19. Weitere elementare Funktionen

19. Weitere elementare Funktionen

1. Der Arcussinus

Die Sinusfunktion y = f(x) = sinx (mit y^′ = cosx) ist im In- tervall [−^π₂, ^π₂] streng monoton wachsend und somit existiert dort eine Umkehrfunktion.

f : [−^π₂,^π₂] →[−1,1] , x 7→y = f(x) = sinx f⁻¹ : [−1,1] →[−^π₂, ^π₂] , y 7→x = arcsiny F¨ur die Ableitung der Umkehrfunktion gilt

(arcsiny)^′ = ^dx_dy = dy¹ dx

= _cos¹_x

Wegen sin²x+ cos²x = 1 ⇒ cosx = √

1−sin²x f¨ur x∈ [−^π₂,^π₂] gilt (arcsiny)^′ = √ ¹

1−sin²x = √¹

1−y² .

2. Der Arcuscosinus

Die Cosinusfunktion y = f(x) = cosx (mit y^′ = −sinx) ist im Intervall [0, π] streng monoton fallend und somit existiert dort eine Umkehrfunk- tion.

f : [0, π] → [−1,1] , x 7→ y = f(x) = cosx f⁻¹ : [−1,1] →[0, π] , y 7→ x = arccosy

F¨ur die Ableitung der Umkehrfunktion gilt (arccosy)^′ = ^dx_dy = dy¹

dx

= _−sin¹ _x

Wegen sin²x+ cos²x = 1 ⇒ sinx = √

1−cos²x f¨ur x ∈ [0, π]

gilt (arccosy)^′ = −^√₁₋¹_cos2x = −√¹

1−y² .

3. Der Arcustangens

Die Tangensfunktion y = f(x) = tanx (mit y^′ = _cos¹2x = ^cos2_cos^x+sin2x^2x = 1 + tan²x) ist im Intervall (−^π₂, ^π₂) streng monoton wachsend und somit existiert dort eine Umkehrfunktion.

f : (−^π₂, ^π₂) →R , x 7→ y = f(x) = tanx f⁻¹ : R→ (−^π₂,^π₂) , y 7→ x = arctany F¨ur die Ableitung der Umkehrfunktion gilt

(arctany)^′ = ^dx_dy = dy¹ dx

= _1+tan¹ 2x = _1+y¹ 2

4. Der Arcuscotangens

Die Cotangensfunktion y = f(x) = cotx (mit y^′ = −_sin¹²_x) ist im Intervall (0, π) streng monoton fallend und somit existiert dort eine Umkehrfunk- tion.

f : (0, π) →R , x 7→ y = f(x) = cotx f⁻¹ : R→ (0, π) , y 7→ x = arccot y F¨ur die Ableitung der Umkehrfunktion gilt

(arccot y)^′ = ^dx_dy = dy¹ dx

= ₋ ¹1 sin2x

= . . . = −_1+cot^{1 2}_x = −_1+y^{1 2}

5. Potenzfunktion, Exponentialfunktion, Logarithmusfunktion Bislang wurden folgende Arten von Potenzen von a ∈ R , a > 0 definiert (manche davon gelten auch f¨ur beliebiges a ∈ R):

• aⁿ = a·a·a . . . ·a (n−mal) , n ∈ N

• a⁰ = 1

• a^−m = _a¹m = _a·a·a...¹ _·a , m ∈ N

• aⁿ¹ = √ⁿ

a , n ∈ Z\ {0}

• a^mn = √ⁿ

a^m , m, n ∈ Z\ {0}

Dabei gelten f¨ur Exponenten α, β ∈ Q und a > 0 die folgenden Rechen- regeln:

a^α+β = a^α·a^β , a^α−β = ^a_a^αβ , a^αβ = (a^α)^β = (a^β)^α

Wir wollen nun auch den Ausdruck a^α f¨ur α ∈ R definieren, wobei wiederum a > 0 ist.

