Sinus und Kosinus

Sinus und Kosinus Mit

(cost,sint), t ∈R

werden die Koordinaten des um den Ursprung O mit Winkelt gedrehten Punktes (1,0) bezeichnet. Bis auf das Vorzeichen entsprechen also Kosinus und Sinus den Verh¨altnissen von An- bzw. Gegenkathete zur Hypothenuse in einem rechtwinkligen Dreieck.

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Die beiden Kreisfunktionen sind 2π-periodisch und es gilt cost= sin(t+π/2),

cost= cos(−t), sint=−sin(−t), sin²t+ cos²t = 1.

Einige spezielle Werte:

0 π/6= 30b ^◦ π/4= 45b ^◦ π/3= 60b ^◦ π/2= 90b ^◦ π= 180b ^◦

cos 1 √

3/2 √

2/2 1/2 0 −1

sin 0 1/2 √

2/2 √

3/2 1 0

Ableitungen und Stammfunktionen:

d

dt cost = −sint, d

dt sint = cost Z

costdt = sint+C, R

sintdt = −cost+C

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Beweis

Berechnung spezieller Werte durch Betrachten eines gleichschenklig rechtwinkligen Dreiecks (links) und eines gleichseitigen Dreiecks (rechts)

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(i) Gleichschenklig rechtwinkliges Dreieck:

α= (180^◦−90^◦)/2 = 45^◦,|AB|= 1,|AC|=s =|BC| Satz des Pythagoras

|AC|²+|BC|²= 1²

=⇒ s =p

1/2 = 1/√ 2 =√

2/2 und cosα=|AC|=√

2/2, sinα=|BC|=√ 2/2 (ii) Gleichseitiges Dreieck (linke H¨alfte):

β = 180^◦/3 = 60^◦,γ = 60^◦/2 = 30^◦, |AB|= 1,|AC|= 1/2 Satz des Pythagoras =⇒

|BC|² = 1²−(1/2)²= 3/4,d.h.|BC|=√ 3/2 und

cosβ=|AC|= 1/2, sinβ=|BC|=√ 3/2 cosγ =|BC|=√

3/2, sinγ =|AC|= 1/2

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