2Rmitx > 0undy > 0stets exp.xy/ D

1

X

kD0

.xy/^k

kŠ 1CxyC .xy/² 2

liefert, folgt aus lim!1ln./D 1und der Stetigkeit des Logarithmus in der Tat 0 lim

!1

ln./

^x D lim

!1

ln./

exp.xln.// D lim

y!1

y

exp.xy/ lim

y!1

y

1CxyC ¹₂.xy/² D0:

2. Seix 2 Rmitx > 0gegeben. Da die durchg./ Dx Dexp.ln.x//für 2 R definierte FunktiongWR!Rdifferenzierbar ist und die Ableitung

Dg./Dexp.ln.x//ln.x/Dxln.x/ für 2R besitzt, erhält man

lim!0

x 1

D lim

!0

g./ g.0/

0 DDg.0/Dln.x/:

3. Da wegen lim!1ln./

D0für jedes beliebig vorgegebenex 2Rdie Beziehung

lim!1

xln./

1

D 1 gilt, folgt lim

!1

^x

exp./ D lim

!1exp.xln./ /D0 aus der Stetigkeit der Exponentialfunktion.

4. Da die durch die Vorschriftf ./Dln.1C/für 2 1;1Œdefinierte Funktion f W 1;1Œ!Rdifferenzierbar ist und die Ableitung

Df ./D 1

1C für 2 1;1Œ besitzt, ergibt sich

lim!0

ln.1C/

D lim

!0

f ./ f .0/

0 DDf .0/D1 und somit

lim

!0.1C/^x= D lim

!0exp

xln.1C/

Dexp.x/ für allex 2R

aufgrund der Stetigkeit der Exponentialfunktion.

Aufgabe 3. Zeitlich veränderliche Schwingungenmit anschwellender bzw. gedämpfter Amplitude können durch Funktionenu WR ! Rbeschrieben werden, die mit Hilfe einer vorgegebenenDämpfung a2RundFrequenzb 2Rdurch

u.t /De^atsinbt fürt 2Rdefiniert werden:

Seien dabeir 2 Œ0;1Œ,ˇ 2RPolarkoordinaten von.a; b/D.rcosˇ; rsinˇ/2 C.

1. Man beweise (induktiv), daß die Funktionu WR!Rdie Ableitungen D^ku.t /Dr^ke^atsin.bt Ckˇ/ für allet 2R,k 2N [ f0gbesitzt!

2. Man weise nach, daß die FunktionuWR!Rdie Differentialgleichung D²u.t / 2aDu.t /Cr²u.t /D0 für allet 2 Rerfüllt!

3. Man zeige durch Restabschätzung, daß die Taylor-Reihe Pn kD0

1

kŠ.rt /^ksinkˇ um den Entwicklungspunktt0 D0in jedem Punktt 2Rgegenu.t /konvergiert! ± Lösung. 1. Der Nachweis erfolgt induktiv über die Ableitungsordnungk 2N [ f0g:

Induktionsanfang:Offenbar giltD^ku.t /Du.t /De^atsinbt fürk D0undt 2R.

Induktionsschritt: Unter der Annahme, daß die Induktionsvoraussetzung für ein k 2 N [ f0g erfüllt ist, soll die entsprechende Aussage fürkC1 bewiesen werden:

Aufgrund der Darstellung.a; b/D.rcosˇ; rsinˇ/und der Additionstheoreme gilt D^kC1u.t /DDD^ku.t /Dr^kae^atsin.btCkˇ/Cr^kbe^atcos.bt Ckˇ/

Dr^kC1e^at sin.bt Ckˇ/cosˇCsinˇcos.btCkˇ/

Dr^kC1e^atsin.bt C.k C1/ˇ/

für allet 2R, woraus sich die Induktionsbehauptung ergibt.

