Additionstheoreme von Sinus und Kosinus

Additionstheoreme von Sinus und Kosinus

F¨ur die Kreisfunktionen sint und cost gelten folgende Beziehungen:

cos(α±β) = cosαcosβ∓sinαsinβ sin(α±β) = sinαcosβ±sinβcosα

Insbesondere ist

cos(2α) = cos²α−sin²α, sin(2α) = 2 sinαcosα und eine ¨aquivalente Form der ersten dieser beiden Identit¨aten ist

2 sin^α = 1−cos(2α).

Additionstheoreme von Sinus und Kosinus

F¨ur die Kreisfunktionen sint und cost gelten folgende Beziehungen:

cos(α±β) = cosαcosβ∓sinαsinβ sin(α±β) = sinαcosβ±sinβcosα Insbesondere ist

cos(2α) = cos²α−sin²α, sin(2α) = 2 sinαcosα und eine ¨aquivalente Form der ersten dieser beiden Identit¨aten ist

2 sin^α = 1−cos(2α).

Beweis:

(i) Kosinus:

Formel von Euler-Moivre cost = 1

2 e^it+ e^−it

, sint = 1

2i e^it−e^−it

=⇒

cosαcosβ = 1

2(e^iα+ e^−iα)·1

2(e^iβ+ e^−iβ)

= 1

4

e^i(α+β)+ e^i(α−β)+ e^i(β−α)+ e^{i(−α−β)} sinαsinβ = 1

2i(e^iα−e^−iα)· 1

2i(e^iβ−e^−iβ)

= −1 4

e^i(α+β)−e^i(α−β)−e^i(β−α)+ e^{i(−α−β)} Subtraktion Aufhebung der Terme e^i(α−β), e^{−i(α−β)}, d.h.

cosαcosβ−sinαsinβ = 1

2(e^i(α+β)+ e^−i(α+β)) = cos(α+β)

Beweis:

(i) Kosinus:

Formel von Euler-Moivre cost = 1

2 e^it+ e^−it

, sint = 1

2i e^it−e^−it

=⇒

cosαcosβ = 1

2(e^iα+ e^−iα)·1

2(e^iβ+ e^−iβ)

= 1

4

e^i(α+β)+ e^i(α−β)+ e^i(β−α)+ e^{i(−α−β)} sinαsinβ = 1

2i(e^iα−e^−iα)· 1

2i(e^iβ−e^−iβ)

= −1 4

e^i(α+β)−e^i(α−β)−e^i(β−α)+ e^{i(−α−β)} Subtraktion Aufhebung der Terme e^i(α−β), e^{−i(α−β)}, d.h.

cosαcosβ−sinαsinβ = 1

2(e^i(α+β)+ e^−i(α+β)) = cos(α+β)

Beweis:

(i) Kosinus:

Formel von Euler-Moivre cost = 1

2 e^it+ e^−it

, sint = 1

2i e^it−e^−it

=⇒

cosαcosβ = 1

2(e^iα+ e^−iα)·1

2(e^iβ+ e^−iβ)

= 1

4

e^i(α+β)+ e^i(α−β)+ e^i(β−α)+ e^{i(−α−β)} sinαsinβ = 1

2i(e^iα−e^−iα)· 1

2i(e^iβ−e^−iβ)

= −1 4

e^i(α+β)−e^i(α−β)−e^i(β−α)+ e^{i(−α−β)}

Subtraktion Aufhebung der Terme e^i(α−β), e^{−i(α−β)}, d.h. cosαcosβ−sinαsinβ = 1

2(e^i(α+β)+ e^−i(α+β)) = cos(α+β)

Beweis:

(i) Kosinus:

Formel von Euler-Moivre cost = 1

2 e^it+ e^−it

, sint = 1

2i e^it−e^−it

=⇒

cosαcosβ = 1

2(e^iα+ e^−iα)·1

2(e^iβ+ e^−iβ)

= 1

4

e^i(α+β)+ e^i(α−β)+ e^i(β−α)+ e^{i(−α−β)} sinαsinβ = 1

2i(e^iα−e^−iα)· 1

2i(e^iβ−e^−iβ)

= −1 4

e^i(α+β)−e^i(α−β)−e^i(β−α)+ e^{i(−α−β)} Subtraktion Aufhebung der Terme e^i(α−β), e^{−i(α−β)}, d.h.

cosαcosβ−sinαsinβ = 1

2(e^i(α+β)+ e^−i(α+β)) = cos(α+β)

setzen von β=α

cos(2α) = cos²α−sin²α bzw. mit cos²α+ sin²α= 1

cos(2α) = 1−2 sin²α

(ii) Sinus:

Beweis der Formel f¨ur sin(α+β) analog Alternativ:

sin(α+β) = cos(α+β−π 2)

= cosαcos(β−π

2)−sinαsin(β−π 2) cos(β−^π₂) = sinβ, sin(β− ^π₂) =−cosβ

Formel f¨ur sin(α+β)

setzen von β=α

cos(2α) = cos²α−sin²α bzw. mit cos²α+ sin²α= 1

cos(2α) = 1−2 sin²α (ii) Sinus:

Beweis der Formel f¨ur sin(α+β) analog Alternativ:

sin(α+β) = cos(α+β−π 2)

= cosαcos(β−π

2)−sinαsin(β−π 2) cos(β−^π₂) = sinβ, sin(β− ^π₂) =−cosβ

Formel f¨ur sin(α+β)

setzen von β=α

cos(2α) = cos²α−sin²α bzw. mit cos²α+ sin²α= 1

cos(2α) = 1−2 sin²α (ii) Sinus:

Beweis der Formel f¨ur sin(α+β) analog

Alternativ:

sin(α+β) = cos(α+β−π 2)

= cosαcos(β−π

2)−sinαsin(β−π 2) cos(β−^π₂) = sinβ, sin(β− ^π₂) =−cosβ

Formel f¨ur sin(α+β)

setzen von β=α

cos(2α) = cos²α−sin²α bzw. mit cos²α+ sin²α= 1

cos(2α) = 1−2 sin²α (ii) Sinus:

Beweis der Formel f¨ur sin(α+β) analog Alternativ:

sin(α+β) = cos(α+β−π 2)

= cosαcos(β−π

2)−sinαsin(β−π 2)

cos(β−^π₂) = sinβ, sin(β− ^π₂) =−cosβ Formel f¨ur sin(α+β)

setzen von β=α

cos(2α) = cos²α−sin²α bzw. mit cos²α+ sin²α= 1

cos(2α) = 1−2 sin²α (ii) Sinus:

Beweis der Formel f¨ur sin(α+β) analog Alternativ:

sin(α+β) = cos(α+β−π 2)

= cosαcos(β−π

2)−sinαsin(β−π 2)

Formel f¨ur sin(α+β)

setzen von β=α

cos(2α) = cos²α−sin²α bzw. mit cos²α+ sin²α= 1

cos(2α) = 1−2 sin²α (ii) Sinus:

Beweis der Formel f¨ur sin(α+β) analog Alternativ:

sin(α+β) = cos(α+β−π 2)

= cosαcos(β−π

2)−sinαsin(β−π 2) cos(β−^π₂) = sinβ, sin(β−^π₂) =−cosβ

Formel f¨ur sin(α+β)