Dazu betrachtet man irgendeine Folge q_n von rationalen Zahlen mit

nlim→∞qn = α

(dies bedeutet: f¨ur jedes ε > 0 gibt es einen Index N_ε ∈ N mit

|α−q_n| < ε f¨ur n ≥ N_ε), und setzt a^α = lim

n→∞a^qn

(Man kann zeigen, dass dies unabh¨angig von der Wahl der Folge ist, welche gegen α strebt.)

Satz.

a^α < a^β ⇔ α < β f¨ur a > 1 a^α < a^β ⇔ α > β f¨ur 0 < a <1

Die Potenzfunktion f : R⁺ → R⁺ ist definiert durch x 7→ x^α , α ∈ R

Die Exponentialfunktion f :R →R⁺ ist definiert durch x 7→ a^x , a > 0

Sie ist streng monoton steigend f¨ur a > 1 , eine konstante Funktion f¨ur a = 1 , und streng monoton fallend f¨ur 0 < a < 1 .

Weil die Exponentialfunktion streng monoton und stetig ist auf dem gesamten Defintionsbereich D = R , existiert f¨ur sie die Umkehrfunktion.

Definition. Die Umkehrfunktion zur Exponentialfunktion ist der Loga- rithmus

log_a : R⁺ →R , y = a^x ↔ x = log_ay

Rechenregeln. Mit der Schreibweise log_ay ≡logy gelten die folgenden Rechenregeln:

loga = 1 , log 1 = 0 log(y₁y₂) = logy₁ + logy₂ log ^y_y¹

2 = logy₁ −logy₂ logy^z = zlogy

Bemerkung. Einige Werte von a haben eine besondere Bedeutung, und daf¨ur existiert auch eine eigene Schreibweise:

a = 10 log₁₀y = lgy . . . dekadischer Logarithums a = e log_ey = lny . . . nat¨urlicher Logarithmus a = 2 log₂y = ld y . . . dualer Logarithmus

Dabei ist die Euler’sche Zahl e definiert als Grenzwert e = lim

x→∞(1 + _x¹)^x = 2,71828. . .

Eigenschaften der Logarithmusfunktion. (y = a^x ↔ x = log_ay) 1. F¨ur a > 1 gilt: lim

x→∞a^x = ∞ , lim

x→−∞a^x = 0 lim

x→0⁺log_ax = −∞ , lim

x→∞log_ax = ∞ 2. F¨ur 0 < a < 1 gilt: lim

x→∞a^x = 0 , lim

x→−∞a^x = ∞ lim

x→0⁺log_ax = ∞ , lim

x→∞log_ax = −∞

Wollen wir zwischen verschiedenen Logarithmen-Basen umrechnen, ergibt sich f¨ur x₁ = log_ay und x₂ = log_by :

y = a^x1 = b^x2 ⇒ log_aa^x1 = log_ab^x2 ⇒ x₁log_aa = x₂log_ab ⇒

⇒ x1 = x2log_ab ⇒ log_ay = log_by ·log_ab ⇒ log_by = ^log_log^ay

ab

Speziell also etwa log_by = ^ln_ln^y_b .

F¨ur die Ableitung der Logarithmusfunktion (Herleitung siehe Skrip- tum) ergibt sich

y(x) = log_ax ⇒ y^′(x) = _x¹ log_ae = ¹_x^ln_ln^e_a = _xln¹ _a Speziell also (lnx)^′ = _x¹

Damit k¨onnen wir nun auch die Ableitung der Exponentialfunktion bestimmen.

y = log_ax ↔ x = a^y (a^y)^′ = ^dx_dy = ^d(a_dy^y) = dy¹

dx

= ¹1 xlna

= xlna = a^y lna Speziell erhalten wir (e^y)^′ = e^y .

F¨ur die Ableitung der Potenzfunktion y = f(x) = x^α erhielten wir im Falle α ∈ Q die Aussage

y^′(x) = αx^α−1 .