2. Für allet 2Rgilt wegenr² Da²Cb² in der Tat die Beziehung

D²u.t / 2aDu.t /Cr²u.t /D .a² b²/e^atsinbt C2abe^atcosbt 2a ae^atsinbt Cbe^atcosbt

C.a²Cb²/e^atsinbt D0:

3. Aufgrund der Monotonie der Exponentialfunktion erhält man nach Schritt 1 sup

jjjtj

jD^nC1u. /j sup

jjjtj

r^nC1e^a r^nC1e^jatj für jedest 2Rund allen2 N und somit die Restabschätzung

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

u.t /

n

X

kD0

sinkˇ kŠ .rt /^k

ˇ ˇ ˇ ˇ ˇ

jtj^nC1 nŠ sup

jjjtj

jD^nC1u. /j jrtj^nC1 nŠ e^jatj für die Taylor-Reihe vonu umt0 D 0 int 2 R, worausP1

kD0 1

kŠ.rt /^ksinkˇ D u.t / wegen limn!1 1

nŠjrtj^nC1e^jatj D0folgt.

0 1

sinh cosh

0 1

1

coth

tanh

Aufgabe 4. 1. Man weise nach, daß die durch sinhx D exp.x/ exp. x/

2 und coshx D exp.x/Cexp. x/

2 fürx 2R

definiertenhyperbolischen Funktionen sinh, cosh W R ! Rdifferenzierbar sind und die Ableitungen

Dsinh.x/Dcoshx bzw. Dcosh.x/Dsinhx fürx 2Rbesitzen!

2. Man zeige, daß die hyperbolischen Funktionen tanh D _cosh^sinh W R ! R sowie cothD ^cosh_sinh WRn f0g !Rdifferenzierbar sind und die folgenden Ableitungen haben:

Dtanh.x/D1 tanh²x fürx2 R; Dcoth.x/D1 coth²x fürx 2Rn f0g:

Lösung. DaDexp.x/Dexp.x/für allex2Rgilt, erhält man Dsinh.x/D exp.x/Cexp. x/

2 Dcoshx für allex 2R;

Dcosh.x/D exp.x/ exp. x/

2 Dsinhx für allex 2R;

Dtanh.x/D cosh²x sinh²x

cosh²x D1 tanh²x für allex 2R;

Dcoth.x/D sinh²x cosh²x

sinh²x D1 coth²x für allex 2Rn f0g

aufgrund der Ketten- und Quotientenregel.

Aufgabe 5. Man zeige, daß die inverse Funktion arsinh WR!Rvon sinhW R!R sowie die inverse Funktion arcoshWŒ1;1Œ!Œ0;1Œvon coshWŒ0;1Œ!Œ1;1Œjeweils in den inneren Punkten ihres Definitionsbereichs differenzierbar ist und die Ableitung

Darsinh./ D 1

p1C² für 2R; Darcosh./D 1

p² 1 für 21;1ŒhatŠ Lösung. 1. Für allex,y 2Rfolgen aus

exp.˙.xCy//Dexp.˙x/exp.˙y/D.coshx˙sinhx/.coshy˙sinhy/

D.coshxcoshyCsinhxsinhy/˙.sinhxcoshyCsinhycoshx/

durch Addition bzw. Subtraktion die Additionstheoreme

cosh.x˙y/Dcoshxcoshy˙sinhxsinhy;

sinh.x˙y/Dsinhxcoshy˙sinhycoshx und somit cosh²x sinh²x Dcosh.x x/ Dcosh0D1.

2. Für allex,y 2Rgilt ^xC₂^y, ^{x y}₂ 2Rund das Additionstheorem sinhx sinhy D2coshxCy

2 sinhx y 2 :

Im Falle sinhx sinhy D 0folgt wegen cosh^xC₂^y 1stets sinh^{x y}₂ D 0und somit exp.x y/ D 1, also x D y und damit die Injektivität von sinh W R ! R. Somit überträgt sich die Stetigkeit dieser Funktion auf ihre Inverse arsinhWR!R.

DaDsinh.x/ D coshx 1 für allex 2 Rgilt, ergibt sich demnach die Differen- zierbarkeit von arsinh inRsowie

Darsinh./D 1

Dsinh.x/ D 1

coshx D 1

p1Csinh²x D 1 p1C² für alle Dsinhx 2Rmitx2R.

3. Für allex,y 2Œ0;1Œgilt ^xC₂^y 2Œ0;1Œ, ^{x y}₂ 2Rsowie das Additionstheorem coshx coshy D2sinhxCy

2 sinhx y 2 :

Im Falle coshx coshy D 0 folgt daraus sinh^xC₂^y D 0 oder sinh^{x y}₂ D 0 und somitx Dy, also die Injektivität von coshWŒ0;1Œ!Œ1;1Œ. Somit überträgt sich die Stetigkeit dieser Funktion auf ihre Inverse arcoshWŒ1;1Œ!Œ0;1Œ.

DaDcosh.x/Dsinhx > 0für allex 20;1Œgilt, erhält man die Differenzierbar- keit von arcosh in1;1Œsowie

Darcosh./D 1

Dcosh.x/ D 1

sinhx D 1

pcosh²x 1 D 1 p² 1

für alle Dcoshx 21;1Œmitx 20;1Œ.

0 1

arcosh

arsinh

arcosh

Aufgabe 6. Man zeige, daß die Inverse artanh W 1; 1Œ!Rvon tanhWR! 1; 1Œ bzw. die Inverse arcothWRnŒ 1; 1!Rn f0gvon cothWRn f0g !RnŒ 1; 1jeweils differenzierbar ist und folgende Ableitung besitzt

Dartanh./D 1

1 ² für2  1; 1Œ; Darcoth./D 1

1 ² für 2RnŒ 1; 1:

Lösung. 1. Es gilt das Additionstheorem tanhx tanhy D sinhx

coshy

sinhx

coshy D sinh.x y/

coshxcoshy für allex,y 2R:

Im Falle tanhx tanhy D 0folgt daraus sinh.x y/ D 0und somit x D y, also die Injektivität von tanh W R !  1; 1Œ. Somit überträgt sich die Stetigkeit dieser Funktion auf ihre Inverse artanhW 1; 1Œ!R.

WegenDtanhx D 1 tanh²x > 0für allex 2 R ergibt sich somit die Differen- zierbarkeit von artanh in 1; 1Œsowie

Dartanh./D 1

Dtanh.x/ D 1

1 tanh²x D 1 1 ² für alle Dtanhx2 1; 1Œmitx 2R.

2. Es gilt das das Additionstheorem cothx cothy D coshx

sinhx

coshy

sinhy D sinh.x y/

sinhxsinhy für allex,y 2Rn f0g:

Im Falle cothx cothy D 0 folgt daraus sinh.x y/ D 0 und somitx D y, also die Injektivität von cothW Rn f0g ! RnŒ 1; 1. Damit überträgt sich die Stetigkeit dieser Funktion auf ihre Inverse arcothWRnŒ 1; 1!Rn f0g.

DaDcoth.x/D 1 coth²x < 0für allex 2 Rn f0ggilt, erhält man die Differen- zierbarkeit von arcoth inRnŒ 1; 1sowie

Darcoth./D 1

Dcothx D 1

1 coth²x D 1 1 ²

für alle Dcothx 2RnŒ 1; 1mitx2 Rn f0g.

0 1 1

arcoth

artanh

Aufgabe 7. Man leite die logarithmischen Darstellungen für dieAreafunktionenher:

1. Es gilt arsinh Dln Cp

1C²

für alle 2R.

2. Für alle 2Œ1;1Œgilt arcosh Dln Cp

² 1 . 3. Es gilt artanh D ¹₂ln ¹₁ ^C

für alle 2 R,jj< 1.

4. Für alle 2R,jj > 1gilt arcoth D ¹₂ln ₁^C1 .

Lösung. 1. Wird 2Rvorgegeben undx 2Rmit Dsinhxgewählt, dann gilt Cp

1C² DsinhxCp

1Csinh²x DsinhxCcoshxDexp.x/

und somit arsinh Dx Dln Cp

1C² .

2. Wird 2Œ1;1Œvorgegeben undx2 Œ0;1Œmit Dcoshxgewählt, so gilt Cp

² 1DcoshxCp

cosh²x 1DcoshxCsinhx Dexp.x/

und damit arcosh DxDln Cp

² 1 .

3. Wird 2R,jj < 1vorgegeben undx 2Rmit Dtanhxgewählt, dann gilt 1C

1 D 1Ctanhx

1 tanhx D coshxCsinhx

coshx sinhx D exp.x/

exp. x/ Dexp.2x/;

woraus artanh Dx D ¹₂ln ¹₁ ^C folgt.