F¨ur ein beliebiges α ∈ R ist zun¨achst eine Umformung notwendig.

y = x^α = (e^lnx)^α = e^αlnx ⇒

y^′(x) = e^αlnx·α· _x¹ = α·x^α· ¹_x = αx^α−1 Beispiel. y = f(x) =x^x = e^xlnx

y^′ = e^xlnx·(1·lnx+x· ¹_x) = x^x(1 + lnx)

6. Sinus Hyperbolicus und Cosinus Hyperbolicus Diese Funktionen sind wie folgt definiert:

sinhx= ^ex−₂^e−x , coshx = ^ex+e₂^−x , D= R

1) Wegen sinh(−x) = −sinhx , ist der Sinus Hyperbolicus eine ungerade Funktion.

Wegen cosh(−x) = coshx , ist der Cosinus Hyperbolicus eine gerade Funktion.

2) cosh²x−sinh²x = ^(ex+e₄^−x)2 − ^(ex−₄^e−x)2 =

= ¹₄[(e^2x+ 2 +e^−2x)−(e^2x−2 +e^−2x)] = 1

Da u = coshx und v = sinhx die Hyperbelgleichung u² − v² = 1 erf¨ullen, werden sie auch als ”hyperbolische” Funktionen bezeichnet.

3) (Ableitungen)

(sinhx)^′ = (^ex−₂^e−x)^′ = ¹₂(e^x−e^−x·(−1)) = ¹₂(e^x+e^−x) = coshx (coshx)^′ = (^ex+e₂^−x)^′ = ¹₂(e^x+e^−x·(−1)) = ¹₂(e^x−e^−x) = sinhx

7. Tangens Hyperbolicus und Cotangens Hyperbolicus

Diese Funktionen sind wie folgt definiert:

tanhx = _cosh^sinhx_x = ^e_e^xx⁻+e^e−−xx , D= R→ W= (−1,1)

cothx = ^cosh_sinhx^x = ^e_e^xx^+e−e^−−xx , D = R\ {0} → W= R\[−1,1]

Beide Funktionen sind ungerade, und ihre Ableitungen sind (tanhx)^′ = (^sinh_cosh^x_x)^′ = ^{coshxcoshx−sinhxsinhx}

cosh²x = ¹

cosh²x

(cothx)^′ = (^cosh_sinhx^x)^′ = ^{sinhxsinhx−coshxcoshx}

sinh²x = −_sinh¹²_x

8. Die Area-Funktionen

Dies sind die Umkehrfunktionen zu den hyperbolischen Funktionen. Wir m¨ussen dabei allerdings auf Definitions- und Wertebereich achten.

a) Areasinus Hyperbolicus f : R→ R , x 7→y = sinhx f⁻¹ : R→ R , y 7→x = arsinh y

b) Areacosinus Hyperbolicus

f : R⁺0 →[1,∞) , x 7→ y = coshx f⁻¹ : [1,∞) → R⁺0 , y 7→ x = arcosh y

c) Areatangens Hyperbolicus f : R→ (−1,1) , x 7→ y = tanhx f⁻¹ : (−1,1)→ R , y 7→x = artanh y

d) Areacotangens Hyperbolicus

f : R\ {0} → R\[−1,1] , x 7→y = cothx f⁻¹ : R\[−1,1] → R\ {0} , y 7→ x = arcoth y

Bemerkung. Die Area-Funktionen k¨onnen auch mittels der Logarith- musfunktion dargestellt werden.

y = sinhx = ^ex−₂^e−x ⇒ 2ye^x = e^2x−1 bzw. e^2x −2ye^x−1 = 0 Dies ist eine quadratische Gleichung f¨ur e^x , folglich

e^x = y ±√

y² + 1 .

Weil stets e^x > 0 und y −√

y² + 1< 0 ist, erhalten wir

• x = arsinh y = ln(y +√

y² + 1)

y = coshx = ^ex+e₂^−x ⇒ e^2x−2ye^x+ 1 = 0

⇒ e^x = y ±√

y² −1 . Damit

• x = arcosh y = ln(y +√

y² −1)

(Das negative Vorzeichen liefert den unteren Zweig der Funktion)

y = tanhx = ^e_e^xx⁻+e^e−−xx liefert

• x = artanh y = ¹₂ln^1+y_1−y , f¨ur |y|< 1 (damit ^1+y_1−y > 0)

y = cothx = ^e_e^xx^+e−e^−−xx liefert

• x = arcoth y = ¹₂ ln^y+1_y−1 , f¨ur |y| > 1 (damit ^y+1_y−1 > 0)

F¨ur die Ableitungen der Area-Funktionen erhalten wir a) y = arsinh x ↔ x = sinhy

dy

dx = (arsinh x)^′ = dx¹ dy

= _(sinh¹ _y)′ = _cosh¹ _y = √ ¹

1+sinh²y = ^{√ 1}

1+x²

(Beachte dass cosh²y = 1 + sinh²y und coshy ≥0)

b) y = arcosh x ↔ x= coshy

dy

dx = (arcosh x)^′ = dx¹ dy

= _(cosh¹ _y)′ = _sinh¹ _y = √ ¹

cosh²y−1 = ^{√ 1}

x²−1

(Beachte dass f¨ur y ∈ R⁺0 stets gilt sinhy ≥ 0)

c) y = artanh x ↔ x = tanhy

dy

dx = (artanh x)^′ = dx¹ dy

= _(tanh¹ _y)′ = ¹1 cosh2y

= cosh²y = ^cosh₁^2y =

= ^cosh2y

cosh²y−sinh²y = ¹

1−tanh²y = ₁₋¹_x2 , D = (−1,1)

d) y = arcoth x ↔ x = cothy

dy

dx = (arcoth x)^′ = dx¹ dy

= _(coth¹ _y)′ = ₋ ¹1 sinh2y

= −sinh²y = ^−sinh₁ ^2y =

= ^−sinh2y

cosh²y−sinh²y = ¹

1−coth²y = ₁₋¹_x2 , D= R\[−1,1]

9. H¨ohere Ableitungen

Definition. Die Ableitung von f^′ bezeichnen wir, falls sie existiert, mit f^′′ und schreiben

f^′′(x) = _dx^d (_dx^d f(x)) = _dx^d22(f(x))

Die weiteren h¨oheren Ableitungen werden mit f^′′′, f^(IV), . . . , f⁽ⁿ⁾ bezeichnet.

Beispiel. F¨ur f(x) = xⁿ , n ∈ N erhalten wir f^′(x) = nxⁿ⁻¹ , f^′′(x) = n(n−1)xⁿ⁻² . . .

f^(k)(x) =n(n−1)(n−2). . .(n−k+ 1)x^n−k = k!(_n

k

)x^n−k f¨ur k ≤ n

f^(k)(x) = 0 f¨ur k > n

Beispiel. F¨ur f(x) = x⁵² erhalten wir f^′(x) = ⁵₂x³² , f^′′(x) = ¹⁵₄ x¹² = ¹⁵₄ √

x

f^′′′(x) = ¹⁵₈ x⁻¹² = ₈^15√_x ist f¨ur x = 0 nicht definiert.

Beispiel. (Harmonischer Oszillator)

Die Auslenkung s(t) in Abh¨angigkeit von der Zeit t ergibt sich zu s(t) = Acos(ωt +α) , A, ω, α ∈ R

F¨ur die Geschwindigkeit v(t) ergibt sich

v(t) = _dt^ds(t) = −Aωsin(ωt+α)

F¨ur die Beschleunigung b(t) ergibt sich b(t) = _dt^dv(t) = _dt^d22s(t) =−Aω²cos(ωt+ α)

Beachte, dass b(t) = −ω²s(t) . Die r¨ucktreibende Kraft mb(t) ist also proportional zur Auslenkung s(t) (Hook’sches Gesetz).