4. Wird 2R,jj > 1vorgegeben undx 2Rmit Dcothxgewählt, so gilt C1

1 D cothxC1

cothx 1 D coshxCsinhx

coshx sinhx D exp.x/

exp. x/ Dexp.2x/;

woraus arcoth Dx D ¹₂ln ₁^C1

folgt.

Aufgabe 8. Seien ı > 0und die Parabelmit dem Brennpunkt z D .0; 2ı/ 2 C und der LeitgeradeG D˚

.; 0/2C j 2R durch die Funktionf WR!Cvorgegeben, welche durch

f .t /D 2ısinht; ıcosh²t

fürt 2R definiert wird. Sei ferner 2 Rein beliebig fixierter Punkt.

1. Man weise nach, daß die LeitgeradeGund die Kreislinie

˚x 2Cj jx f . /j D jz f . /j genau einen Punktx 2Cgemeinsam haben!

2. Werden die Linearisierungeng WR!Cundg0WR!C, welchef in bzw.0 tangential berühren, durch

g.t / Df . /CDf . /.t / und g0.t /Df .0/CDf .0/ t fürt 2R gegeben, so zeige man, daß es Punktet 2 Rundt0 2 Rmitg.t / D ¹₂.x Cz/ und g0.t0/D ¹₂.x Cz/gibt!

f . /

0 z

x

Lösung. 1. Wegen cosh² sinh² D1gilt

jf . / zj² D.2ısinh /²C.ıcosh² 2ı/²

D4ı²sinh² Cı²cosh⁴ 4ı²cosh²C4ı²D.ıcosh² /² und somit genau dann für einen Punktx D.; 0/2 Gdie Beziehung

jf . / xj² D.2ısinh /²C.ıcosh² /² D.ıcosh² /²D jf . / zj²; wenn D2ısinh ist. Daraus ergibt sich

x D.2ısinh; 0/2C sowie xCz

2 D.ısinh; ı/2C:

2.1. Die Linearisierungg WR!C, welchef in tangential berührt, wird durch g.t / D.2ısinh; ıcosh² /C.t /.2ıcosh; 2ısinhcosh / fürt 2 R gegeben. Für jede Lösungt 2Rder linearen Gleichungg.t /D ¹₂.xCz/gilt

2.t /cosh .ı; ısinh /D.ısinh; ı/ .2ısinh; ıcosh² /

D .ısinh; ısinh² /D sinh.ı; ısinh /:

Somit giltg.t / D ¹₂.x Cz/für den durch

t D sinh 2cosh gegebenen Punktt 2R.

2.2. Die Linearisierungg0WR!C, dief in0tangential berührt, wird durch g0.t /D.0; ı/Ct .2ı; 0/ fürt 2R:

gegeben. Für jede Lösungt0 2Rder linearen Gleichungg0.t0/D ¹₂.xCz/gilt 2t0.ı; 0/D.ısinh; ı/ .0; ı/Dsinh.ı; 0/

Somit ist der Punkt

t0 D sinh 2 2 R

die Lösung der Gleichungg0.t0/D ¹₂.xCz/.

Aufgabe 9. Man zeige durch Differentiation, daß die Reihe Pn kD0

1

2kC1x^2kC1 für jedesx 2 1; 1Œgegen den Grenzwert ¹₂ln ¹_{1 x}^Cx

2Rkonvergiert!

Lösung. 1. Die gegebene Potenzreihe .sn/umx0 D 0mit den durch a2kC1 D _2k¹_C1 unda2k D0fürk2N [ f0gdefinierten Koeffizienten.ak/hat wegen der Beziehung

klim!1

pk

jakj D lim

k!1

1 pk

k D1

den KonvergenzradiusRD1und konvergiert somit in 1; 1Œgegen eine differenzier- bare Grenzfunktions W 1; 1Œ!R.

2. Die summandenweise differenzierte Potenzreihe .Dsn/umx0 D 0mit den Ko- effizienten..kC1/akC1/hat ebenfalls den KonvergenzradiusR D1und konvergiert in 1; 1Œgegen die AbleitungDs W 1; 1Œ ! Rder Grenzfunktions W 1; 1Œ ! R.

Es gilt somit

Ds.x/D

1

X

kD0

x^2k D 1

1 x² für allex2 Rmitjxj< 1 aufgrund der Summenformel der geometrischen Reihe.

3. Die durch f .x/D 1

2ln

1Cx 1 x

D ln.1Cx/ ln.1 x/

2 fürx2 R,jxj < 1 definierte Funktionf W 1; 1Œ!Rhat ebenfalls die Ableitung

Df .x/D 1 2

1

1Cx C 1 1 x

D 1

1 x² für allex2 R,jxj < 1:

Aufgrund von Schritt 2 hat die FunktionhDs f für jedesz 2 1; 1Œdie Ableitung Dh.z/D0. Der Mittelwertsatz liefert somit die Abschätzung

jh.x/ h.0/j jxj sup

2Œ0;1

jDh. x/j D0 für allex 2 1; 1Œ;

alsoh.x/ D h.0/für alle x 2  1; 1Œ. Daf .0/ D 0sowies.0/ Dsn.0/ D 0für jedes n2N[ f0ggilt, ergibt sich schließlichs.x/Df .x/für allex2  1; 1Œ.

Aufgabe 10. Man bestimme die Menge aller Lösungenx 2C, welche die Gleichung Exp.2x/ .2; 3/Exp.x/ D.0; 6/erfüllen!

Lösung. 1.1. Zunächst werden die komplexen Lösungen der quadratischen Gleichung u² .2; 3/u D .0; 6/berechnet. Durch quadratische Ergänzung der linken Seite ergibt sich für die neue Unbekanntez Du ¹₂.2; 3/2Cdie Gleichung

z²D u ¹₂.2; 3/²

D.0; 6/C ¹₄.2; 3/²D.0; 6/C ⁵₄; 3

D ⁵₄; 3 : 1.2. Stellt man die rechte Seitew D.rcos˛; rsin˛/D ⁵₄; 3

in Polarkoordina- tenr D jwj D ¹³₄ und˛ 2Œ; 2dar, dann sind

z0 Dp

r cos^˛₂;sin^˛₂

2 Cundz1 Dp

r cos.C ^˛₂/;sin.C ^˛₂/

D z0 2C die beiden Lösungen der Gleichung z² D w. Der Punkt cos^˛₂;sin^˛₂

kann wegen der Lage des Winkels ^˛₂ 2

2;

eindeutig aus.cos˛;sin˛/D ₁₃⁵; ¹²₁₃

mit Hilfe der Beziehungen cos˛ D2cos^{2 ˛}₂ 1und sin˛ D2sin^˛₂cos^˛₂ bestimmt werden:

Aus2cos^{2 ˛}₂ 1Dcos˛ D ₁₃⁵ folgt sofort cos^{2 ˛}₂ D ₁₃⁴ und somit cos^˛₂ D ^p2₁₃ wegen ^˛₂ 2

2;

. Somit ergibt sich aus2sin^˛₂cos^˛₂ Dsin˛ D ¹²₁₃ schließlich auch noch sin^˛₂ D ^p3₁₃, das heißt, die Gleichungz² Dwhat die beiden Lösungen

z0 D

p13 2

p1

13. 2; 3/D ¹₂. 2; 3/2 Cundz1 D z0 D ¹₂.2; 3/2C:

1.3. Somit besitzt die quadratische Gleichungu² .2; 3/uD.0; 6/die Lösungen u0 D ¹₂.2; 3/Cz0 D ¹₂.2; 3/C ¹₂. 2; 3/D.0; 3/2C;

u1 D ¹₂.2; 3/Cz1 D ¹₂.2; 3/C ¹₂.2; 3/D.2; 0/2C:

2. Alle Lösungenxk,yk 2Cder Gleichungen Exp.x/Du0bzw. Exp.y/Du1und somit der Gleichung Exp.2x/ .2; 3/Exp.x/D.0; 6/ergeben sich jeweils aus der Darstellung

u0 D.r0cosˇ0; r0sinˇ0/D.0; 3/;

u1 D.r1cosˇ1; r1sinˇ1/D.2; 0/;

in Polarkoordinatenr0 D3,ˇ0 D ₂ bzw.r1 D2,ˇ1 D0in der Gestalt xk D.lnr0; ˇ0C2k/D ln3;₂ C2k

2C;

yk D.lnr1; ˇ1C2k/D ln2; 2k 2C

für allek2 Z.

Aufgabe 11. Seienc,s W C ! Canalytische Funktionen mit c.0/ D 1,Dc.0/ D 0 unds.0/D0,Ds.0/Dz 2C. Man zeige die Äquivalenz folgender Aussagen:

1. Für allex,y 2Cgelten die Additionstheoreme c.x Cy/Dc.x/c.y/ s.x/s.y/;

s.xCy/Ds.x/c.y/Cs.y/c.x/:

2. Für allex 2Cgelten die GleichungenDc.x/D zs.x/undDs.x/Dzc.x/.

3. Es giltc.x/DCos.zx/unds.x/DSin.zx/für allex2 C.

Lösung. 1. Unter der Annahme, daß die beiden Additionstheoreme gelten, differen- ziert man beide Seiten dieser Identitäten nachyund erhält für allex,y 2C

Dc.x Cy/Dc.x/Dc.y/ s.x/Ds.y/;

Ds.xCy/Ds.x/Dc.y/Cc.x/Ds.y/:

Setzt many D 0, so folgen ausDc.0/ D0undDs.0/D z die Differentialgleichun- genDc.x/D zs.x/undDs.x/Dzc.x/für allex 2C.

2. Seien die DifferentialgleichungenDc.x/ D zs.x/undDs.x/ D zc.x/für alle x2 Cerfüllt. Definiert man die analytischen Funktionenf,gWC !Cdurch

f .x/DExp. ixz/ c.x/Cis.x/

für allex 2C;

g.x/DExp.ixz/ c.x/ is.x/

für allex 2C;

dann erhalt man durch Differentiation für allex 2Cdie Beziehungen Df .x/D izExp. ixz/ c.x/Cis.x/

CExp. ixz/ Dc.x/CiDs.x/

D0;

Dg.x/DizExp.ixz/ c.x/ is.x/

CExp.ixz/ Dc.x/ iDs.x/

D0:

Wegenc.0/D1unds.0/D0liefert der Mittelwertsatz f .x/Df .0/Dc.0/Cis.0/D1;

g.x/Dg.0/Dc.0/ is.0/D1 für allex 2Cund somit

c.x/Cis.x/Df .x/Exp.ixz/DExp.ixz/;

c.x/ is.x/Dg.x/Exp. ixz/DExp. ixz/:

Durch Addition und Subtraktion erhält man mit Hilfe der Euler-Formeln c.x/D ¹₂ Exp.ixz/CExp. ixz/

DCos.zx/ für allex 2C;

s.x/D _2i¹ Exp.ixz/ Exp. ixz/

DSin.zx/ für allex 2C:

3. Es gelten die Additionstheoreme für den komplexen Cosinus und Sinus.

Aufgabe 12.Seie WC !Ceine analytische Funktion mite.0/D1,De.0/Dz 2C.

Man zeige, daß die folgenden Aussagen äquivalent sind:

1. Für allex,y 2Cgilt das Additionstheoreme.xCy/De.x/e.y/.

2. Für allex 2Cgilt die GleichungDe.x/Dze.x/.

3. Es gilte.x/DExp.zx/für allex 2C.

Lösung. 1. Unter der Annahme, daß das Additionstheorem gilt, differenziert man auf beiden Seiten nachy und erhält

De.xCy/De.x/De.y/ für allex,y 2 C:

Setzt many D 0, so folgt ausDe.0/ D z die DifferentialgleichungDe.x/ D ze.x/

für allex 2C.

2. Sei die Differentialgleichung De.x/ D ze.x/ für alle x 2 C erfüllt. Definiert man die analytische Funktionf WC!Cdurch

f .x/DExp. xz/ e.x/ für allex 2C;

dann erhält man durch Differentiation für allex 2Cdie Beziehung Df .x/ D zExp. xz/ e.x/CExp. xz/De.x/D0:

Wegene.0/ D 1liefert der Mittelwertsatz f .x/ D f .0/ D e.0/ D 1für allex 2 C und somite.x/Df .x/Exp.xz/DExp.xz/.

3. Das Additionstheorem gilt für die komplexe Exponentialfunktion.